従属トーラス

微分幾何学において、アンジェネント・トーラスとは、トーラスを三次元ユークリッド空間に滑らかに埋め込んだものであり、平均曲率フローの下で発展するにつれて自己相似性を維持するという性質を持つ。その存在は、一次元曲線短縮フロー（埋め込まれたすべての閉曲線は点に縮むにつれて円に収束する）とは異なり、二次元平均曲率フローには埋め込まれた面があり、それが崩壊するにつれてより複雑な特異点を形成することを示している。

歴史

アンゲネント・トーラスは、1992年にその存在の証明を発表したシグルド・アンゲネントにちなんで名付けられました。 [ 1 ]しかし、1990年にはすでに、ゲルハルト・ヒュイスケンは、マシュー・グレイソンがその存在の「数値的証拠」について語ったと書いています。[ 2 ] [ 3 ]

存在

アンジェネント・トーラスの存在を証明するために、アンジェネントはまずそれが回転面であると仮定する。このような面はどれも、その断面、つまり半平面上の曲線（半平面の境界線が面の回転軸となる）で記述できる。フイスケンの考えに従って、[ 2 ]アンジェネントは半平面上にリーマン計量を定義し、この計量の測地線が、自己相似を保ちながら1単位時間後に原点に収束する回転面の断面とまったく同じであるという性質を持つ。この計量は非常に非一様であるが、鏡映対称性を持ち、その対称軸は半平面の境界に垂直に原点を通る半直線である。[ 1 ]

アンジェネントは、この鏡映対称軸に垂直に通る測地線の挙動を原点から異なる距離で考察し、中間値定理を適用することで、別の点で軸に垂直に通る測地線を求める。この測地線とその鏡映線は、半平面上の計量に対する単純な閉測地線を形成する。この閉測地線を用いて回転面を作成すると、アンジェネント・トーラスが形成される。

他の測地線は、平均曲率フローにおいて自己相似性を保つ他の回転面、例えば球面、円筒面、平面、そして（数値的証拠に基づくが厳密な証明ではない）多重自己交差を持つ位相球面を含む。 [ 1 ] Kleene & Møller (2014)は、平均曲率フローにおいて自己相似性を保つ完全に滑らかな埋め込み回転面は、平面、円筒面、球面、位相トーラスのみであることを証明している。彼らは、この性質を持つトーラスはアンジェネント・トーラスのみであるとより強く推測している。[ 4 ]

アプリケーション

平均曲率流における他の特定の特異点の存在を証明するために、アンジェネント・トーラスを用いることができる。例えば、 2つの大きな体積を繋ぐ薄い円筒形の「首」からなるダンベル型の表面において、その首が非接合のアンジェネント・トーラスで囲まれている場合、2つの回転面は平均曲率流において、どちらかが特異点に達するまで非接合のままである。ダンベルの両端が十分に大きい場合、首を囲むトーラスが崩壊する前に、首が挟まれて2つの球が互いに分離する必要があることを意味する。[ 1 ] [ 5 ]

自己相似性を保ちながら平均曲率流の下で縮小する形状は、流れに対する古来の解を形成し、それは常に後方に外挿できる。しかし、逆は成り立たない。アンジェネント・トーラスを発表した同じ論文の中で、アンジェネントはアンジェネント・オーバルについても述べている。これらは自己相似ではないが、円以外で平面上の単純閉曲線の中で、曲線短縮流に対する古来の解を与える唯一のものである。[ 1 ] [ 6 ]

参考文献

  1. ^ a b c d e Angenent, Sigurd B. (1992)、「Shrinking doughnuts」（PDF）、非線形拡散方程式とその平衡状態、3（Gregynog、1989）、非線形微分方程式とその応用の進歩、第7巻、ボストン、マサチューセッツ州：Birkhäuser、pp.  21– 38、MR  1167827。
  2. ^ a b Huisken, Gerhard (1990)、「平均曲率流の特異点に対する漸近的挙動」、Journal of Differential Geometry、31 (1): 285– 299、doi : 10.4310/jdg/1214444099、hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5CFE-3、MR 1030675 。
  3. ^ Mantegazza, Carlo (2011), Lecture notes on mean curvature flow , Progress in Mathematics, vol. 290, Basel: Birkhäuser/Springer, p. 14, doi : 10.1007/978-3-0348-0145-4 , ISBN 978-3-0348-0144-7、MR  2815949。
  4. ^ Kleene, Stephen; Møller, Niels Martin (2014)、「回転対称性を持つ自己収縮体」、アメリカ数学会誌、366 (8): 3943– 3963、arXiv : 1008.1609、doi : 10.1090/S0002-9947-2014-05721-8、MR 3206448 。
  5. ^エッカー、クラウス（2004）、平均曲率流の正則性理論、非線形微分方程式とその応用の進歩、57、ボストン、マサチューセッツ州：ビルクハウザー、p。29、doi：10.1007 / 978-0-8176-8210-1、ISBN 0-8176-3243-3、MR  2024995。
  6. ^ Daskalopoulos, Panagiota ; Hamilton, Richard ; Sesum, Natasa (2010) 「曲線短縮フローに対するコンパクト古代解の分類」 Journal of Differential Geometry , 84 (3): 455– 464, arXiv : 0806.1757 , Bibcode : 2008arXiv0806.1757D , doi : 10.4310/jdg/1279114297 , MR 2669361 。
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