数学の起源
数学の起源
著者ジョージ・レイコフラファエル・E・ヌニェス
主題数値認識
出版2000
ページ492
ISBN978-0-465-03771-1
OCLC44045671

『数学の起源：身体化された心が数学をいかに生み出すか』（以下、 WMCF ）は、認知言語学者ジョージ・レイコフと心理学者ラファエル・E・ヌニェスによる著書です。2000年に出版されたWMCFは、概念的メタファーに基づく身体化された数学理論、すなわち数学の認知科学の確立を目指しています。

WMCFによる数学の定義

数学は、次のような点で人間の概念体系の特別な部分を構成しています。

それは、正確で、一貫性があり、時間と人間のコミュニティを通じて安定しており、象徴化可能で、計算可能で、一般化可能で、普遍的に利用可能であり、それぞれの主題内で一貫性があり、スポーツから建築、ビジネス、テクノロジー、科学に至るまで、膨大な数の日常の活動の記述、説明、予測のための一般的なツールとして効果的です。 - WMCF、pp. 50、377

ニコライ・ロバチェフスキーは、「どんなに抽象的な数学の分野であっても、いつか現実世界の現象に応用できないものはない」と述べた。数学の発展全体に、 共通の概念融合のプロセスが当てはまるように思われる。

人間の認知と数学

複素平面：複素数という抽象的な概念を視覚的に表したもので、複素数の演算を通常の空間における単純な動きとして視覚化できる。

レイコフとヌニェスの公言した目的は、数学を真に科学的に理解するための基盤を築き始めることです。それは、あらゆる人間の認知に共通するプロセスに根ざした理解です。彼らは、4つの別個でありながら関連性のあるプロセス、すなわち物体の収集、物体の構築、物差しの使用、そして経路に沿った移動が、基本的な算術を 比喩的に構成していることを発見しました。

WMCFは、ラコフ（1987）およびラコフとジョンソン（1980、1999）による初期の著書に基づいて構築されています。これらの著書は、第二世代認知科学におけるメタファーやイメージ図式といった概念を分析しています。これらの初期の著書に含まれていた概念の一部、例えばラコフ（1987）の興味深い技術的アイデアなどは、WMCFには含まれていません。

レイコフとヌニェスは、数学は人間の認知装置から生じるものであり、したがって認知的な観点から理解されなければならないと主張している。WMCFは、数学的概念を人間の経験、メタファー、一般化、そしてそれらを生み出すその他の認知メカニズムの観点から分析する、数学の認知的概念分析を提唱し（そしてそのいくつかの例を挙げている）。標準的な数学教育では、このような概念分析の手法は発展しない。なぜなら、A) どのような心の構造が数学を可能にするのか、あるいはB)数学の哲学について考察しないからである。

レイコフとヌニェスはまず心理学文献をレビューし、人間には4～5までの数を数え、足し算、引き算する「瞬時認識」と呼ばれる生来の能力があるようだと結論付けています。彼らはこの結論を、ここ数十年の間に発表された乳児を対象とした実験に関する文献をレビューすることで裏付けています。例えば、乳児は、最初は2つしかなかったおもちゃが3つ現れるなど、「あり得ない」状況に直面すると、すぐに興奮したり好奇心を抱いたりします。

著者らは、数学は数多くの比喩的構成によって、この非常に初歩的なレベルをはるかに超えていると主張している。例えば、すべてのものは数であるというピタゴラスの立場、そし​​て2の平方根の無理数の発見に伴うそれに伴う自信の危機は、正方形の対角線の長さと物体の取り得る数との間の比喩的な関係からのみ生じている。

WMCFの大部分は、無限と限界過程という重要な概念を扱っており、有限の世界に生きる有限の人間が、どのようにして最終的に現実の無限を捉えることができるのかを説明しようとしています。したがって、 WMCFの大部分は、実質的には微積分の認識論的基礎の研究と言えるでしょう。ラコフとヌニェスは、潜在的な無限は比喩的ではないが、現実の無限は比喩的であると結論付けています。さらに、彼らは現実の無限のあらゆる現れを、彼らが「無限の基本的比喩」と呼ぶものの実例、すなわち1、2、3、…という常に増加する数列で表されるものとみなしています。

WMCFはプラトン主義的な数学哲学を断固として否定する。彼らは、私たちが知っている、そして知ることができるのは人間の数学、つまり人間の知性から生じる数学だけであると強調する。人間の思考から独立した「超越的な」数学が存在するかどうかという問いは、色が人間の思考を超越するかどうかという問いと同じくらい無意味な問いである。色は光の波長の変化に過ぎず、それを色にするのは物理的刺激に対する私たちの解釈である。

WMCF （p. 81）も同様に、数学者が閉包の概念に重きを置いていることを批判している。レイコフとヌニェスは、閉包への期待は、根本的に異なる概念をメタファーによって関連付ける人間の心の能力の産物であると主張している。

WMCFは、数学に対する新たな視点、すなわち人間の生物学と経験の現実に数学を根付かせる視点の提唱と確立を主な目的とする。これは数学や哲学の専門書ではない。数学哲学への従来のアプローチに欠陥があると主張したのは、レイコフとヌニェスが初めてではない。例えば、本書ではハーシュの支持を温かく認めているにもかかわらず、 彼らはデイビスとハーシュ（1981）の内容にそれほど精通していないように思われる。

レイコフとヌニェスは、サンダース・マクレーン（サミュエル・アイレンバーグと共に圏論を考案した人物）を引用し、自らの立場を支持している。哲学者向けの数学概論書『数学、形態、関数』（1986年）では、数学的概念は究極的には人間の日常的な活動、主に物理世界との相互作用に根ざしていると主張している。[ 1 ]

数学的なメタファーの例

WMCFで説明されている概念メタファーには、無限の基本メタファーに加えて、次のものがあります。

数学的推論には、特定の事柄だけでなく一般性についても推論できるよう、ある論述領域全体にわたる変数が必要です。WMCFは、このような変数を用いた推論は、いわゆる「代数学の 基本換喩」に暗黙的に依存していると主張しています。

比喩的な曖昧さの例

WMCF（151ページ）には、著者が「比喩的な曖昧さ」と呼ぶ以下の例が含まれています。集合を例にとってみましょう。ここで、初等集合論の標準的な用語を2つ思い出してください。 A={{∅},{∅,{∅}}}.{\displaystyle A=\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}.}

  1. 順序自然数の再帰的構成。0は、∅{\displaystyle \emptyset }n+1{\displaystyle n+1}n∪{n}.{\displaystyle n\cup \{n\}.}
  2. 順序付きペア（a ,b）は次のように定義される。{{a},{a,b}}.{\displaystyle \{\{a\},\{a,b\}\}.}

(1) によれば、Aは集合 {1,2} である。しかし、(1) と (2) を合わせると、Aは順序付きペア (0,1) でもあると示される。どちらの記述も正しくはない。順序付きペア(0,1) と順序なしペア {1,2} は完全に異なる概念だからである。Lakoff と Johnson (1999) はこの状況を「比喩的に曖昧」と呼んでいる。この単純な例は、数学における プラトン主義的基盤に疑問を投げかける。

上記(1)と(2)は、特にツェルメロ-フランケルの公理化として知られるコンセンサス集合論においては確かに標準的なものであるが、WMCFでは、これらが集合論の黎明期から提案されてきたいくつかの定義のうちの1つに過ぎないことは明かされていない。例えば、フレーゲ、プリンキピア・マテマティカ、そしてニューファウンデーションズ（1937年にクワインが着手した公理的集合論の集成）では、基数と順序数を同値類と相似関係の下で定義しており、この難問は生じない。クワイン集合論では、Aは単に数2のインスタンスである。技術的な理由から、上記(2)のように順序付きペアを定義することは、クワイン集合論では扱いにくい。2つの解決策が提案されている。

  • 通常の集合論的定義よりも複雑な順序付きペアの異形集合論的定義。
  • 順序付きペアをプリミティブとして取ります。

数学のロマンス

「数学のロマンス」とは、数学に関する永遠の哲学的視点を表すWMCFの気楽な用語であり、著者はこれを説明して、知的神話として却下しています。

  • 数学は超越的であり、つまり人間とは独立して存在し、私たちの現実の物理宇宙、そしてあらゆる可能性のある宇宙の構造を形成しています。数学は自然の言語であり、もし地球外生命体が存在するならば、私たちと地球外生命体が共有するであろう主要な概念構造です。
  • 数学的証明は超越的な真実の領域への入り口です。
  • 推論とは論理であり、論理は本質的に数学的なものである。したがって、数学はあらゆる推論の可能性を構造化する。
  • 数学は人間とは独立して存在し、推論は本質的に数学的であるため、理性そのものは肉体から切り離されている。したがって、少なくとも原理的には、人工知能は可能である。

WMCFが最終的に数学哲学における新たな学派の幕開けとなるかどうかは、いまだ未解決の問題である。したがって、 WMCFのこれまでの主要な価値は、数学におけるプラトン主義とロマン主義への批判という批判的な価値にあると言えるだろう。

批判的な反応

多くの現役数学者は、レイコフとヌニェスのアプローチと結論に抵抗している。専門誌における数学者によるWMCFのレビューでは、数学を理解するための道として概念戦略とメタファーに焦点を当てていることをしばしば尊重している一方で、数学的な命題は永続的な「客観的」意味を持つという理由で、 WMCFの哲学的議論の一部に異議を唱えている。[ 2 ]例えば、フェルマーの最終定理は、フェルマーが1664年に最初に提唱したときと全く同じ意味である。他のレビューワは、同じ数学的に定義された用語に関して、しばしば同一人物によって複数の概念戦略が用いられることがある（我々が日常的に「同じ」概念を異なるメタファーで理解しているという見解と整合する点）と指摘している。メタファーと概念戦略は、数学者が用いる正式な定義と同じではない。しかし、WMCFは、正式な定義は人間の経験においてのみ意味を持つ言葉と記号を用いて構築されていると指摘している。

WMCFに対する批評には次のようなユーモラスなものも含まれています。

実数を複素数で累乗する比喩を思いつくのは難しいですが、もしあればぜひ見てみたいです。— ジョセフ・アウスランダー[ 3 ]

そして物理的に情報を得た人々：

しかし、彼らの分析には、少なくともいくつかの疑問が十分には答えられていない。第一に、著者らは、脳が自然を観察するだけでなく、自然の一部でもあるという事実を無視している。脳が発明する数学がそのような形をとるのは、数学がそもそも脳の形成に関与していたからかもしれない（生命の進化を制限する自然法則の作用を通して）。さらに、既に知られている現実の側面に方程式を当てはめることは一つのことである。しかし、その数学がこれまで想像もできなかった現象を語るということは、全く別のことである。ポール・ディラックが電子を記述する方程式が複数の解を生み出したとき、彼は自然界には現在反物質として知られている他の粒子が存在するに違いないと推測した。しかし、科学者たちはディラックの数学によって反物質が存在するはずであると告げられるまで、そのような粒子を発見しなかった。もし数学が人間の発明であるならば、自然はこれから何が発明されるのかを知っていたようだ。[ 3 ]

ラコフとヌニェスは、数学者がWMCFに対して表明した否定的な意見を軽視する傾向がある。なぜなら、批判者たちは認知科学の洞察を理解していないからだ。ラコフとヌニェスは、彼らの主張は、人間の脳が言語と意味を処理する方法に関するここ数十年の発見に基づいてのみ理解できると主張する。彼らは、この理解に基づかない議論や批判は、本書の内容に反論することはできないと主張する。[ 4 ]

WMCFが「知的地球外生命体は数学的能力を持つ」という主張が神話であることを立証しているかどうかは、全く明らかではないという指摘がある。そのためには、知性と数学的能力が分離可能であることを示す必要があるが、これは未だ行われていない。地球上では、キース・デブリンらが指摘しているように、知性と数学的能力はあらゆる生命体において密接に関連しているように見える。[ 5 ] WMCFの著者らは、この状況が他の場所ではどのように異なるのか（あるいは異なる可能性があるのか​​）について説明していない。

レイコフとヌニェスは、直観主義者と構成主義者が（プラトン的）数学ロマンスへの攻撃をどれほど予見していたかを理解していないようにも見える。直観主義／構成主義の観点の創始者であるブラウワーは、博士論文『数学の基礎について』の中で、数学は精神的な構築物であり、精神の自由な創造物であり、論理や言語から完全に独立したものであると主張した。彼はさらに、形式主義者が直観的な解釈なしに研究される言語構造を構築することを批判している。記号言語は数学と混同すべきではない。記号言語は数学的現実を反映するものの、それを含むものではないからである。[ 6 ]

教育者たちは、数学の学習方法や、なぜ生徒にとって基礎的な概念の一部が他の概念よりも難しいと感じるのかについて、 WMCF が示唆していることに関心を寄せています。

しかし、教育的観点から見ても、WMCFは依然として問題を抱えている。概念メタファー理論の観点から見ると、メタファーは「現実世界」の具体的な領域とは異なる領域、つまり抽象的な領域に存在する。言い換えれば、数学は人間のものだと主張するにもかかわらず、学校で学ぶような確立された数学的知識は、その物理的な起源から完全に切り離された抽象的なものとして想定され、扱われている。学習者がそのような知識にどのようにアクセスできるのかを説明することはできない。[ 7 ]

WMCFは、その一元論的アプローチについても批判されている。第一に、WMCFは、私たちの言語構造、ひいては数学が基盤としていると考えられる感覚運動経験が、文化や状況によって異なる可能性があるという事実を無視している。[ 8 ]第二に、WMCFが扱う数学は「教科書やカリキュラムにおけるほぼ完全な…標準的な発話」であり[ 8 ]、これは最も確立された知識体系である。数学史の動的かつ多様な性質を無視している。

WMCFのロゴ中心主義的なアプローチもまた批判の対象となっている。WMCFは主に言語と数学の関連性に関心を寄せているものの、非言語的要因が数学的概念の出現にどのように寄与しているかについては考慮していない（例えば、Radford, 2009; [ 9 ] Rotman, 2008 [ 10 ]を参照）。

まとめ

WMCF（378～379ページ）は、いくつかの重要なポイントで締めくくられています。そのいくつかを以下に示します。数学は、私たちの身体と脳、日々の経験、そして人間社会と文化の関心から生まれます。数学とは：

  • これは成人の正常な認知能力、特に概念的メタファーの能力の成果であり、それ自体が人類普遍的なものです。概念的メタファーを構築する能力は神経学に基づいており、人間はある領域について、別の領域の言語と概念を用いて推論することを可能にします。概念的メタファーは、数学が日常的な活動から発展することを可能にしたものであり、また、類推と抽象化の継続的なプロセスによって数学が発展することを可能にしたものであり、その両方です。
  • 記号的であるため、正確な計算が非常に容易になります。
  • 超越的なものではなく、人間の進化と文化の産物であり、それがその有効性を生み出している。世界を経験する過程で、人間の心の中では数学的な概念との繋がりが生まれる。
  • 人間の認知の通常のツールを特別に活用した人間の概念の体系。
  • 人間による無限の創造物であり、人間はそれを維持し拡張する責任を持ち続ける。
  • 人類の集合的想像力が生み出した最も偉大な産物の一つであり、人間のアイデアの美しさ、豊かさ、複雑さ、多様性、重要性を示す素晴らしい例です。

WMCFで記述・実装されている形式体系への認知的アプローチは、数学に限定される必要はなく、形式論理や、エドワード・ザルタの抽象対象理論のような形式哲学にも応用することで、実りあるものとなるはずです。レイコフとジョンソン（1999）は、認知的アプローチを効果的に用いて、心の哲学、認識論、形而上学、そして思想史の多くの分野を再考しています。

参照

脚注

  1. ^特にMac Lane (1986)35ページの表を参照。
  2. ^ 「数学の起源」フリブール大学。2006年7月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。
  3. ^ a b What is the Nature of Mathematics?、マイケル・サトクリフ、2011年2月1日参照
  4. ^ジョージ・レイコフ、ラファエル・E・ヌニェス「数学の起源 - 警告」 。2002年6月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。
  5. ^デブリン、キース（2005年）、数学の本能/なぜあなたは数学の天才なのか（ロブスター、鳥、猫、犬と一緒に）、サンダーズ・マウス・プレス、ISBN 1-56025-839-X
  6. ^バートン、デイビッド・M.（2011）、数学史入門（第7版）、マグロウヒル、p.712、ISBN 978-0-07-338315-6
  7. ^ de Freitas, Elizabeth; Sinclair, Natalie (2014). 『数学と身体：教室における物質的エンタングルメント』ニューヨーク州ケンブリッジ大学出版局.
  8. ^ a bマーティン・シラリ、ナタリー・シンクレア（2003年）「『数学の起源』に対する建設的な応答」数学教育研究. 52 : 79–91 . doi : 10.1023/ A :1023673520853 . S2CID 12546421  .
  9. ^ラドフォード、ルイス (2009). 「なぜジェスチャーは重要なのか？感覚的認知と数学的意味の触知可能性」.数学教育研究. 70 (2): 111– 126. doi : 10.1007/s10649-008-9127-3 . S2CID 73624789 . 
  10. ^ブライアン・ロットマン（2008年）『Becoming beside usours：アルファベット、ゴースト、そして分散した人間』デューク大学出版局（ダーラム）。

参考文献

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