解けるグループ

数学、特に群論の分野において、可解群（かくかいぐん）または可溶群（かほうぐん）とは、拡大を用いてアーベル群から構成できる群のことである。同様に、可解群とは、導来級が自明部分群で終結する群のことである。

モチベーション

歴史的に、「可解」という言葉はガロア理論と五次方程式の一般不解性の証明から生まれた。具体的には、多項式方程式が根号で可解であることと、対応するガロア群が可解であることは同値である^[1]（この定理は標数0においてのみ成立することに注意）。これは、多項式に付随して、体拡大の塔が存在することを意味する。${\displaystyle f\in F[x]}$

${\displaystyle F=F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq \cdots \subseteq F_{m}=K}$

そういう

1. ${\displaystyle F_{i}=F_{i-1}[\alpha _{i}]}$ ここで は、方程式の解である。${\displaystyle \alpha _{i}^{m_{i}}\in F_{i-1}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle x^{m_{i}}-a}$ ${\displaystyle a\in F_{i-1}}$
2. ${\displaystyle F_{m}}$ 分割フィールドが含まれています${\displaystyle f(x)}$

例

元 を含む最小のガロア体拡大${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle a={\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}}$

は可解群を与える。関連する体拡張は

${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5},a\right)}$

次の合成因子を含むガロア拡大の可解な群を与える（ここでは恒等置換）。 ${\displaystyle 1}$

• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q({\sqrt {2}})} \right/\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /2}$ 群作用と最小多項式${\displaystyle f\left(\pm {\sqrt {2}}\right)=\mp {\sqrt {2}},\ f^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-2}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})} \right/\mathbb {Q({\sqrt {2}})} )\cong \mathbb {Z} /2}$ 群作用と最小多項式${\displaystyle g\left(\pm {\sqrt {3}}\right)=\mp {\sqrt {3}},\ g^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-3}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\right)\cong \mathbb {Z} /4}$ 群作用を持ち、次を除く5乗根を含む最小多項式である。${\displaystyle h^{n}\left(e^{2im\pi /5}\right)=e^{2(n+1)mi\pi /5},\ 0\leq n\leq 3,\ h^{4}=1}$ ${\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=(x^{5}-1)/(x-1)}$ ${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5},a\right)/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)\right)\cong \mathbb {Z} /5}$ 群作用と最小多項式${\displaystyle j^{l}(a)=e^{2li\pi /5}a,\ j^{5}=1}$ ${\displaystyle x^{5}-\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}$

定義グループアクション（例えば、）はそれぞれ、1つの拡張子のみを変更しますが、他の拡張子は変更しません。80個のグループアクションは、 のセットです。 ${\displaystyle fgh^{3}j^{4}}$ ${\displaystyle \{f^{a}g^{b}h^{n}j^{l},\ 0\leq a,b\leq 1,\ 0\leq n\leq 3,\ 0\leq l\leq 4\}}$

この群はアーベル群ではありません。例えば、ですが、 であり、実際 です。 ${\displaystyle hj(a)=h(e^{2i\pi /5}a)=e^{4i\pi /5}a}$ ${\displaystyle jh(a)=j(a)=e^{2i\pi /5}a}$ ${\displaystyle jh=hj^{3}}$

これは と同型であり、ここで は巡回群の半直積と直積を使って定義されます。 は正規部分群ではありません。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{5}\rtimes _{\varphi }\mathbb {Z} _{4})\times (\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2})}$ ${\displaystyle \varphi _{h}(j)=hjh^{-1}=j^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$

意味

群Gが可解であるとは、その因子群（商群）がすべてアーベルであるような非正規級数、すなわち部分群が存在する場合に言う。

${\displaystyle 1=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft G_{k}=G}$

つまり、G _{j −1は}G _jにおいて正規群であり、 j = 1, 2, ..., kに対して、G _j / G _{j −1}はアーベル群である。  

あるいは、その導関数級数の場合、降順正規級数

${\displaystyle G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright \cdots ,}$

ここで、すべての部分群は前の部分群の交換子部分群であり、最終的にはGの自明部分群に到達する。これらの2つの定義は同値である。なぜなら、すべての群HとHのすべての正規部分群 Nに対して、商H / Nがアーベル的であることと、NがHの交換子部分群を含むことが、その必要十分条件だからである。G ^{( n )} = 1となる最小のn は、可解群Gの導来長と呼ばれる。

有限群の場合、同値な定義は、可解群はすべての因数が素数位数の巡回群であるような合成級数を持つ群である、というものです。これは、有限群の合成長は有限であり、すべての単純アーベル群は素数位数の巡回であるため同値です。ジョルダン・ヘルダーの定理は、1 つの合成級数がこの特性を持つ場合、すべての合成級数もこの特性を持つことを保証します。多項式のガロア群の場合、これらの巡回群はある体上のn乗根（根号）に対応します。この同値性は、無限群では必ずしも成り立ちません。たとえば、整数群Zの加法による非自明な部分群はすべて Z 自身と同型であるため、合成級数は存在しませんが、唯一の因数群がZと同型である正規級数 {0, Z } は、実際に Z が可解であることを証明しています。

例

アーベル群

可解群の基本的な例はアーベル群です。アーベル群は、群自身と自明群だけで非正規級数が形成されるため、自明に解けます。しかし、非アーベル群は可解かどうかは分かりません。

べき零群

より一般的には、すべての冪零群は可解である。特に、すべての有限p群は冪零であるため、有限p群は可解である。

四元数群

特に、四元数群は群の拡大によって与えられる可解群である。

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} /2\to Q\to \mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} /2\to 1}$

ここでカーネルは によって生成されたサブグループです。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle -1}$

グループ拡張機能

群の拡大は可解群の典型的な例である。つまり、とが可解群であれば、任意の拡大は${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G'}$

${\displaystyle 1\to G\to G''\to G'\to 1}$

は可解群を定義します。実際、すべての可解群はこのような群の拡大から形成できます。 ${\displaystyle G''}$

非冪零な非可換群

解ける非冪零群の小さな例として、対称群 S ₃が挙げられます。実際、最小の単純非可換群はA ₅（次数5の交代群）であるため、位数が60未満の群はすべて解けることがわかります。

奇数位数の有限群

フェイト＝トンプソン定理は、奇数位数の有限群はすべて解けることを述べています。特に、この定理は、有限群が単純である場合、その有限群は素巡回群であるか偶数位数群であるかのいずれかであることを意味します。

非例

群S ₅は解けない。つまり、合成級数 {E, A ₅ , S ₅ } を持ち（そして、ジョルダン・ヘルダーの定理によれば、他のすべての合成級数はこのものと同値である）、A ₅およびC ₂に同型の因数群を与える。そして、A ₅はアーベルではない。この議論を一般化し、A _nがn > 4に対してS _nの正規、最大、非アーベル単純部分群であるという事実と合わせると、 S _{n は}n > 4に対して解けないことがわかる。これは、すべてのn > 4に対して、根号で解けないn 次多項式が存在すること（アーベル・ルフィニの定理）を証明するための重要なステップである。この特性は、複雑性理論においてバリントンの定理の証明にも使用される。

GLのサブグループ₂

サブグループを検討する

${\displaystyle B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*\\0&*\end{bmatrix}}\right\}{\text{, }}U=\left\{{\begin{bmatrix}1&*\\0&1\end{bmatrix}}\right\}}$ の${\displaystyle GL_{2}(\mathbb {F} )}$

ある体 に対して群商が成り立つ。すると、の任意の元を取り、それらを掛け合わせ、どのような構造を与えるかを求めることで群商を求めることができる。つまり、${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle B/U}$ ${\displaystyle B,U}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&ad+b\\0&c\end{bmatrix}}}$

の行列式条件はを意味するので、 は部分群（ となる行列）であることに注意してください。 を固定すると、線形方程式はを意味します。これは であるため、 の任意の要素です。 の任意の行列を取り、 の行列と掛け合わせることができるので、${\displaystyle GL_{2}}$ ${\displaystyle ac\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\subset B}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle ad+b=0}$ ${\displaystyle d=-b/a}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle b\in \mathbb {F} }$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}}$

を用いると、 の対角行列が得られます。これは商群を示しています。 ${\displaystyle d=-b/a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B/U\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }}$

述べる

この記述は をとして 分解したもので、 は によって に作用することに注意してください。これはを意味します。また、 という形式の行列は${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {F} \rtimes (\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times })}$ ${\displaystyle (a,c)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (a,c)(b)=ab}$ ${\displaystyle (a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}}$

グループ内の 要素に対応します。${\displaystyle (b)\times (a,c)}$

ボレル部分群

線型代数群 に対して、ボレル部分群はにおいて閉じており、連結で、かつ可解な部分群として定義され、これらの性質（最初の2つは位相的性質であることに注意）を持つ最大可能部分群である。例えば、 および における上三角行列または下三角行列の群は、ボレル部分群の2つである。上記の例、における部分群はボレル部分群である。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle GL_{n}}$ ${\displaystyle SL_{n}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle GL_{2}}$

GLにおけるボレル部分群₃

そこにはサブグループがある${\displaystyle GL_{3}}$

${\displaystyle B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}U_{1}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*\\0&1&*\\0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$

ボレル群は次の形をとることに注意せよ。${\displaystyle B/U_{1}\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }}$

${\displaystyle U\rtimes (\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times })}$

単純線型代数群の積におけるボレル部分群

積群においてボレル部分群は次の形式の行列で表すことができる。${\displaystyle GL_{n}\times GL_{m}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T&0\\0&S\end{bmatrix}}}$

ここで、 は上三角行列であり、は上三角行列です。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m\times m}$

Zグループ

p-シロー部分群が巡回的な有限群は、2つの巡回群の半直積であり、特に可解である。このような群はZ群と呼ばれる。

OEIS値

n次の可解群の数は（ n = 0 から始まる）

0、1、1、1、2、1、2、1、5、2、2、1、5、1、2、1、14、1、5、1、5、2、2、1、15、2、2、5、4、1、4、1、51、1、2、1、14、1、2、2、14、1、6、1、4、2、2、1、52、2、5、1、5、1、15、2、13、2、2、1、12、1、2、4、267、1、4、1、5、1、4、1、50、...（シーケンスA201733 OEISにおいて​

解けない群の順序は

60、120、168、180、240、300、336、360、420、480、504、540、600、660、672、720、780、840、900、960、1008、1020、1080、1092、1140、1176、1200、1260、1320、1344、1380、1440、1500、…（OEISのシーケンスA056866）

プロパティ

解決可能性は、いくつかの操作の下で閉じています。

• Gが解け、HがGの部分群であれば、Hは解ける。^[2]
• Gが解け、 GからHへの準同型性があれば、Hは解けます。同様に（第一同型定理より）、Gが解け、NがGの正規部分群であれば、G / Nは解けます。^[3]
• 前の特性は、次の「2 つの価格で 3 つ」の特性に拡張できます。Gは、 NとG / N の両方が解ける場合にのみ解けます。
• 特に、GとHが解ける場合、直積 G × Hも解けます。

群の拡張により可解性が閉じられる:

• HとG / Hが解ける場合は、 Gも解けます。特に、NとHが解ける場合は、それらの半直積も解けます。

それはまた花輪製品の下で閉じられます:

• GとHが解け、XがG集合である場合、Xに関するGとHの花輪積も解けます。

任意の正の整数Nに対して、導来長が最大Nである可解群は、準同型像、部分代数、および（直）積の採り方に関して閉じているため、群多様体の部分多様体を形成する。導来長が無制限の可解群の列の直積は可解ではないため、すべての可解群の類は多様体ではない。

バーンサイドの定理

バーンサイドの定理は、Gがp ^a q ^bの位数の有限群 であり、 pとq が素数、aとb が負でない整数 である場合、Gは解けると述べています。

関連概念

超可解群

可解性の強化として、群Gが不変正規級数を持ち、その因数が全て巡回的である場合、その群は超可解（または超可溶性）であると呼ばれる。正規級数は定義により有限長であるため、無数群は超可解ではない。実際、すべての超可解群は有限生成であり、アーベル群が超可解であるためには有限生成でなければならない。交代群A ₄は、有限可解でありながら超可解ではない群の例である。

有限生成群に限定すると、次のような群のクラスの配置を考えることができます。

巡回群<アーベル群<冪零群<超可解群<多巡回群<可解群<有限生成群。

事実上解ける群

群Gが有限指数の可解部分群を持つ場合、その群は事実上可解と呼ばれます。これは事実上可換群に似ています。明らかに、すべての可解群は事実上可解です。なぜなら、指数が1である群自体を選択すれば良いからです。

ヒポアーベリアン

可解群とは、その導来級数が有限段階で自明部分群に到達する群のことである。無限群の場合、有限導来級数は安定しない可能性があるが、超限導来級数は必ず安定する。超限導来級数が自明群に到達する群は、ハイポアーベル群^{と呼ばれ、すべての可解群はハイポアーベル群である。G ( α )} = G ^{( α +1 )}となる最初の順序数αは、群Gの（超限）導来長と呼ばれ、すべての順序数は何らかの群の導来長であることが示されている（Malcev 1949）。

p-解ける

有限群が素数pに対してp-可解であるとは、構成系列のすべての因数がp-群であるか、pと素の位数を持つ場合である。有限群が可解であるとは、すべてのpに対してp-可解であるとは、その有限群が可解であるとは限らない。 ^[4]

参照

• 可溶性群

注記

1. ミルン『場の理論』（PDF） p.45。
2. Rotman (1995)、定理5.15、p. 102、Googleブックス
3. Rotman (1995)、定理5.16、p. 102、Googleブックス
4. "p-可解群".群のプロパティに関するウィキ.

参考文献

• マルチェフ, AI (1949)、「一般化冪零代数とその関連群」、マット・スボルニク、新シリーズ、25 (67): 347– 366、MR  0032644
• ロットマン、ジョセフ・J.（1995）「群論入門」、数学大学院テキスト、第148巻（第4版）、シュプリンガー、ISBN 978-0-387-94285-8

外部リンク

• OEISシーケンスA056866（解けない群の順序）
• 反復拡張としての可解群