ℓ進束

代数幾何学において、ノイザンスキームX上のℓ進層は、エタール位相の-加群から成り、を誘導する逆システムである。[ 1 ] [ 2 ]Z/ℓn{\displaystyle \mathbb {Z} /\ell ^{n}}Fn{\displaystyle F_{n}}Fn+1→Fn{\displaystyle F_{n+1}\to F_{n}}Fn+1⊗Z/ℓn+1Z/ℓn→≃Fn{\displaystyle F_{n+1}\otimes _{\mathbb {Z} /\ell ^{n+1}}\mathbb {Z} /\ell ^{n}{\overset {\simeq }{\to }}F_{n}}

バット＝ショルツのプロエタール トポロジーは、別のアプローチを提供します。[ 3 ]

モチベーション

エタール コホモロジー全体の発展は、代数多様体に対するコホモロジーの「位相的」理論、すなわち任意の特性で機能するヴェイユ コホモロジー理論を生み出したいという願望によって推進された。このような理論の本質的な特徴は、特性 0 の体における係数を許容することである。しかし、捩れのない定数エタール層には興味深いコホモロジーがない。例えば、 が体 上の滑らかな多様体である場合、すべての正の に対して が成り立つ。一方、が基底体 で可逆である限り、定数層は「正しい」コホモロジーを生成する。そこで、これが成り立つ素数 を取り、 -進コホモロジーを、および と定義する。 X{\displaystyle X}け{\displaystyle k}H私（Xエット、質問）＝0{\displaystyle H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Q} )=0}私{\displaystyle i}Z/メートル{\displaystyle \mathbb {Z} /m}メートル{\displaystyle m}け{\displaystyle k}ℓ{\displaystyle \ell}ℓ{\displaystyle \ell}H私（Xエット、Zℓ）:=リム←n⁡H私（Xエット、Z/ℓn）{\textstyle H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} _{\ell }):=\varprojlim _{n}H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} /\ell ^{n})}H私（Xエット、質問ℓ）:=リム←n⁡H私（Xエット、Z/ℓn）⊗質問{\textstyle H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Q} _{\ell }):=\varprojlim _{n}H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} /\ell ^{n})\otimes \mathbb {Q} }

しかし、この定義は完全に満足のいくものではありません。位相空間の古典的な場合と同様に、 -ベクトル空間の局所系における係数を持つコホモロジーを考慮する必要があり、そのような局所系とエタール基本群の連続 -表現の間にはカテゴリ同値性が存在する必要があります。 質問ℓ{\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell}}質問ℓ{\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell}}

上記の定義のもう一つの問題は、が可分閉体である場合にのみ適切に動作するという点である。この場合、逆極限に現れる群はすべて有限生成であり、極限をとることは正確である。しかし、 が例えば数体 である場合、コホモロジー群はしばしば無限となり、極限は正確ではなくなるため、関数性に関する問題が生じる。例えば、のガロアコホモロジーに関連するホックシルト・セールスペクトル列は一般に存在しない。[ 4 ]け{\displaystyle k}け{\displaystyle k}H私（Xエット、Z/ℓn）{\displaystyle H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} /\ell ^{n})}H私（Xエット、Zℓ）{\displaystyle H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} _{\ell })}H私（（Xけ9月）エット、Zℓ）{\displaystyle H^{i}((X_{k^{\text{sep}}})_{\text{ét}},\mathbb {Z} _{\ell })}

これらの考察から、上述の逆層の圏について考察することになる。すると、（-局所系の場合、および-系の場合もが正規化している場合）基本群の表現と圏の望ましい同値性が得られ、最後の段落の問題は、いわゆる連続エタールコホモロジーによって解決される。これは、系の大域的断面上の極限を取る合成関数の 導来関数を取るものである。Zℓ{\displaystyle \mathbb {Z} _{\ell }}X{\displaystyle X}質問ℓ{\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell}}

構成可能かつリッセℓ進層

ℓ進層は次のように言われる。 {Fn}≥0{\displaystyle \{F_{n}\}_{\geq 0}}

  • それぞれが構築可能であれば、構築可能です。Fn{\displaystyle F_{n}}
  • それぞれが構築可能かつ局所的に定数である場合に、これを解決します。Fn{\displaystyle F_{n}}

一部の著者（例えばSGA 4 1 ⁄ 2の著者）[ 5 ]はℓ進層が構成可能であると仮定している。

幾何学的点xを有する連結スキームXが与えられたとき、SGA 1 は、xにおけるXのエタール基本群を、 Xの有限ガロア被覆を分類する群として定義する。すると、 X上の lisse ℓ-進層の圏は、有限自由 -加群上の の連続表現の圏と同値となる。これは、代数位相幾何学における局所系と基本群の連続表現との対応関係に類似している（このため、lisse ℓ-進層は局所系とも呼ばれる）。 π1エット（X、×）{\displaystyle \pi _{1}^{\text{ét}}(X,x)}π1エット（X、×）{\displaystyle \pi _{1}^{\text{ét}}(X,x)}Zl{\displaystyle \mathbb {Z} _{l}}

ℓ進コホモロジー

ℓ 進コホモロジー群は、特定のねじれ係数を持つエタールコホモロジー群の逆極限です。

構成可能なℓ進層の「導来カテゴリ」

ℓ進コホモロジーの場合と同様に、構成可能層の導来カテゴリは本質的に次のように定義される。質問¯ℓ{\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell }}Dcb（X、質問¯ℓ）:=（リム←n⁡Dcb（X、Z/ℓn））⊗Zℓ質問¯ℓ。{\textstyle D_{c}^{b}(X,{\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell }):=(\varprojlim _{n}D_{c}^{b}(X,\mathbb {Z} /\ell ^{n}))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}{\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell }.}

Bhatt & Scholze 2013 は、「日常生活では、（大きなトラブルに巻き込まれることなく）それが単に仮説的な派生カテゴリの完全なサブカテゴリであると仮定します...」 と書いています。Dcb(X,Q¯ℓ){\displaystyle D_{c}^{b}(X,{\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell })}D(X,Q¯ℓ){\displaystyle D(X,{\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell })}

参照

参考文献

  1. ^ミルン, ジェームズ・S. (1980-04-21).エタールコホモロジー (PMS-33) . プリンストン大学出版局. p. 163. ISBN 978-0-691-08238-7。
  2. ^ 「Stacks プロジェクト、タグ 03UL」。。
  3. ^バット、バーガブ;ショルツ、ピーター (2013-09-04)。 「スキームのためのプロエタール・トポロジー」。arXiv : 1309.1198v2 [ math.AG ]。
  4. ^ヤンセン、ウーヴェ (1988)。「連続エタールコホモロジー」。数学アンナレン。280 (2): 207–246。土井: 10.1007/BF01456052。ISSN 0025-5831。 
  5. ^ Deligne, Pierre (1977). Cohomologie Etale . Lecture Notes in Mathematics (in French). Vol. 569. ベルリン; ニューヨーク: Springer-Verlag . pp. iv+312. doi : 10.1007/BFb0091516 . ISBN 978-3-540-08066-4. MR  0463174 .
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