相互分配

相互
確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle 0<a<b,a,b\in \mathbb {R} }$
サポート	${\displaystyle [a,b]}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{x\ln {\frac {b}{a}}}}}}$
CDF	${\displaystyle {\frac {\ln {\frac {x}{a}}}{\ln {\frac {b}{a}}}}}$
平均	${\displaystyle {\frac {ba}{\ln {\frac {b}{a}}}}$
中央値	${\displaystyle {\sqrt {ab}}}$
モード	${\displaystyle a}$
分散	${\displaystyle {\frac {b^{2}-a^{2}}{2\ln {\frac {b}{a}}}}-\left({\frac {ba}{\ln {\frac {b}{a}}}}\right)^{2}}$
エントロピ	${\displaystyle \ln \left(\ln \left({\frac {b}{a}}\right)\right)+{\frac {\ln \left(b\right)^{2}-\ln \left(a\right)^{2}}{2\ln \left({\frac {b}{a}}\right)}}}$
MGF	${\displaystyle {\frac {{\rm {Ei}}(bt)-{\rm {Ei}}(at)}{\ln \left(b\right)-\ln \left(a\right)}}}$
CF	${\displaystyle {\frac {{\rm {Ei}}(ibt)-{\rm {Ei}}(iat)}{\ln \left(b\right)-\ln \left(a\right)}}}$

確率と統計において、逆数分布（対数一様分布とも呼ばれる）は連続確率分布の一種である。分布のサポート内で、確率密度関数が変数の 逆数に比例するという特徴を持つ。

逆数分布は逆分布の一例であり、逆数分布を持つ確率変数の逆数（逆数）自体も逆数分布を持ちます。

意味

逆分布の確率密度関数（pdf ）は

${\displaystyle f(x;a,b)={\frac {1}{x[\ln(b)-\ln(a)]}}\quad {\text{ }}a\leq x\leq b{\text{ かつ }}a>0 の場合。}$

ここで、およびは分布のパラメータであり、それぞれ支持値の下限と上限であり、は自然対数である。累積分布関数は ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \ln}$

${\displaystyle F(x;a,b)={\frac {\ln(x)-\ln(a)}{\ln(b)-\ln(a)}}\quad {\text{ }}a\leq x\leq b の場合。}$

キャラクター設定

対数一様分布と一様分布の関係

逆分布からのランダム偏差のヒストグラムと対数ヒストグラム

正の確率変数Xは、 Xの対数が一様分布する場合、対数一様分布する。

${\displaystyle \ln(X)\sim {\mathcal {U}}(\ln(a),\ln(b)).}$

この関係は、対数関数や指数関数の底に関わらず成り立ちます。が一様分布する場合、任意の2つの正の数 に対して も一様分布します。同様に、が対数一様分布する場合、 も一様分布します。ただしです。 ${\displaystyle \log _{a}(Y)}$ ${\displaystyle \log_{b}(Y)}$ ${\displaystyle a,b\neq 1}$ ${\displaystyle e^{X}}$ ${\displaystyle a^{X}}$ ${\displaystyle 0<a\neq 1}$

アプリケーション

逆数分布は数値解析において非常に重要です。なぜなら、コンピュータの算術演算、特に繰り返しの乗算や除算は、初期の任意の分布を持つ仮数を極限分布としての逆数分布に変換するからです。^{[ 1 ]}

参考文献

1. Hamming RW (1970)「数の分布について」、ベルシステム技術ジャーナル49(8) 1609–1625