クラス番号の式

数論において、類数公式は代数体の多くの重要な不変量をそのデデキントゼータ関数の特殊値に関連付けます。

クラス番号式の一般的な説明

まず、次のデータから始めます。

• Kは数体です。
• [ K  : Q ] = n = r ₁ + 2 r ₂、ここでr ₁はKの実埋め込みの数、2 r ₂はKの複素埋め込みの数です。
• ζ _K ( s )はKのデデキントゼータ関数です。
• h _Kはクラス数、つまりKの理想クラス群内の要素の数です。
• Reg _KはKの調節因子です。
• w _KはKに含まれる1 の根の数です。
• D _Kは拡張K / Qの判別式です。

それから：

定理（類数公式）。ζ K ( s )_はRe( s ) > 1で絶対収束し、すべての複素数sに対して定義される有理型関数に拡張され、s = 1で唯一の単純な極を持ち、留数が

${\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot \operatorname {Reg} _{K}\cdot h_{K}}{w_{K}\cdot {\sqrt {|D_{K}|}}}}}$

これは最も一般的な「類数公式」です。特定の場合、例えばK がQの円分拡大である場合などには、より洗練された特別な類数公式が存在します。

証拠

類数公式の証明の考え方は、K = Q (i) のときに最も簡単に理解できます。この場合、 Kの整数環はガウス整数です。

基本的な操作から、デデキントゼータ関数のs = 1 における留数は、デデキントゼータ関数のディリクレ級数表現の係数の平均であることが分かります。ディリクレ級数のn番目の係数は、本質的に、 nを非負整数の2つの平方の和として表現したものの数です。したがって、表現の平均数を計算することで、デデキントゼータ関数のs = 1 における留数を計算できます。ガウス円問題に関する記事と同様に、原点を中心とする1/4円内の格子点の数を近似することでこれを計算でき、留数は円周率の1/4であると結論付けることができます。

Kが任意の虚数二次数体である場合の証明は非常に似ている。 ^{[ 1 ]}

一般的な場合、ディリクレの単位定理により、 Kの整数環の単位群は無限である。しかしながら、実数および複素数埋め込みの古典理論を用いて留数の計算を格子点数計算問題に帰着させ、領域内の格子点の数をその領域の体積で近似することで証明を完了することができる。

ディリクレ類数の公式

ピーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレは1839年に二次体の類数公式の証明を発表したが、それはイデアル類ではなく二次形式の言語で述べられていた。ガウスは1801年に既にこの公式を知っていたようである。^{[ 2 ]}

この解説はダヴェンポートの解説に倣ったものである。^{[ 3 ]}

d を基本判別式とし、判別式dを持つ二次形式の同値類の数をh(d)と書く。 をクロネッカー記号とする。すると、はディリクレ指標となる。に基づくディリクレL級数を と書く。 d > 0に対して、t > 0、u > 0をuが最小となるペル方程式の解とし、 と書く。 ${\displaystyle \chi =\left(\!{\frac {d}{m}}\!\right)}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle L(s,\chi )}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle t^{2}-du^{2}=4}$

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}(t+u{\sqrt {d}}).}$

（この場合、は実二次体の基本単位か、基本単位の平方のいずれかである。） d < 0 の場合、w を判別式dの二次形式の自己同型数の個数と書き、すなわち、 ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$

${\displaystyle w={\begin{cases}2,&d<-4;\\4,&d=-4;\\6,&d=-3.\end{cases}}}$

そしてディリクレは

${\displaystyle h(d)={\begin{cases}{\dfrac {w{\sqrt {|d|}}}{2\pi }}L(1,\chi ),&d<0;\\{\dfrac {\sqrt {d}}{2\ln \varepsilon }}L(1,\chi ),&d>0.\end{cases}}}$

これは上記の定理1の特別な場合です。二次体Kに対して、デデキントのゼータ関数は であり、留数は です。ディリクレはまた、 L級数が有限形式で書けることを示し、これは類数の有限形式を与えます。 が原始的で素導体であると仮定します。すると ${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\zeta (s)L(s,\chi )}$ ${\displaystyle L(1,\chi )}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle L(1,\chi )={\begin{cases}-{\dfrac {\pi }{q^{3/2}}}\sum _{m=1}^{q-1}m\left({\dfrac {m}{q}}\right),&q\equiv 3\mod 4;\\-{\dfrac {1}{2q^{1/2}}}\sum _{m=1}^{q-1}\left({\dfrac {m}{q}}\right)\ln \left(\sin {\dfrac {m\pi }{q}}\right),&q\equiv 1\mod 4.\end{cases}}}$

有理数のガロア拡大

KがQのガロア拡大であるとき、アルティンL関数の理論が に適用される。K はリーマンゼータ関数の1つの因子を持ち、その極は留数1であり、その商はs = 1 で正則である。これは、類数公式の右辺が左辺と等しくできることを意味する。 ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$

Π L (1,ρ)^の次元ρ

ρ は次元 dim(ρ) のGal( K / Q ) の既約な非自明な複素線型表現のクラス全体にわたっている。これは正規表現の標準的な分解に従う。

有理数のアーベル拡張

これは上記のケースであり、Gal( K / Q )はアーベル群であり、そのすべての ρ は、導体と呼ばれるある係数fに対して、（類体論を介して）ディリクレ指標に置き換えることができる。したがって、すべてのL (1) 値はディリクレL関数に現れ、これには対数を含む古典的な公式が存在する。

クロネッカー・ウェーバーの定理によれば、解析的類数公式に必要な値はすべて、円分体を考慮すると既に得られる。その場合、クンマーによって示されたように、さらなる定式化が可能である。「対数空間」における体積を円分体の単位の対数で割った計算であるレギュレータは、 L (1)から円分単位の対数として認識できる量に対して設定することができる。その結果、類数は単位群全体における円分単位の指数によって決定されるという式が得られる。

岩澤理論では、これらの考え方がさらにスティッケルバーガーの定理と組み合わされています。

参照

• ブルーマー・スターク予想
• スミス・ミンコフスキー・ジーゲル質量公式

注記

1. 虚二次体のディリクレ類数公式に関する講義、トム・ウェストン、2004年。
2. 「ガウスは1801年にディリクレの類数の公式を知っていたのか？」 MathOverflow . 2012年10月10日.
3. ダベンポート, ハロルド(2000).モンゴメリー, ヒュー・L. (編).乗法数論. 大学院数学テキスト 第74巻 (第3版). ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. pp.  43– 53. ISBN 978-0-387-95097-6. 2009年5月26日閲覧。

参考文献

• W. Narkiewicz (1990).代数的数の基礎理論と解析理論（第2版）. Springer-Verlag / Polish Scientific Publishers PWN . pp.  324–355 . ISBN 3-540-51250-0。

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