高さ関数
複雑さを定量化する数学関数

高さ関数は、数学的対象の複雑さを定量化する関数である。ディオファントス幾何学において、高さ関数はディオファントス方程式の解の大きさを定量化し、典型的には代数多様体（または代数多様体集合）上の点集合から実数への関数である。[1]

たとえば、有理数上の古典的または素朴な高さは、通常、座標の分子と分母の最大値（たとえば、座標(3/7, 1/2)の場合は7 ）として定義されますが、対数スケールになります。

意義

高さ関数を用いることで、数学者は有理点など、本来は無限個存在するオブジェクトを数えることができる。例えば、任意の定数以下の素朴高さ（分子と分母を最小の項で表したときの最大値）の有理数集合は、有理数集合が無限個であるにもかかわらず有限である。[2]この意味で、高さ関数は、アラン・ベイカー （1966、1967a、1967b） によって証明された超越数論におけるベイカーの定理などの漸近的結果を証明するために用いることができる。

他の場合には、高さ関数は、その複雑さに基づいていくつかのオブジェクトを区別することができます。例えば、Wolfgang M. Schmidt (1972)によって証明された部分空間定理は、射影空間 における高さの小さい（すなわち複雑さの小さい）点が有限個の超平面に存在することを証明し、積分点に関するシーゲルの定理とS単位方程式の解を一般化します。[3]

高さ関数は、それぞれヴェイユ （1929）とファルティングスの定理 （1983）の証明において極めて重要な役割を果たした。代数多様体上の有理点の高さに関する未解決の問題の中には、マニン予想やヴォイタ予想などがあり、ディオファントス近似、ディオファントス方程式、数論幾何学、数理論理学といった分野に広範な影響を与えている。[4] [5]

歴史

高さ関数の初期の形式はジャンバッティスタ・ベネデッティ（1563年頃）によって提案され、彼は音楽の音程の協和音はその分子と分母（簡約形）の積によって測定できると主張した。ジャンバッティスタ・ベネデッティ§音楽を参照。[要出典]

ディオファントス幾何学における高さは、1920年代初頭にアンドレ・ヴェイユとダグラス・ノースコットによって初めて発展させられました。 [6] 1960年代の革新は、ネロン・テイト高さと、高さが射影表現と、代数幾何学の他の部分における豊か直線束とほぼ同様に結びついているという認識でした。1970年代には、シュレン・アラケロフがアラケロフ理論においてアラケロフ高さを展開しました。[7] 1983年、ファルティングスはファルティングスの定理の証明においてファルティングス高さの理論を展開しました。[8]

ディオファントス幾何学における高さ関数

ナイーブな高さ

古典的あるいは素朴な高さは、同次座標上の通常の絶対値で定義される。これは通常対数スケールであるため、「代数的複雑性」、つまり点を格納するために必要なビット数に比例すると見なすことができる。 [2]これは通常、互いに素な整数のベクトルに最小公分母を乗じて得られるベクトルの最大絶対値の対数として定義される。これは、 Q上の射影空間上の点、係数ベクトルとみなされる多項式、あるいは代数的数の高さを、その最小多項式の高さから定義するために使用できる。[9]

有理数 x = p / qの単純な高さ（最小項）は

  • 乗法高さ H （ p / q ） ＝ 最大 { | p | 、 | q | } {\displaystyle H(p/q)=\max\{|p|,|q|\}}
  • 対数高さ: [10] h （ p / q ） ＝ ログ ⁡ H （ p / q ） {\displaystyle h(p/q)=\log H(p/q)}

したがって、4/10の単純な乗法および対数の高さは、たとえば 5とlog(5)です。

y 2 = x 3 + Ax + Bで与えられる楕円曲線Eの単純な高さHは、 H(E) = log max(4| A | 3 , 27| B | 2 )と定義されます。

ネロン・テート高

ネロン・テイト高、あるいは標準高は、大域体上に定義されたアーベル多様体の有理点のモルデル・ヴェイユ群上の二次形式である。この高は、局所高の和として最初に定義したアンドレ・ネロン[11]と、未発表の研究で大域的に定義したジョン・テイト[12]にちなんで名付けられている。

ワイル高

X を数体K上の射影多様体とする。LをX上の直線束とする。X上のWeil 高さはLに関して次のように定義される。

まず、Lが非常に豊富であると仮定する。大域セクションの空間の基底の選択は、Xから射影空間への射影ϕを定義し、X上のすべての点pに対してを定義 する。ここでhは射影空間上のナイーブ高さである。[13] [14] XとL を固定した場合、大域セクションの異なる基底を選択すると は変化するが、それはpの有界関数によってのみ変化する。したがって、O(1)の関数を追加するまでは は明確に定義されている。 Γ （ X 、 L ） {\displaystyle \Gamma (X,L)} h L （ p ） := h （ ϕ （ p ） ） {\displaystyle h_{L}(p):=h(\phi (p))} h L {\displaystyle h_{L}} h L {\displaystyle h_{L}}

一般に、 LをX上の2つの非常に豊富な直線束L1とL2の差として書き、これもO (1)まで 明確に定義できる。[13] [14] h L := h L 1 − h L 2 、 {\displaystyle h_{L}:=h_{L_{1}}-h_{L_{2}},}

アラケロフの高さ

代数的数体上の射影空間上のアラケロフ高さは、アルキメデス体上のフビニ・スタディ計量と非アルキメデス体上の通常の計量から得られる局所的な寄与を持つ大域的な高さ関数である。[ 15 ] [ 16 ]これは通常のヴェイユ高さに異なる計量を加えたものである。[17]

ファルティングスの高さ

数体上に定義されたアーベル多様体のファルティングス高さは、その算術計算の複雑さの尺度である。これは計量化された直線束の高さによって定義される。これはファルティングス(1983) がモーデル予想 の証明において導入した。

代数における高さ関数

多項式の高さ

次数 nの多項式 Pは

P ＝ 1つの 0 + 1つの 1 × + 1つの 2 × 2 + ⋯ + 1つの n × n 、 {\displaystyle P=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},}

高さ H（P）は、その係数の大きさの最大値として定義される：[18]

H （ P ） ＝ 最大 私 | 1つの 私 | 。 {\displaystyle H(P)={\underset {i}{\max}}\,|a_{i}|.}

同様に長さ L ( P )を係数の大きさの合計として定義することもできます。

L （ P ） ＝ ∑ 私 ＝ 0 n | 1つの 私 | 。 {\displaystyle L(P)=\sum _{i=0}^{n}|a_{i}|.}

マーラー尺度との関係

Pのマーラー測度 M ( P )はPの複雑さの尺度でもある。[19] 3つの関数H ( P )、L ( P )、M ( P )は不等式によって関連している。

（ n ⌊ n / 2 ⌋ ） − 1 H （ P ） ≤ M （ P ） ≤ H （ P ） n + 1 ; {\displaystyle {\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor }}^{-1}H(P)\leq M(P)\leq H(P){\sqrt {n+1}};}
L （ p ） ≤ 2 n M （ p ） ≤ 2 n L （ p ） ; {\displaystyle L(p)\leq 2^{n}M(p)\leq 2^{n}L(p);}
H （ p ） ≤ L （ p ） ≤ （ n + 1 ） H （ p ） {\displaystyle H(p)\leq L(p)\leq (n+1)H(p)}

ここでは二項係数です。 （ n ⌊ n / 2 ⌋ ） {\displaystyle \scriptstyle {\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor }}}

保型形式における高さ関数

アデリック代数群の一般線型群上の保型形式の定義における条件の1つは中程度の増加であり、これはアフィン多様体として見た一般線型群上の高さ関数の増加に関する漸近条件である。[20]

その他の高さ関数

既約有理数 x = p / q , q > 0の高さは（この関数はと間の一対一関数を構築するために使用される）。[21] | p | + q {\displaystyle |p|+q} 北 {\displaystyle \mathbb {N} } 質問 {\displaystyle \mathbb {Q} }

参照

参考文献

  1. ^ ラング （1997年、43～67ページ）
  2. ^ ボンビエリとギュブラー（2006年、15～21ページ）
  3. ^ ボンビエリとギュブラー（2006年、176～230ページ）
  4. ^ ヴォイタ （1987）
  5. ^ ファルティングス （1991）
  6. ^ ヴァイル （1929）
  7. ^ ラング （1988）
  8. ^ ファルティングス （1983）
  9. ^ ベイカーとヴュストホルツ （2007年、3ページ）
  10. ^ mathoverflow の質問: 曲線上の有理点の平均高さ
  11. ^ ネロン （1965）
  12. ^ ラング （1997）
  13. ^ ab シルバーマン （1994、III.10）
  14. ^ ab Bombieri and Gubler (2006, セクション2.2–2.4)
  15. ^ ボンビエリとギュブラー（2006年、66～67ページ）
  16. ^ ラング （1988年、156～157ページ）
  17. ^ フィリ、ペッチェ、プリツカー（2017年、441頁）
  18. ^ ボルウェイン （2002）
  19. ^ マーラー （1963）
  20. ^ バンプ （1998）
  21. ^ コルモゴロフとフォーミン (1957、p. 5)

出典

  • Mathworldの多項式の高さ
「https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Height_function&oldid=1284054531」より取得