導体（環理論）

数学の一分野である環論において、導手とは可換環と拡大環がどれだけ離れているかを示す尺度である。多くの場合、大きい方の環はその分数体において整閉な領域であり、導手は小さい方の環が整閉でないことを測る。

導体は、代数体の整数環における非最大順序の研究において非常に重要である。導体の一つの解釈は、素イデアルへの一意因数分解の失敗を測定するというものである。

意味

AとB $を$ 可換環とし、 $A\subseteqBとする。B$ におけるAの導手^[¹^]はイデアルである。

{\mathfrak {f}}(B/A)=\operatorname {Ann} _{A}(B/A).

ここで、 $B / A$ はA加群の商とみなされ、 $Annは$ 消滅器を表す。より具体的には、導体は集合である。

{\mathfrak {f}}(B/A)=\{a\in A\colon aB\subseteq A\}.

導体は消滅子として定義されているため、Aのイデアルです。

Bが整域である場合、導体は次のように書き直される。

\{0\}\cup \left\{a\in A\setminus \{0\}:B\subseteq \textstyle {\frac {1}{a}}A\right\},

ここで、はBの分数体の部分集合とみなされます。つまり、aが非ゼロで導波体に含まれる場合、Bのすべての元は、分子がAに含まれ、分母がaである分数として表すことができます。したがって、導波体の非ゼロ元とは、 Bの元をAの元の商として表す際に、共通分母として十分な元です。 $\textstyle {\frac {1}{a}}A$

RがBを含む環であるとする。例えば、R はB に等しいかもしれないし、あるいはB が定義域でR がその分数体であるかもしれない。その場合、 $1 \in B$ なので、導手は

\{r\in R:rB\subseteq A\}.

基本的な性質

導体が環A全体となるための必要十分条件は、それが $1 \in A$ を含み、したがって、 $A = B$ となることと同値である。そうでない場合、導体はAの真イデアルである。

添字 $m = [B : A]$ が有限ならば、 $mB \subseteq A$ となるので、となる。この場合、導手は非ゼロとなる。これは特に、B が代数体上の整数環であり、A が位数（ $B$ $/$ $A$ が有限となる部分環）である場合に当てはまる。 $m\in {\mathfrak {f}}(B/A)$

導体はBのイデアルでもあります。なぜなら、 $B$ の任意の $b$ との任意の $a$ について、 $baB$ $\subseteq$ $aB$ $\subseteq$ $A$ が成り立つからです。実際、BのイデアルJがAに含まれる場合、かつその場合のみ、 J が導体に含まれることになります。確かに、そのようなJについて、 $JB$ $\subseteq$ $J$ $\subseteq$ $A$ であるため、定義によりJはに含まれます。逆に、導体はAのイデアルであるため、それに含まれる任意のイデアルはAに含まれます。この事実は、がAの最大のイデアルであり、それがBのイデアルでもあることを意味します。(導体に含まれるAのイデアルがBのイデアルでない場合もあります。) ${\mathfrak {f}}(B/A)$ ${\mathfrak {f}}(B/A)$ ${\mathfrak {f}}(B/A)$

SがAの乗法部分集合であるとする。すると

S^{-1}{\mathfrak {f}}(B/A)\subseteq {\mathfrak {f}}(S^{-1}B/S^{-1}A),

Bが有限生成A加群である場合も等しくなります。

デデキント領域の伝導体

導体の最も重要な応用のいくつかは、Bがデデキント整域で $B / A$ が有限であるときに生じる。例えば、B が数体の整数環で、A が非最大位数であるような場合である。あるいは、B が有限体上の滑らかな射影曲線のアフィン座標環で、Aが特異モデルのアフィン座標環であるような場合である。環Aは素イデアルへの一意な因数分解を持たず、一意な因数分解の失敗は導体によって測定される。 ${\mathfrak {f}}(B/A)$

伝導体と互いに素なイデアルは、デデキント整域におけるイデアルの多くの好ましい性質を共有している。さらに、これらのイデアルについては、 BのイデアルとAのイデアルの間に密接な対応関係がある。

Aの互いに素なイデアルは、導手と互いに素である可逆な素イデアルの積に一意に因数分解できる。特に、そのようなイデアルはすべて可逆である。 ${\mathfrak {f}}(B/A)$
I がBのイデアルでと互いに素であるならば、 $I$ $\cap$ $A$ はAのイデアルでと互いに素であり、自然な環準同型は同型である。特に、I が素数となるのは、 $I$ $\cap$ $A が$ 素数となるときのみである。 ${\mathfrak {f}}(B/A)$ ${\mathfrak {f}}(B/A)$ $A/(I\cap A)\to B/I$
JがAのイデアルでと互いに素であるならば、 $JB$ はBのイデアルでと互いに素であり、自然環準同型は同型である。特に、Jが素であることとJB が素であることは同値である。 ${\mathfrak {f}}(B/A)$ ${\mathfrak {f}}(B/A)$ $A/J\to B/JB$
関数とは、と互いに素なAのイデアルとと互いに素なBのイデアルとの間の一対一写像を定義します。この一対一写像は素数であるという性質を保存します。また、乗法性も持ち、ととなります。 $I\mapsto I\cap A$ $J\mapsto JB$ ${\mathfrak {f}}(B/A)$ ${\mathfrak {f}}(B/A)$ $(I\cap A)(I'\cap A)=II'\cap A$ $(JB)(J'B)=JJ'B$

これらの性質はすべて、伝導体と互いに素でないイデアルでは一般に成り立たない。起こりうる困難の例をいくつか挙げると、JがAとBの両方の非零イデアル（特に、伝導体に含まれ、したがって互いに素ではない）であると仮定する。すると、 $A$ $=$ $B$ でない限り、 J はAの可逆な分数イデアルにはなり得ない。Bはデデキント整域であるため、 JはBにおいて可逆であり、したがって

\{x\in K\colon xJ\subseteq J\}=B,

方程式 $xJ \subseteq J$ の両辺にJ ⁻¹を掛け合わせればよいからです。J も A において可逆であれば、同じ推論が当てはまります。しかし、上記の方程式の左辺はAやBを参照しておらず、それらの共有分数体のみを参照しているため、 $A$ $=$ $B$ となります。したがって、 AとBの両方のイデアルであるということは、Aにおいて非可逆性を意味します。

二次数体の伝導体

K をQの二次拡大とし、 $O$ $K を$ その整数環とします。 $1 \in$ $O$ $K を$ Z基底に拡張すると、 Kのすべての位数Oは、何らかの正の整数cに対して $Z$ $+$ $cO$ $K$ の形をとることがわかります。この位数の導体は、イデアルcO _Kに等しいです。確かに、 cO _KはOに含まれるO _Kのイデアルであることは明らかなので、それは導体に含まれています。一方、cO _Kを含むOのイデアルは、商環 $($ $Z$ $+$ $cO$ $K$ $) /$ $cO$ $K$ のイデアルと同じです。後者の環は、第 2 同型定理により $Z$ $/$ $c$ $Z$ と同型なので、Oのそのようなイデアルはすべて、 cO _KとZのイデアルの和です。この同型では、導体は $Z$ $/$ $c$ $Zを消滅させるので、$ $c$ $Z$ でなければなりません。

この場合、指数 $[O K : O]も$ cに等しいので、二次数体の位数については指数を導体と同一視できる。しかし、高次の数体ではこの同一視は成立しない。

参考文献

^ブルバキ、ニコラス (1989)。可換代数。スプリンガー。 p. 316.ISBN 0-387-19371-5。

参照

積分要素

[1] ブルバキ、ニコラス (1989)。可換代数。スプリンガー。 p. 316.ISBN 0-387-19371-5。

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