複素確率変数

確率論と統計学において、複素確率変数は実数値確率変数を複素数に一般化したものである。つまり、複素確率変数が取り得る値は複素数である。^{[ 1 ]}複素確率変数は常に実数確率変数の実部と虚部からなるペアとして考えることができる。したがって、 1つの複素確率変数の分布は、2つの実数確率変数の結合分布として解釈することができる。

実確率変数の概念の中には、複素確率変数に簡単に一般化できるものがあります（例えば、複素確率変数の 平均の定義など） 。その他の概念は複素確率変数に特有のものです。

複素確率変数の応用としては、デジタル信号処理、^{[ 2 ]}直交振幅変調、情報理論などが挙げられます。

意味

確率空間上の複素確率変数は、その実部と虚部の両方が上の実確率変数となる関数です。 ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle Z\colon \Omega \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Re {(Z)}}$ ${\displaystyle \Im {(Z)}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

例

簡単な例

表に示されている確率で 3つの複素数値のみを取る確率変数を考えてみましょう。これは複素確率変数の簡単な例です。${\displaystyle 1+i,1-i,2}$

確率${\displaystyle P(z)}$	価値${\displaystyle z}$
${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle 1+i}$
${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle 1-i}$
${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle 2}$

このランダム変数の期待値は次のように簡単に計算できます。 ${\displaystyle \operatorname {E} [Z]={\frac {1}{4}}(1+i)+{\frac {1}{4}}(1-i)+{\frac {1}{2}}2={\frac {3}{2}}.}$

均一分布

複素確率変数のもう一つの例は、塗りつぶされた単位円、すなわち集合 上の一様分布です。この確率変数は、確率密度関数が定義されている複素確率変数の例です。密度関数は、次の図において黄色の円と濃い青色の底で示されています。 ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq 1\}}$

複素正規分布

複素ガウス分布確率変数は、応用分野でよく登場します。これは実ガウス分布確率変数を単純に一般化したものです。次のグラフは、複素ガウス分布確率変数の分布の例を示しています。

累積分布関数

累積分布関数を実数から複素数へ一般化することは、その形式の表現が意味をなさないため、自明ではありません。しかし、その形式の表現は意味をなします。したがって、複素数確率変数の累積分布は、その実部と虚部の 結合分布によって定義されます。${\displaystyle P(Z\leq 1+3i)}$ ${\displaystyle P(\Re {(Z)}\leq 1,\Im {(Z)}\leq 3)}$ ${\displaystyle F_{Z}:\mathbb {C} \to [0,1]}$

${\displaystyle F_{Z}(z)=F_{\Re {(Z)},\Im {(Z)}}(\Re {(z)},\Im {(z)})=P(\Re {(Z)}\leq \Re {(z)},\Im {(Z)}\leq \Im {(z)})}$

式1

確率密度関数

複素確率変数の確率密度関数は と定義されます。つまり、ある点における密度関数の値は、その点で評価される確率変数の実部と虚部の結合密度の値と等しくなるように定義されます。 ${\displaystyle f_{Z}(z)=f_{\Re {(Z)},\Im {(Z)}}(\Re {(z)},\Im {(z)})}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (\Re {(z)},\Im {(z)})}$

同等の定義は および で与えられます。 ${\displaystyle f_{Z}(z)={\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}P(\Re {(Z)}\leq x,\Im {(Z)}\leq y)}$ ${\displaystyle x=\Re {(z)}}$ ${\displaystyle y=\Im {(z)}}$

実際の場合と同様に、密度関数は存在しない可能性があります。

期待

複素確率変数の期待値は、実確率変数の期待値の定義に基づいて定義される：^{[ 3 ]：p.112}

${\displaystyle \オペレーター名 {E} [Z]=\オペレーター名 {E} [\Re {(Z)}]+i\オペレーター名 {E} [\Im {(Z)}]}$

式2

または が存在しない 場合には、複素確率変数の期待値は存在しないことに注意してください。${\displaystyle \operatorname {E} [\Re {(Z)}]}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [\Im {(Z)}]}$

複素確率変数が確率密度関数 を持つ場合、期待値は で与えられます。 ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f_{Z}(z)}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\iint _{\mathbb {C} }z\cdot f_{Z}(z)\,dx\,dy}$

複素確率変数がでサポートされる確率質量関数を持つ場合、期待値は で与えられます。 ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle p_{Z}}$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\sum _{z\in D}z\cdot p_{Z}(z)}$

プロパティ

複素確率変数の期待値が存在するときはいつでも、期待値と複素共役は交換可能です。

${\displaystyle {\overline {\operatorname {E} [Z]}}=\operatorname {E} [{\overline {Z}}].}$

期待値演算子は 、次の意味で 線形である。${\displaystyle \operatorname {E} [\cdot ]}$

${\displaystyle \オペレーター名 {E} [aZ+bW]=a\オペレーター名 {E} [Z]+b\オペレーター名 {E} [W]}$

任意の複素係数に対して、と が独立でなくても となります。 ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W}$

分散と擬似分散

分散は絶対値の二乗で次のように定義される: ^{[ 3 ] : 117}

${\displaystyle \operatorname {K} _{ZZ}=\operatorname {Var} [Z]=\operatorname {E} \left[\left|Z-\operatorname {E} [Z]\right|^{2}\right]=\operatorname {E} [|Z|^{2}]-\left|\operatorname {E} [Z]\right|^{2}}$

式3

プロパティ

分散は常に非負の実数です。これは、複素確率変数の実部と虚部の分散の和に等しくなります。

${\displaystyle \operatorname {Var} [Z]=\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]+\operatorname {Var} [\Im {(Z)}].}$

複素確率変数の線形結合の分散は、次の式を使用して計算できます。

${\displaystyle \operatorname {Var} \left[\sum _{k=1}^{N}a_{k}Z_{k}\right]=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}a_{i}{\overline {a_{j}}}\operatorname {Cov} [Z_{i},Z_{j}].}$

擬似分散

擬似分散は擬似共分散の特殊なケースであり、通常の複素平方で定義され、次のように与えられます。

${\displaystyle \operatorname {J} _{ZZ}=\operatorname {E} [(Z-\operatorname {E} [Z])^{2}]=\operatorname {E} [Z^{2}]-(\operatorname {E} [Z])^{2}}$

式4

常に実数かつ正であるの分散とは異なり、 の擬似分散は一般に複素数です。 ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$

実部と虚部の共分散行列

一般的な複素確率変数の場合、ペアの共分散行列は次のようになります。 ${\displaystyle (\Re {(Z)},\Im {(Z)})}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]&\operatorname {Cov} [\Im {(Z)},\Re {(Z)}]\\\operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]&\operatorname {Var} [\Im {(Z)}]\end{bmatrix}}}$

行列は対称なので、${\displaystyle \operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]=\operatorname {Cov} [\Im {(Z)},\Re {(Z)}]}$

その要素は次のようになります:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} (\operatorname {K} _{ZZ}+\operatorname {J} _{ZZ})\\&\operatorname {Var} [\Im {(Z)}]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} (\operatorname {K} _{ZZ}-\operatorname {J} _{ZZ})\\&\operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} (\operatorname {J} _{ZZ})\\\end{aligned}}}$

逆に言えば:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {K} _{ZZ}=\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]+\operatorname {Var} [\Im {(Z)}]\\&\operatorname {J} _{ZZ}=\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]-\operatorname {Var} [\Im {(Z)}]+i2\operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]\end{aligned}}}$

共分散と擬似共分散

2つの複素確率変数間の共分散は次のように定義される^{[ 3 ] :119} ${\displaystyle Z,W}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{ZW}=\operatorname {Cov} [Z,W]=\operatorname {E} [(Z-\operatorname {E} [Z]){\overline {(W-\operatorname {E} [W])}}]=\operatorname {E} [Z{\overline {W}}]-\operatorname {E} [Z]\operatorname {E} [{\overline {W}}]}$

式5

定義の 2 番目の要素の複雑な活用に注意してください。

実際のランダム変数とは対照的に、擬似共分散（相補分散とも呼ばれる）も定義します。

${\displaystyle \operatorname {J} _{ZW}=\operatorname {Cov} [Z,{\overline {W}}]=\operatorname {E} [(Z-\operatorname {E} [Z])(W-\operatorname {E} [W])]=\operatorname {E} [ZW]-\operatorname {E} [Z]\operatorname {E} [W]}$

式6

2 次統計量は共分散と疑似共分散によって完全に特徴付けられます。

プロパティ

共分散には次の特性があります。

• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,W]={\overline {\operatorname {Cov} [W,Z]}}}$ （共役対称性）
• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [\alpha Z,W]=\alpha \operatorname {Cov} [Z,W]}$ （セクスティリニアリティ）
• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,\alpha W]={\overline {\alpha }}\operatorname {Cov} [Z,W]}$
• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z_{1}+Z_{2},W]=\operatorname {Cov} [Z_{1},W]+\operatorname {Cov} [Z_{2},W]}$
• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,W_{1}+W_{2}]=\operatorname {Cov} [Z,W_{1}]+\operatorname {Cov} [Z,W_{2}]}$
• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,Z]={\operatorname {Var} [Z]}}$
• 無相関性: 2 つの複素確率変数が、次の条件を満たす場合、無相関であると呼ばれます( 「無相関性 (確率論) 」も参照)。${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \operatorname {K} _{ZW}=\operatorname {J} _{ZW}=0}$
• 直交性: 2 つの複素確率変数とが、次の場合直交しているといいます。${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [Z{\overline {W}}]=0}$

円対称性

複素確率変数の円対称性は、無線通信分野でよく用いられる仮定です。円対称複素確率変数の典型的な例としては、平均がゼロで擬似共分散行列がゼロの複素ガウス確率変数が挙げられます。

複素確率変数は、任意の決定論的 に対しての分布がの分布に等しい場合、円対称です。 ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \phi \in [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle e^{\mathrm {i} \phi }Z}$ ${\displaystyle Z}$

プロパティ

定義により、円対称複素確率変数は 任意の に対して となります。 $${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\operatorname {E} [e^{\mathrm {i} \phi }Z]=e^{\mathrm {i} \phi }\operatorname {E} [Z]}$$ ${\displaystyle \phi }$

したがって、円対称の複素確率変数の期待値は、ゼロまたは未定義のいずれかになります。

さらに、 任意の. $${\displaystyle \operatorname {E} [ZZ]=\operatorname {E} [e^{\mathrm {i} \phi }Ze^{\mathrm {i} \phi }Z]=e^{\mathrm {2} i\phi }\operatorname {E} [ZZ]}$$ ${\displaystyle \phi }$

したがって、円対称複素確率変数の擬似分散はゼロにしかなりません。

とが同じ分布に従う場合、の位相はの振幅に依存しない均一分布に従う必要がある。^{[ 4 ]}${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle e^{\mathrm {i} \phi }Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle Z}$

真複素確率変数

固有ランダム変数の概念は複素ランダム変数に特有のものであり、実ランダム変数に対応する概念はありません。

複素確率変数は、次の 3 つの条件がすべて満たされる場合に適切であると呼ばれます。 ${\displaystyle Z}$

• ${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {Var} [Z]<\infty }$
• ${\displaystyle \operatorname {E} [Z^{2}]=0}$

この定義は以下の条件と同等です。つまり、複素確率変数が真であるのは、以下の場合のみです。

• ${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {E} [\Re {(Z)}^{2}]=\operatorname {E} [\Im {(Z)}^{2}]\neq \infty }$
• ${\displaystyle \operatorname {E} [\Re {(Z)}\Im {(Z)}]=0}$

定理-有限分散を持つすべての円対称複素確率変数は適切である。

適切な複素ランダム変数の場合、ペアの共分散行列は次の単純な形式になります。 ${\displaystyle (\Re {(Z)},\Im {(Z)})}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\operatorname {Var} [Z]&0\\0&{\frac {1}{2}}\operatorname {Var} [Z]\end{bmatrix}}}$ 。

つまり:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]=\operatorname {Var} [\Im {(Z)}]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Var} [Z]\\&\operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]=0\\\end{aligned}}}$

コーシー・シュワルツの不等式

複素確率変数に対するコーシー・シュワルツの不等式は、三角不等式とヘルダーの不等式を用いて導出することができ、

${\displaystyle \left|\operatorname {E} \left[Z{\overline {W}}\right]\right|^{2}\leq \left|\operatorname {E} \left[\left|Z{\overline {W}}\right|\right]\right|^{2}\leq \operatorname {E} \left[|Z|^{2}\right]\operatorname {E} \left[|W|^{2}\right]}$ 。

特性関数

複素確率変数の特性関数は次のように定義される関数である。 ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \varphi _{Z}(\omega )=\operatorname {E} \left[e^{i\Re {({\overline {\omega }}Z)}}\right]=\operatorname {E} \left[e^{i(\Re {(\omega )}\Re {(Z)}+\Im {(\omega )}\Im {(Z)})}\right].}$

参照

• 中心モーメント
• 複素ランダムベクトル

参考文献

1. Eriksson, Jan; Ollila, Esa; Koivunen, Visa (2009).複素確率変数の統計量再考. 2009 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing. 台北（台湾）: Institute of Electrical and Electronics Engineers . pp.  3565– 3568. doi : 10.1109/ICASSP.2009.4960396 .
2. Lapidoth, A. (2009). 『デジタルコミュニケーションの基礎』ケンブリッジ大学出版局. ISBN 9780521193955。
3. パーク・クン・イル (2018).確率過程の基礎と通信への応用. シュプリンガー. ISBN 978-3-319-68074-3。
4. Peter J. Schreier, Louis L. Scharf (2011).複素数値データの統計的信号処理. Cambridge University Press. ISBN 9780511815911。