アトラス（トポロジー）

数学、特に位相幾何学において、アトラスとは多様体を記述するために用いられる概念である。アトラスは、大まかに言えば、多様体の個々の領域を記述する個々の図表から構成される。一般的に、アトラスの概念は、多様体や、ベクトル束やその他のファイバー束といった関連構造の正式な定義の基礎となっている。

チャート

アトラスの定義はチャートの概念に依存する。位相空間Mのチャートは、 Mの開部分集合Uからユークリッド空間の開部分集合への同相写像である。このチャートは伝統的に順序付き対として記録される。^{[ 1 ]}${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (U,\varphi )}$

ユークリッド空間で座標系を選択すると、 上の座標が定義されます。の点の座標は の座標として定義されます。チャートとこのような座標系によって形成されるペアは、ローカル座標系、座標チャート、座標パッチ、座標マップ、またはローカル フレームと呼ばれます。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \varphi (P).}$

アトラスの正式な定義

位相空間のアトラスとは、が覆う（つまり）インデックス付きのチャート族である。ある固定されたnに対して、各チャートの像がn次元ユークリッド空間の開集合となるとき、 はn次元多様体であるという。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha }):\alpha \in I\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\textstyle \bigcup _{\alpha \in I}U_{\alpha }=M}$ ${\displaystyle M}$

アトラスの複数形はatlasesであるが、 atlantesを使用する著者もいる。^{[ 2 ] [ 3 ]}

次元多様体上のアトラスは、次の条件が満たされる場合、 適切なアトラスと呼ばれます。${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$

• 各チャートのイメージは またはであり、は閉じた半空間、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$
• ${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$ は の局所有限開被覆であり、${\displaystyle M}$
• ${\textstyle M=\bigcup _{i\in I}\varphi _{i}^{-1}\left(B_{1}\right)}$ 、これは原点を中心とする半径 1 の開いた球です。${\displaystyle B_{1}}$

あらゆる第二可算多様体には適切な地図帳が存在する。^{[ 4 ]}さらに、 が第二可算多様体の開被覆である場合、上に適切な地図帳が存在し、 はの精緻化となる。^{[ 4 ]}${\displaystyle {\mathcal {V}}=\left(V_{j}\right)_{j\in J}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

遷移マップ

${\displaystyle M}$

${\displaystyle U_{\alpha}}$

${\displaystyle U_{\beta}}$

${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$

${\displaystyle \varphi _{\beta }}$

${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }}$

${\displaystyle \tau_{\beta,\alpha}}$

${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

多様体上の2つのチャートとそれぞれの遷移マップ

遷移マップは、地図帳の2つの図表を比較する方法を提供します。この比較を行うには、一方の図表ともう一方の図表の反転との合成を考慮します。この合成は、両方の図表をそれぞれの定義領域の交差部分に限定しない限り、明確に定義されません。（例えば、ヨーロッパの図表とロシアの図表がある場合、これら2つの図表の重なり部分、つまりロシアのヨーロッパ部分を比較することができます。）

より正確に言うと、 と が、が空でない多様体Mの2つのチャートであるとする。遷移写像は、 ${\displaystyle (U_{\alpha },\varphi _{\alpha })}$ ${\displaystyle (U_{\beta },\varphi _{\beta })}$ ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ ${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }:\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}$ $${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}.}$$

と は両方とも同相写像なので、遷移写像も同相写像であることに注意してください。 ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$ ${\displaystyle \varphi _{\beta }}$ ${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }}$

より構造化された

多様体においては、単なる位相構造以上の構造が求められることがよくあります。例えば、多様体上の関数の微分について明確な概念を求める場合、遷移関数が微分可能なアトラスを構築する必要があります。このような多様体は微分可能と呼ばれます。微分可能多様体が与えられれば、接ベクトルの概念、ひいては方向微分の概念を一義的に定義できます。

各遷移関数が滑らかな写像である場合、アトラスは滑らかなアトラスと呼ばれ、多様体自体は滑らかなと呼ばれます。あるいは、遷移写像がk 個の連続微分のみを持つと仮定し、その場合アトラスは であると言われることもあります。 ${\displaystyle C^{k}}$

非常に一般的に、各遷移関数がユークリッド空間の同相写像の擬群 に属する場合、そのアトラスは -アトラスと呼ばれる。アトラスのチャート間の遷移写像が局所自明化を保存する場合、そのアトラスはファイバー束の構造を定義する。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

参照

• スムーズアトラス
• 滑らかなフレーム

参考文献

1. クラウス、イェニヒ (2005).ヴェクトラ分析(ドイツ語) (第 5 版)。スプリンガー。 p. 1.ISBN​ 3-540-23741-0。
2. ヨスト、ユルゲン（2013年11月11日）『リーマン幾何学と幾何学解析』シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア。ISBN 97836622238572018年4月16日閲覧– Googleブックス経由。
3. マリアーノ・ジャキンタ、シュテファン・ヒルデブラント（2013年3月9日）『変分法II』シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディアISBN 97836620620122018年4月16日閲覧– Googleブックス経由。
4. コシンスキー、アントニ (2007).微分多様体. ミネオラ、ニューヨーク州: ドーバー出版. ISBN 978-0-486-46244-8. OCLC  853621933 .

• ディウドネ、ジャン(1972). 「XVI. 微分多様体」.解析学論文集. 純粋・応用数学. 第3巻.イアン・G・マクドナルド訳.アカデミック・プレス. MR  0350769 .
• リー、ジョン・M. (2006).滑らかな多様体入門. シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-0-387-95448-6。
• ルーミス、リン、シュロモ・スターンバーグ(2014). 「微分可能多様体」.アドバンスト・カルキュラス（改訂版）. ワールド・サイエンティフィック. pp.  364– 372. ISBN 978-981-4583-93-0. MR  3222280 .
• セパンスキー、マーク・R. (2007).コンパクト・リー群. シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-0-387-30263-8。
• Husemoller, D (1994),繊維束, Springer第 5 章「繊維束の局所座標記述」。

外部リンク

• ローランド、トッド著『アトラス』