数学において、組合せ論的位相幾何学は代数的位相幾何学の古い名称であり、空間の位相不変量（例えばベッティ数）が、単体複体への分解といった空間の組合せ論的分解から導かれると考えられていた時代に遡る。単体近似定理の証明後、このアプローチは厳密さをもたらした。
名称変更は、境界を法とするサイクルなどの位相類をアーベル群に明示的に体系化する動きを反映している。この視点はしばしばエミー・ネーター[ 1]に帰属され、したがって、名称変更は彼女の影響を反映している可能性がある。また、この移行は、ネーターの影響を受けたハインツ・ホップ[ 2]、そしてホモロジーを独自に定義したレオポルド・ヴィートリスとヴァルター・マイヤー[3]の研究にも起因すると考えられる。
ブルバキ群の内部記録には、かなり正確な日付が記されている。この種の位相幾何学は1942年当時はまだ「組合せ論的」であったが、1944年には「代数的」になっていた。[4]これはまた、位相空間の研究にホモロジー代数と圏論が導入され、組合せ論的手法に大きく取って代わった時期とも一致する。
最近では、組み合わせ位相幾何学という用語は、位相的対象を古い組み合わせ位相幾何学のように部分から構成されるものとして扱うことによって行われる調査のために復活し、再び有用であることがわかっています。
アズリエル・ローゼンフェルド（1973）は、画像処理の一種のためのデジタルトポロジーを提案しました。これは、組み合わせトポロジーの新たな発展と言えるでしょう。オイラーの特性定理とガウス・ボネ定理のデジタル形式は、リー・チェンとヨンウー・ロンによって得られました。[5] [6] 2次元グリッドセルトポロジーは、アレクサンドロフ＝ホップの著書『トポロジーI』（1935年）に既に登場しています。
ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは、 1679年に著作『幾何学的特徴』の中で、ある種の組み合わせ位相幾何学を構想していた。[7]
参照
注記
- ^ たとえば、L'émergence de la notion de groupe d'homologie、Nicolas Basbois (PDF)、(フランス語)注 41 では、ホモロジー グループの発明者としてネーターを明示的に挙げています。
- ^ Chronomaths （フランス語）
- ^ ヒルツェブルッフ、フリードリヒ、「エミー・ノイマンとトポロジー」、Teicher 1999、61-63ページ。
- ^ McCleary, John. 「ブルバキと代数的位相幾何学」（PDF）。ドキュメントを提供します（フランス語の原文から英語に翻訳されています）。
- ^ Chen, Li; Rong, Yongwu (2010). 「種数とベッティ数を計算するためのデジタル位相的手法」.トポロジーとその応用. 157 (12): 1931– 1936. doi :10.1016/j.topol.2010.04.006. MR 2646425.
- ^ Chen, Li; Rong, Yongwu. 3Dにおける位相不変量の線形時間認識アルゴリズム. 第19回国際パターン認識会議 (ICPR 2008). pp. 3254–7 . arXiv : 0804.1982 . CiteSeerX 10.1.1.312.6573 . doi :10.1109/ICPR.2008.4761192. ISBN 978-1-4244-2174-9。
- ^ プシティツキ、ユゼフ H.;バクシ、レア・パラク。イバラ、ディオンヌ。モントーヤ・ベガ、ガブリエル。ウィークス、デボラ（2024）。結び目理論の講義: 現代のトピックの探求。スプリンガーの自然。 p. 5.ISBN 978-3-031-40044-5。
参考文献
- アレクサンドロフ、パベル・S. (1956)、コンビナトリアル・トポロジー 第I巻、第II巻、第III巻、ホレス・コム訳、グレイロック・プレス、MR 1643155
- ヒルトン、ピーター（1988）「今世紀におけるホモロジーおよびホモトピー理論の簡潔かつ主観的な歴史」、数学雑誌、60（5）、アメリカ数学協会：282-291、doi：10.1080/0025570X.1988.11977391、JSTOR 2689545
- テイチャー、ミナ編（1999年）、エミー・ネーターの遺産、イスラエル数学会議議事録、バー・イラン大学／アメリカ数学会／オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-851045-1、OCLC 223099225
- ノビコフ、セルゲイ・P. (2001) [1994]、「組合せ位相学」、数学百科事典、EMSプレス
