開催グループ

群論として知られる現代代数学の分野では、ヘルド群 は散在的な単純群であり、

   4,030,387,200 = 2 ¹⁰  · 3 ³  · 5 ²  · 7 ³  · 17

≈ 4 × 10⁹ .

歴史

この群は26の散在群の一つであり、ディーター・ヘルド (1969a, 1969b) によって、超特殊群2 ^1+6を線型群L ₃ (2)で拡大したものを中心化とする反転を含む単純群の研究中に発見された。この線型群は、マシュー群 M ₂₄と同じ反転中心化である。このような群の2番目の例として線型群 L ₅ (2) がある。ヘルド群は3番目の可能性であり、その構成はジョン・マッケイとグラハム・ヒグマンによって完成された。これらの群の全てにおいて、拡大は分解する。

外部自己同型群の位数は 2 であり、シュアー乗数は自明です。

表現

最も小さい忠実な複素表現は次元 51 です。このような表現は互いに双対となる 2 つあります。

これはモンスター群 において位数7の元を集中させる。その結果、素数7は群の理論において特別な役割を果たす。例えば、任意の体上のヘルド群の最小表現は、7元の体上の50次元表現であり、これは7元の体上の 頂点作用素代数に自然に作用する。

最小の順列表現は、点安定子Sp ₄ (4):2を持つ2058点への階数5の作用である。この表現に関連付けられたグラフは階数5で有向である。外接自己同型によって辺の方向が反転し、階数が4に減少する。

He はモンスター群におけるフロベニウス群7:3の正規化群であるため、7-サイクルだけでなく、いくつかの3-サイクルとも可換である。これらの3-サイクルはそれぞれフィッシャー群 Fi _{24によって正規化されるため、He:2 は導来部分群 Fi 24} 'の部分群となる（非単純群 Fi ₂₄は He:2 の2つの共役類を持ち、これらは外部自己同型によって融合される）。前述のように、He の最小の置換表現は2058点であり、Fi _{24 ' 内で実現すると、2058個の}転置の軌道が存在する。

一般化された怪物的な密造酒

コンウェイとノートンは1979年の論文で、怪物的な月光は怪物に限らず、他の群にも同様の現象が見られる可能性があることを示唆した。その後、ラリッサ・クイーンらは、散在群の次元の単純な組み合わせから、多くのハウプトモジュロンの展開を構成できることを発見した。He の場合、関連するマッケイ・トンプソン級数は、定数項 a(0) = 10 ( OEIS : A007264 ) と設定することで、 ${\displaystyle T_{7A}(\tau )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{7A}(\tau )&=T_{7A}(\tau )+10\\&=\left(\left({\tfrac {\eta (\tau )}{\eta (7\tau )}}\right)^{2}+7\left({\tfrac {\eta (7\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{2}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q}}+10+51q+204q^{2}+681q^{3}+1956q^{4}+5135q^{5}+\dots \end{aligned}}}$

η ( τ ) はデデキントのイータ関数です。

プレゼンテーション

これは生成元aとbと関係 式で定義できる。

${\displaystyle a^{2}=b^{7}=(ab)^{17}=[a,b]^{6}=\left[a,b^{3}\right]^{5}=\left[a,babab^{-1}abab\right]=(ab)^{4}ab^{2}ab^{-3}ababab^{-1}ab^{3}ab^{-2}ab^{2}=1.}$

最大部分群

バトラー（1981）は、 Heの最大部分群の11個の共役類を次のように発見した。

Heの最大部分群

いいえ。	構造	注文	索引	コメント
1	S 4 (4):2	1,958,400 = 2 ^9 ·3 ^2 ·5 ^2 ·17	2,058 = 2·3·7 ^3
2	2 ^2 .L 3 (4).S 3	483,840 = 2 ^9 ·3 ^3 ·5·7	8,330 = 2·5·7 ^2 ·17
3,4	2 ^6 :3 ^· S 6	138,240 = 2 ^10 ·3 ^3 ·5	29,155 = 5·7 ^3 ·17	外部自己同型によって融合された2つのクラス
5	2^1+6 +:L 3 (2)	21,504 = 2 ^10 ·3·7	187,425 = 3 ^2 ·5 ^2 ·7 ^2 ·17	クラス2Bの退縮の中心化
6	7 ^2 :2.L 2 (7)	16,464 = 2 ^4 ·3·7 ^3	244,800 = 2 ^6 ·3 ^2 ·5 ^2 ·17
7	3.S 7	15,120 = 2 ^4 ·3 ^3 ·5·7	266,560 = 2 ^6 ·5·7 ^2 ·17	位数3の部分群（クラス3A）の正規化群。位数2の外自己同型の中心化群。
8	7^1+2 +:(3 × S 3 )	6,174 = 2·3 ^2 ·7 ^3	652,800 = 2 ^9 ·3·5 ^2 ·17	位数7の部分群（クラス7C）の正規化子
9	S 4 × L 3 (2)	4,032 = 2 ^6 ·3 ^2 ·7	999,600 = 2 ^4 ·3 ·5 ^2 ·7 ^2 ·17
10	7:3 × L 3 (2)	3,528 = 2 ^3 ·3 ^2 ·7 ^2	1,142,400 = 2 ^7 ·3·5 ^2 ·7·17
11	5 ^2 :4A 4	1,200 = 2 ^4 ·3·5 ^2	3,358,656 = 2 ^6 ·3 ^2 ·7 ^3 ·17

参考文献

• バトラー、グレゴリー（1981）「ヘルドの散在単純群の最大部分群」、代数ジャーナル、69（1）：67-81、doi：10.1016/0021-8693（81）90127-7、ISSN  0021-8693、MR  0613857
• Held, D. (1969a)、「 M ₂₄に関連するいくつかの単純群」、Brauer, Richard; Shah, Chih-Han (eds.)、有限群の理論：シンポジウム、WA Benjamin
• ヘルド、ディーター（1969b）、「 M ₂₄に関連する単純群」、代数ジャーナル、13（2）：253– 296、doi：10.1016/0021-8693（69）90074-X、MR  0249500
• Ryba, AJE (1988)、「ヘルド群の7モジュラー指標の計算」、Journal of Algebra、117 (1): 240– 255、doi :10.1016/0021-8693(88)90252-9、MR  0955602

外部リンク

• MathWorld: グループ開催
• 有限群表現のアトラス：保持群\