安定した主束

数学、特に微分幾何学と代数幾何学において、安定主束（しゅうせいしゅう）とは、安定ベクトル束の概念を主束の設定に一般化したものである。主束の安定性の概念は、リーマン面上のG主束のモジュライ空間を定義する目的でアナマライ・ラマナサンによって導入された。これは、デイヴィッド・マンフォードらによるベクトル束のモジュライ空間に関する先行研究の一般化である。 ^{[1] [2] [3]}

ベクトル束の安定性に関する多くの主張は、安定主束の言語に翻訳できる。例えば、主束に対する小林・ヒッチン対応の類似である、コンパクトケーラー多様体上の正則主束がエルミート・アインシュタイン接続を許容する場合と、それが多安定である場合とに等しいという主張は、射影多様体の場合についてはスブラマニアンとラマナサンによって、任意のコンパクトケーラー多様体の場合についてはアンシュシュとビスワスによって真であることが示された。^{[4] [5]}

意味

主束の安定性の本質的な定義はラマナサンによってなされたが、リーマン面の場合にのみ適用される。^{[2]この節では、任意のケーラー多様体に対して有効であり、}代数多様体に対してより一般的に意味をなす、アンシュシュとビスワスの研究に現れる定義を述べる。^[5]これは、多様体がリーマン面である場合のラマナサンの定義に帰着する。

を複素数 上の連結な簡約代数群とする。を複素次元 のコンパクトケーラー多様体とする。を 上の正則な主 -バンドルと仮定する。ここで正則とは、 に対する遷移関数が正則に変化するという意味であり、これは構造群 が複素リー群であるので理にかなっている。主バンドルが安定（または半安定）であるとは、 が余次元 を持つ開部分集合である最大放物型部分群に対する構造群のすべての簡約に対して、 次式が成り立つことを意味する。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \sigma :U\to P/Q}$ ${\displaystyle Q\subset G}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle \operatorname {codim} (X\バックスラッシュ U)\geq 2}$

${\displaystyle \deg \sigma ^{*}T_{\operatorname {rel} }P/Q>0\quad ({\text{resp. }}\geq 0).}$

これは繊維束の相対接線束、つまりの垂直束である。ベクトル束（またはコヒーレント層）の次数は次のように定義されること を思い出そう。${\displaystyle T_{\operatorname {rel} }P/Q}$ ${\displaystyle \left.P/Q\right|_{U}\to U}$ ${\displaystyle T(\left.P/Q\right|_{U})}$ ${\displaystyle F\to X}$

${\displaystyle \operatorname {deg} (F):=\int _{X}c_{1}(F)\wedge \omega ^{n-1},}$

ここではの最初のチャーン類です。上記の設定では、の内部で定義されたバンドルの次数が計算されますが、 の補集合の余次元が2より大きいため、積分の値は 全体にわたる値と一致するでしょう。 ${\displaystyle c_{1}(F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

の場合、つまり がリーマン面である場合、 の余次元に関する仮定により が成立するはずなので、 、全体にわたって構造群の縮小を検討すれば十分であることに注意してください。 ${\displaystyle \dim X=1}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U=X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma :X\to P/Q}$

ベクトル束の安定性との関係

複素リー群の主 - 束が与えられた場合、それに関連付けることができる自然なベクトル束がいくつかあります。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

まず、一般線型群ならば、上のの標準表現により、付随バンドルを構築できます。これは上の正則ベクトルバンドルであり、主バンドルの安定性に関する上記の定義は、 の傾き安定性と同値です。重要な点は、最大放物型部分群は、の旗 の選択に対応し、 は部分群 の下で不変であるという点です。 の構造群はに簡約され、ベクトル部分空間 を保存するので、付随バンドル を取ることができます。これは、構造群の簡約が定義されている部分集合上の の部分バンドルであり、したがって全体にわたるの部分層です。すると、次の式が計算されます。 ${\displaystyle G=\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle E=P\times _{\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}\mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle Q\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle 0\subset W\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle W\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle F=P\times _{Q}W}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \deg \sigma ^{*}T_{\operatorname {rel} }P/Q=\mu (E)-\mu (F)}$

ここで、ベクトル束の 傾きを表します。${\displaystyle \mu}$

構造群 が でない場合、への自然な付随ベクトル束、つまりのリー代数によりファイバーが与えられる随伴バンドルが依然として存在する。主バンドル が半安定であるためには随伴バンドル が傾き半安定であり、さらにが安定している場合、 は傾き多安定である。^[5]ここでも重要な点は、放物型部分群 に対して放物型部分代数を取得し、付随サブバンドル を取ることができるということである。この場合、上の の随伴表現は常に忠実または既約であるとは限らないため、より注意が必要である。後者の条件は、主バンドルの安定性が随伴バンドルの多安定性のみにつながる理由を暗示している（直和として分割される表現は、付随バンドルの直和として分割されるため）。 ${\displaystyle G=\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} P}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} P}$ ${\displaystyle Q\subset G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

一般化

ベクトル束をヒッグス束の概念に一般化できるのと同様に、主 -ヒッグス束の定義を定式化することができる。主束の安定性に関する上記の定義は、構造群の縮約が主ヒッグス束のヒッグス場と両立することを条件とすることで、これらの対象に一般化される。アンシュシュとビスワスは、ヒッグスベクトル束の非可換ホッジ対応の類似が、基底多様体が複素射影多様体である場合の主 -ヒッグス束にも成り立つことを示した。^[5]${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$

参考文献

1. ラマナサン、A.、1975年。コンパクトリーマン面上の安定主束。数学年報、213(2)、pp.129-152。
2. Ramanathan, A., 1996年8月. 代数曲線上の主束のモジュライ: I. Proceedings of the Indian Academy of Sciences-Mathematical Sciences (Vol. 106, No. 3, pp. 301-328). Springer India.
3. Ramanathan, A., 1996年11月. 代数曲線上の主束のモジュライ: II. Proceedings of the Indian Academy of Sciences-Mathematical Sciences (Vol. 106, No. 4, pp. 421-449). Springer India.
4. Subramanian, S. および Ramanathan, A.、1988 年。「主束と安定性に関するアインシュタイン-エルミート接続」
5. Anchouche, B. および Biswas, I., 2001. コンパクトケーラー多様体上の多安定主束上のアインシュタイン-エルミート接続. American Journal of Mathematics, 123(2), pp.207-228.