CAグループ

数学において、群論の領域では、任意の非単位元の中心化群がアーベル部分群である場合、その群はCA 群または中心化アーベル群と呼ばれます。有限CA 群は、フェイト–トンプソンの定理や有限単純群の分類で使用される分類の種類の初期の例として歴史的に重要です。自由群、タルスキモンスター、一部のバーンサイド群など、いくつかの重要な無限群は CA 群であり、局所有限CA 群は明示的に分類されています。CA 群は可換推移群(または略してCT 群) とも呼ばれます。これは、群が CA 群である場合に限り、群の非単位元間の推移関係が可換性であるためです。

歴史

局所有限CA群は、1925年から1998年にかけて、数人の数学者によって分類された。まず、（Weisner 1925 ）において、有限CA群は単純あるいは可解であることが示された。次に、Brauer–Suzuki–Wallの定理（Brauer, Suzuki & Wall 1958 ）において、偶数位数の有限CA群は、偶数位数の有限体PSL(2, 2 ^f ) （ f ≥ 2）上のフロベニウス群、アーベル群、あるいは2次元射影特殊線型群であることが示された。最後に、（ Suzuki 1957 ）において、奇数位数の有限CA群はフロベニウス群あるいはアーベル群であることが示されたため、特に、決して非アーベル単純ではない。

CA群は有限単純群の分類において重要であった。鈴木道雄は、すべての有限単純非可換CA群は偶数位数であることを示した。この結果はまず、有限単純非可換CN群が偶数位数であることを示すFeit-Hall-Thompson定理に拡張され、さらに有限単純非可換群はすべて偶数位数であると述べるFeit-Thompson定理に拡張された。有限CA群の分類に関する教科書的な解説は、( Suzuki 1986、pp. 291–305)の例1および例2に示されている。出現するフロベニウス群のより詳細な記述は（Wu 1998）に含まれており、そこでは有限かつ可解なCA群はアーベル群と不動点を持たない自己同型写像の半直積であり、逆にそのような半直積はすべて有限かつ可解なCA群であることが示されています。Wuはまた、鈴木らの分類を局所有限群にまで拡張しました。

例

すべてのアーベル群は CA 群であり、非自明な中心を持つ群は、それがアーベルである場合に限り CA 群である。有限 CA 群は次のように分類される。可解な群は、すべての非自明な要素が固定点自由に作用するような巡回群によるアーベル群の半直積であり、位数 4 k +2 の二面体群や位数 12 の 4 点上の交代群などの群が含まれる。一方、非可解な群はすべて単純であり、n ≥ 2 の2 次元射影特殊線型群 PSL(2, 2 ⁿ ) である。無限 CA 群には、自由群PSL(2, R )や大きな素指数のバーンサイド群( Lyndon & Schupp 2001、p. 10 ) が含まれる。無限の場合のより最近の結果は ( Wu 1998 ) に含まれており、局所有限 CA 群の分類も含まれている。 Wu はまた、タルスキモンスターが無限単純 CA 群の明らかな例であると指摘しています。

引用文献

Brauer, R. ; Suzuki, Michio ; Wall, GE (1958)、「有限体上の1次元ユニモジュラー射影群の特徴づけ」、Illinois Journal of Mathematics、2 (4B): 718– 745、doi : 10.1215/ijm/1255448336、ISSN 0019-2082、MR 0104734
ロジャー・C・リンドン; Schupp、Paul E. (2001)、組み合わせ群理論、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-41158-1、MR 0577064
鈴木道雄(1957)、「ある種の奇数位数の単純群の非存在性」、アメリカ数学会誌、8 (4): 686– 695、doi : 10.2307/2033280、ISSN 0002-9939、JSTOR 2033280、MR 0086818
鈴木道夫(1986)、群理論。 II、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [数学科学の基本原理]、vol. 248、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-10916-9、MR 0815926
ワイズナー, L. (1925)「恒等元以外のすべての元がアーベル正規化される群」アメリカ数学会報、31 (8): 413– 416、doi : 10.1090/S0002-9904-1925-04079-3、ISSN 0002-9904、JFM 51.0112.06
ウー・ユーフェン（1998）「可換性が推移的関係である群」、代数ジャーナル、207（1）：165-181、doi：10.1006/jabr.1998.7468、ISSN 0021-8693、MR 1643082