二面角

交差線に垂直な第 3 の平面 (赤) 内の 2 つの半平面 (α、β、淡い青) 間の角度。

二面角とは、交差する2つの平面または半平面の間の角度です。二面角は、2つの平面の交線または2つの半平面の共通辺に垂直な、第3の平面上に形成される平面角です。高次元では、二面角は2つの超平面間の角度を表します。化学においては、 2つの原子を共有する 3つの原子の2組を通る半平面間の時計回りの角度です。

数学的背景

二つの交差する平面が直交座標系で二つの方程式 で表されるとき

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0}$

${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0}$

それらの間の二面角は次のように表される。 ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}\right\vert }{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}}$

および が満たす角度はおよびに依存しないことが容易にわかります。 ${\displaystyle 0\leq \varphi \leq \pi /2.}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$

あるいは、n _Aとn _Bが平面の法線ベクトルである場合、

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert \mathbf {n} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {n} _{\mathrm {B} }\right\vert }{|\mathbf {n} _{\mathrm {A} }||\mathbf {n} _{\mathrm {B} }|}}}$

ここでn _A  ·  n _Bはベクトルの内積であり、 | n _A | | n _B |はベクトルの長さの積である。^{[ 1 ]}

上記の式では絶対値が必要です。1 つの方程式内のすべての係数の符号を変更したり、1 つの法線ベクトルをその反対のベクトルに置き換えたりしても、平面は変更されないためです。

しかし、境界線が同一線上にある二つの半平面の二面角を考える場合、絶対値は避けるべきであり、また避けるべき_である_{。この場合、両半平面}は交点Pと、交線、最初の半平面、そして二番目の半平面にそれぞれ属する三つのベクトルb 0 、b 1 、b 2で表す_ことができる_。これらの_二つの半平面の二面角は_次のように定義される 。

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {(\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{1})\cdot (\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{2})}{|\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{1}||\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{2}|}}}$ 、

であり、次の式を満たします。この場合、2 つの半平面を入れ替えても同じ結果になり、を に置き換えても同じ結果になります。化学では (下記参照)、 を に置き換えると角度の符号が変わり、- πからπまでの範囲になる二面角を定義します。 ${\displaystyle 0\leq \varphi <\pi .}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{0}}$ ${\displaystyle -\mathbf {b} _{0}.}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{0}}$ ${\displaystyle -\mathbf {b} _{0}}$

高分子物理学において

高分子物理学などの一部の科学分野では、点の連鎖と、連続する点間のリンクを考えることがあります。点に連番が振られ、r ₁、r ₂、r ₃などの位置にある場合、結合ベクトルはより一般的にはu ₁ = r ₂ − r ₁、u ₂ = r ₃ − r ₂、u _i = r _i+1 − r _iで定義されます。^{[ 2 ]}これは、運動連鎖やタンパク質構造中のアミノ酸の場合に当てはまります。これらの場合、連続する3つの点によって定義される半平面と、そのような連続する2つの半平面間の二面角に関心が寄せられることがよくあります。u ₁、u ₂、u ₃が3つの連続する結合ベクトルである場合、半平面の交差は有向であり、区間（−π 、 π ]に属する二面角を定義することができる。この二面角は^{[ 3 ]で定義される。}

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \varphi &={\frac {(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})}{|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}}\\\sin \varphi &={\frac {\mathbf {u} _{2}\cdot ((\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\times (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}))}{|\mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}},\end{aligned}}}$

または、関数atan2を使用して、

${\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} (\mathbf {u} _{2}\cdot ((\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\times (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})),|\mathbf {u} _{2}|\,(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})).}$

この二面角は鎖の向き（点の考慮順序）に依存しません。この順序を逆にするには、各ベクトルをその反対のベクトルに置き換え、添え字1と3を入れ替えます。どちらの操作もコサインは変化しませんが、サインの符号は変化します。したがって、これらを合わせても角度は変化しません。

同じ二面角に対するより簡単な式は次の通りです（証明は下記に示します）。

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \varphi &={\frac {(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})}{|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}}\\\sin \varphi &={\frac {|\mathbf {u} _{2}|\,\mathbf {u} _{1}\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})}{|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}},\end{aligned}}}$

あるいは同等に、

${\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} (|\mathbf {u} _{2}|\,\mathbf {u} _{1}\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}),(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})).}$

これは、ベクトルの四重積の公式と、同じベクトルが 2 つ含まれている場合は スカラーの三重積が 0 になるという事実を使用して、前の式から推測できます。

${\displaystyle (\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\times (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})=[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{1}]\mathbf {u} _{2}-[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{2}]\mathbf {u} _{1}=[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{1}]\mathbf {u} _{2}}$

外積の定義から、これは、2番目の原子から3番目の原子へと軸を見下ろした際に、1番目の原子に対する4番目の原子の時計回り方向の角度であることを意味します。特殊なケース（通常のケースとも言える）は、、、であり、これらはトランス配座、ゴーシュ⁺配座、ゴーシュ^-配座と呼ばれます。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi =\pi }$ ${\displaystyle \varphi =+\pi /3}$ ${\displaystyle \varphi =-\pi /3}$

立体化学において

二面角による 構成名	ゴーシュ^配座（−60°）のsyn n-ブタンのニューマン投影図	syn n-ブタン鋸馬投影

二面角の関数としてのn-ブタンの自由エネルギー図。

立体化学に見られるねじれ角は、化学結合によって結合した分子の2つの部分の幾何学的関係を説明する二面角の特別な例です。^{[ 4 ] [ 5 ]}分子の3つの非共線的原子のすべてのセットは、半平面を定義します。上で説明したように、2つのそのような半平面が交差する場合（つまり、4つの連続して結合した原子のセット）、それらの間の角度は二面角です。二面角は、分子の配座を指定するために使用されます。^{[ 6 ]} 0°から±90°までの角度に対応する立体化学的配置はsyn（s）、±90°から180°までの角度に対応する立体化学的配置はanti（a）と呼ばれます。同様に、30° から 150° の間または -30° から -150° の間の角度に対応する配置は、クリナル(c) と呼ばれ、0° から ±30° の間または ±150° から 180° の間の角度に対応する配置は、ペリプラナー(p)と呼ばれます。

これら2種類の用語を組み合わせることで、4つの角度範囲を定義することができます。0°～±30°はシンペリプラナー（sp）、30°～90°および-30°～-90°はシンクリナル（sc）、90°～150°および-90°～-150°はアンチクリナル（ac）、±150°～180°はアンチペリプラナー（ap）です。シンペリプラナー配座はシンまたはシス配座とも呼ばれ、アンチペリプラナーはアンチまたはトランス、シンクリナルはゴーシュまたはスキューとも呼ばれます。

例えば、n-ブタンの場合、中心の2つの炭素原子とメチル炭素原子のいずれかによって2つの平面が特定されます。上に示した二面角が60°のsyn配座は、二面角が180°の anti配座よりも安定性が低くなります。

高分子の使用には、記号 T、C、G ⁺、G ⁻、A ⁺、A ⁻が推奨されます (それぞれ ap、sp、+sc、−sc、+ac、−ac)。

タンパク質

タンパク質の描写。ω、φ、ψ がどこを指すかを示しています。

ラマチャンドランプロット（ラマチャンドラン図または[ φ , ψ ]プロットとも呼ばれる）は、もともと1963年にGNラマチャンドラン、C.ラマクリシュナン、V.サシセカラン^{[ 7 ]}によって開発され、タンパク質構造中のアミノ酸残基のφに対するバックボーン二面角ψのエネルギー的に許容される領域を視覚化する方法です。

タンパク質鎖では3 つの二面角が定義されます。

• ^{ω（オメガ）はCα} −C'−N−Cα^の鎖における角度であり、
• ^{φ（ファイ）はC' − N − C α} − C'連鎖における角度である。
• ^{ψ（プサイ）は、N − C α} − C' − N（ラマチャンドランによってφ′と呼ばれる）の連鎖における角度である。

右の図はこれらの角度のそれぞれの位置を示しています（ただし、角度の定義方法は正しく示されていません）。^{[ 8 ]}

ペプチド結合の平面性により、 ωは通常180°（典型的なトランス型の場合）または0°（まれなシス型の場合）に制限されます。トランス型およびシス型異性体の^Cα原子間の距離は、それぞれ約3.8Åおよび2.9Åです。タンパク質中のペプチド結合の大部分はトランス型ですが、プロリンの窒素原子へのペプチド結合は、他のアミノ酸ペアと比較してシス型の割合が高くなっています。 ^{[ 9 ]}

側鎖の二面角はχ _n（χ- n）で示される。^{[ 10 ]}これらは 180°、60°、-60° 付近に集まる傾向があり、それぞれトランス、ゴーシュ^-、ゴーシュ⁺配座と呼ばれる。特定の側鎖二面角の安定性はφとψ の値によって影響を受ける。^{[ 11 ]}例えば、ψが -60° 付近のとき、ゴーシュ⁺回転異性体の側鎖のC γと次の残基のバックボーン窒素との間には直接的な立体相互作用がある。 ^{[ 12 ]}これはバックボーン依存回転異性体ライブラリの統計分布から明らかである。

二面角は、核酸( DNAとRNA ) や多糖類などの他の分子に対してもIUPACによって定義されています。

多面体では

すべての多面体は、各辺に二面角を持ち、その辺を共有する2つの面の関係を表します。この二面角は面角とも呼ばれ、多面体に対する内角として測定されます。角度が0°の場合、面の法線ベクトルが反平行で、面が互いに重なり合っていることを意味します。これは、多面体が縮退多面体の一部であることを意味します。角度が180°の場合、面が平行であり、タイリングの場合と同じです。多面体の凹部には、180°を超える角度が存在します。

等軸多面体および／または等面体である多面体におけるすべての二面角は同じ値を持ちます。これには、5つのプラトン立体、13のカタラン立体、4つのケプラー・ポアンソ多面体、2つの凸準正多面体、そして2つの無限の両錐体と台形多面体族が含まれます。

二面角の余弦定理

多面体の3つの面が共通の頂点Pで交わり、辺AP、BP、CPを持つとき、APCとBPCを含む面の間の二面角の余弦は^{[ 13 ]である。}

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\cos(\angle \mathrm {APB} )-\cos(\angle \mathrm {APC} )\cos(\angle \mathrm {BPC} )}{\sin(\angle \mathrm {APC} )\sin(\angle \mathrm {BPC} )}}}$

これは球面余弦定理から推測できますが、他の方法でも求めることができます。^{[ 14 ]}

高次元

m次元ユークリッド空間において、 ベクトルn _A、n _B、x ∈ R ^mと定数c _Aおよびc _Bの方程式によって定義される 2つの超平面間の二面角⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ は、次のように与えられる。 $${\displaystyle \mathbf {n} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {x} =c_{A}}$$ $${\displaystyle \mathbf {n} _{\mathrm {B} }\cdot \mathbf {x} =c_{B}}$$ $${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert \mathbf {n} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {n} _{\mathrm {B} }\right\vert }{|\mathbf {n} _{\mathrm {A} }||\mathbf {n} _{\mathrm {B} }|}}\,.}$$

参照

• アトロプ異性体

参考文献

1. 「2つの平面間の角度」 TutorVista.com . 2020年10月28日時点のオリジナルよりアーカイブ。2018年7月6日閲覧。
2. Kröger, Martin (2005).高分子および異方性液体のモデル. Springer. ISBN 3540262105。
3. Blondel, Arnaud; Karplus, Martin (1998年12月7日). 「分子力学におけるねじれ角と不適正なねじれ角の導関数の新しい定式化：特異点の除去」. Journal of Computational Chemistry . 17 (9): 1132– 1141. doi : 10.1002/(SICI)1096-987X(19960715)17:9<1132::AID-JCC5>3.0.CO;2-T .
4. IUPAC ,化学用語集、第5版（「ゴールドブック」）（2025年）。オンライン版：（2006年以降）「ねじり角」。doi： 10.1351/goldbook.T06406
5. IUPAC化学用語集、第5版（「ゴールドブック」）（2025年）。オンライン版：（2006年以降）「二面角」。doi：10.1351/goldbook.D01730
6. アンスリン、エリック、デニス・ドハティ（2006年）『現代の物理有機化学』ユニバーシティ・サイエンス、p.95、ISBN 978-1891389313。
7. Ramachandran, GN; Ramakrishnan, C.; Sasisekharan, V. (1963). 「ポリペプチド鎖構成の立体化学」. Journal of Molecular Biology . 7 : 95–9 . doi : 10.1016/S0022-2836(63)80023-6 . PMID 13990617 . 
8. リチャードソン, JS (1981). 「タンパク質構造の解剖と分類」.タンパク質構造の解剖と分類. タンパク質化学の進歩. 第34巻. pp.  167– 339. doi : 10.1016/S0065-3233(08)60520-3 . ISBN 9780120342341. PMID  7020376 .
9. Singh J, Hanson J, Heffernan R, Paliwal K, Yang Y, Zhou Y (2018年8月). 「ディープ残差アンサンブル学習を用いた配列からのタンパク質構造におけるプロリンおよび非プロリンシス異性体の検出」. Journal of Chemical Information and Modeling . 58 (9): 2033– 2042. doi : 10.1021/acs.jcim.8b00442 . PMID 30118602. S2CID 52031431 .  
10. 「側鎖の立体配座」。
11. Dunbrack, RL Jr.; Karplus, M (1993年3月20日). 「タンパク質用バックボーン依存性ロータマーライブラリ．側鎖予測への応用」. Journal of Molecular Biology . 230 (2): 543– 74. doi : 10.1006/jmbi.1993.1170 . PMID 8464064 . 
12. Dunbrack, RL Jr; Karplus, M (1994年5月). 「タンパク質側鎖のバックボーン依存性回転異性体選択性の構造解析」Nature Structural Biology . 1 (5): 334–40 . doi : 10.1038/nsb0594-334 . PMID 7664040 . S2CID 9157373 .  
13. 「二面角計算機 多面体」 www.had2know.com . 2015年11月25日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2015年10月25日閲覧。
14. 「多面体からの公式導出」 。 2024年12月4日閲覧。

外部リンク

• Tips.FM の木工における二面角
• 5 つの正多面体の分析により、これらの正確な値が段階的に導出されます。