数学において、2値射[1]とは、ブール代数Bを2元ブール代数2 = {0,1}に写す準同型である。これは本質的にB上の超フィルタと同じであり、また異なる意味でBの極大イデアルと同じでもある。2値射は、物理学の言語を統一するためのツールとしても提案されている。[2]
2値射、超フィルタ、最大イデアル
Bがブール代数である と仮定します。
- s : B → 2が 2 値射である場合、 1 に送られるBの要素の集合はB上のウルトラフィルターであり、 0 に送られるBの要素の集合はBの最大イデアルです。
- UがB上のウルトラフィルタである場合、 Uの補写像はBの最大イデアルであり、ウルトラフィルタを 1 に、最大イデアルを 0 にする2 値射s : B → 2が 1 つだけ存在します。
- MがBの最大イデアルである場合、 Mの補写像はB上の超フィルタであり、超フィルタを 1 に、最大イデアルを 0 にする2 値射s : B → 2が 1 つだけ存在します。
物理
Bの要素を「あるオブジェクトに関する命題」と見なすと、 B上の 2 値射は、特定の「そのオブジェクトの状態」、すなわち、Bの命題のうち 1 に写像されたものは真であり、0 に写像されたものは偽である状態を表すと解釈できます。この射はブール演算子（否定、連言など）を保存するため、真命題の集合は矛盾せず、命題の特定の極大連言に対応し、（原子）状態を表します。（前述のように、真命題は超フィルタを形成し、偽命題は極大イデアルを形成します。）
2 値写像によって表されるBの2 つの状態s 1とs 2の間の遷移は、BからBへの自己同型fによって表すことができ、s 2 o f = s 1となります。
このように定義された様々なオブジェクトの可能な状態は、潜在的なイベントを表すものとして考えることができます。そして、イベントの集合は、因果構造の不変性、局所的因果関係から大域的因果関係への接続、あるいは大域的因果関係の形式的性質と同様に構造化することができます。
（非自明な）オブジェクト間の射は、あるイベントから別のイベントへとつながる因果関係を表すものと見なすことができます。例えば、上記の射fは、イベントs 1からイベントs 2へとつながります。逆射が存在しない射の列、つまり「パス」は、時系列的あるいは時間的な先行関係を定義するものと解釈できます。これらの関係は、時間的順序、位相、そして場合によっては計量を決定します。
[2]によれば、「このような関係的に決定された時空構造の最小限の実現が見出される」。しかしながら、このモデルには明示的な区別は存在しない。これは、各オブジェクトが（存在、不在）または（存在、非存在）という一つの区別のみによって特徴付けられるモデルと同等である。このようにして、「『矢印』あるいは『構造言語』は、この唯一の区別を保存する射影として解釈することができる」[2] 。
ただし、複数の区別を考慮すると、モデルははるかに複雑になり、区別状態をイベントとして解釈したり、モルフィズムをプロセスとして解釈したりすることがはるかに難しくなります。
参考文献
- ^ Fleischer, Isidore (1993), 「述語計算のブール形式化」, Algebras and ordered (Montreal, PQ, 1991) , NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci., vol. 389, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, pp. 193– 198, MR 1233791。
- ^ abc Heylighen, Francis (1990). 『物理学の基礎のための構造言語』ブリュッセル: International Journal of General Systems 18, p. 93-112.
外部リンク
- 「表現と変化 - 物理科学と認知科学の基礎となるメタ表現の枠組み」
