数学において、射影特殊線型群PSL(2, 7)はGL(3, 2)と同型であり、代数学、幾何学、数論において重要な応用を持つ有限単純群である。これはクライン四次式の自己同型群であると同時に、ファノ平面の対称群でもある。PSL(2, 7) は168個の元を持ち、PSL(2, 5)と同型で60個の元を持つ交代群A 5に次いで最小の非可換単純群である。
意味
一般線型群GL(2, 7)は、7つの元を持つ有限体F 7上のすべての可逆な2×2行列から構成される。これらは行列式が0でない。部分群SL(2, 7)は、そのような行列式が1であるすべての行列から構成される。したがって、PSL(2, 7)は商群として定義される。
- SL(2, 7) / { I , − I }
Iと − I を同一視することで得られる。ここでIは単位行列である。本稿では、GはPSL(2, 7)に同型な任意の群を表すものとする。
プロパティ
G = PSL(2, 7)には168個の要素があります。これは、可能な列を数えれば分かります。最初の列には7 2 − 1 = 48 通りの可能性があり、2番目の列には7 2 − 7 = 42 通りの可能性があります。行列式を1にするには7 − 1 = 6で割る必要があります。そして、Iと − Iを識別する際に 2 で割る必要があります。結果は(48 × 42) / (6 × 2) = 168 です。
一般的な帰結として、PSL( n , q )は、 ( n , q ) = (2, 2)または (2, 3)でない限り、 n , q ≥ 2 ( qは素数のべき乗)に対して単純群となる。PSL(2, 2)は対称群S 3と同型であり、PSL(2, 3)は交代群A 4と同型である。実際、PSL(2, 7)は交代群A 5 = PSL(2, 5) = PSL(2, 4)に次いで2番目に小さい非可換単純群である。
共役類と既約表現の数は6 です。共役類のサイズは 1、21、42、56、24、24 です。既約表現の次元は 1、3、3、6、7、8 です。
文字テーブル
どこ
以下の表は、共役類を、そのクラスの元の位数、クラスの大きさ、GL(3, 2) の各代表の最小多項式、および PSL(2, 7) の代表の関数表記に基づいて記述したものである。クラス 7A と 7B は自己同型によって交換されるため、GL(3, 2) と PSL(2, 7) の代表は任意に入れ替え可能であることに注意されたい。
| 注文 | サイズ | 最小ポリ | 関数 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | x + 1 | × |
| 2 | 21 | × 2 + 1 | −1/ x |
| 3 | 56 | × 3 + 1 | 2倍 |
| 4 | 42 | × 3 + × 2 + × + 1 | 1/(3 − x ) |
| 7 | 24 | × 3 + × + 1 | x + 1 |
| 7 | 24 | × 3 + × 2 + 1 | x + 3 |
群の位数は168 = 3 × 7 × 8であり、これは位数 3、7、8 のシロー部分群の存在を意味しています。最初の 2 つは簡単に記述でき、素位数の群はどれも巡回的であるためです。共役類 3 A 56の任意の元はシロー 3 部分群を生成します。共役類 7 A 24、 7 B 24の任意の元はシロー 7 部分群を生成します。シロー 2 部分群は位数 8 の二面体群です。これは共役類 2 A 21の任意の元の中心化群として記述できます。GL (3, 2)表現では、シロー 2 部分群は上三角行列で構成されます。
この群とそのシロー 2 部分群は、 p = 2に対するさまざまな通常の p 補定理の反例を提供します。
射影空間上の作用
G = PSL(2, 7)は、 7つの要素を持つ体上の 射影直線P 1 (7)上の線形分数変換を介して作用する。
P 1 (7)のすべての向きを保つ自己同型はこのようにして生じるので、G = PSL(2, 7) は幾何学的には射影直線P 1 (7)の対称群として考えることができる。向きが反転する可能性のある射影線型自己同型の完全な群は、代わりに 2 次拡張PGL(2, 7)であり、射影直線の共線化の群は点の 完全な対称群である。
しかしながら、PSL(2, 7)は、2元体上の3×3行列の特殊（一般）線型群であるPSL(3, 2)（= SL(3, 2) = GL(3, 2)）とも同型である。同様に、G = PSL(3, 2)は2元体上の射影平面P 2 (2)（ファノ平面とも呼ばれる）に作用する。
- および
繰り返しますが、P 2 (2) のあらゆる自己同型はこのようにして生じるため、G = PSL(3, 2) は幾何学的にはこの射影平面の対称群と考えることができます。ファノ平面は八元数の乗法を記述するのに使用できるため、G は八元数の乗法表の集合に作用します。
クライン四次対称性
クラインの四次多項式は、四次多項式によって定義される 複素数C上の射影多様体である。
- x 3 y + y 3 z + z 3 x = 0 です。
これは種数g = 3のコンパクトリーマン面であり、共形自己同型群の大きさが最大値84( g − 1)に達する唯一の面です。この上限は、 g > 1のすべてに成立するフルヴィッツ自己同型定理によるものです。このような「フルヴィッツ面」は稀であり、存在する次の種数はg = 7であり、その次の種数はg = 14です。
すべてのフルヴィッツ面と同様に、クラインの四次曲面には一定の負の曲率の計量を与え、次数 3 の七角形タイリングの商として、正(双曲)七角形でタイリングすることができます。リーマン面または代数曲線としての表面の対称性は、タイリングの対称性とまったく同じです。クラインの四次曲面の場合、これは 24 個の七角形によるタイリングを生成し、したがってGの次数は24 × 7 = 168という事実と関連しています。双対的に、次数 7 の三角形タイリングの商として、24 個の頂点があり各頂点が次数 7 である 56 個の正三角形でタイリングすることもできます。
クラインの四次式は、表現論、ホモロジー理論、八元数の乗算、フェルマーの最終定理、クラス数 1 の虚二次数体 に関するシュタルクの定理など、数学の多くの分野で登場します。
マシューグループ
PSL(2, 7)はマシュー群M 21の最大部分群である。群 M 21と M 24は PSL(2, 7)の拡大として構成できる。これらの拡大はクライン四次式のタイリングによって解釈できるが、タイリングの幾何学的対称性によって実現されるわけではない。[ 1 ]
順列アクション
PSL(2, 7)群は様々な有限集合に作用する。
- PSL(2, 7) は射影直線 P 1 ( F 7 )の向き保存線型自己同型として元々解釈されており、与えられた点を固定する位数21の安定因子を用いて8点に推移的に作用する。また、各点対に位数3の安定因子を用いて2推移的に作用する。さらに、点の三重項には2つの軌道を持ち、各三重項には自明な安定因子が存在する。（より大きな群であるPGL(2, 7)は鋭く3推移的に作用する。）
- PGL(3, 2)、つまりファノ平面P 2 ( F 2 )の線型自己同型として解釈すると、7つの点に対して2推移的に作用し、24次の安定子が各点を固定し、4次の安定子が各点のペアを固定します。
- クラインの四次多様体のタイリングの自己同型として解釈され、7 次安定因子 (頂点/七角形の周りの回転に対応) を使用して、24 個の頂点 (または双対的に 24 個の七角形) に推移的に作用します。
- マシュー群 M 21のサブグループとして解釈すると、サブグループは 21 点に対して非推移的に作用します。
参考文献
- Richter, David A., How to Make the Mathieu Group M 24 , 2010年1月16日アーカイブ, 2010年4月15日閲覧
さらに読む
- Brown, Ezra; Loehr, Nicholas (2009). 「なぜPSL (2,7)≅ GL (3,2)なのか？」(PDF) . Am. Math. Mon. 116 ( 8): 727– 732. doi : 10.4169/193009709X460859 . Zbl 1229.20046 .オリジナル(PDF)から2016年10月9日にアーカイブ. 2014年9月27日閲覧.