ボール（数学）

Volume space bounded by a sphere

数学において、球とは球で囲まれた立体図形であり、立体球とも呼ばれます。^[1]閉球（球を構成する境界点を含む）または開球（それらを含まない）のいずれかです。

これらの概念は、3次元ユークリッド空間だけでなく、低次元および高次元、そして一般的な計量空間においても定義されています。n $次元$ の球体は超球体または $n$ 球体と呼ばれ、超球体または( $n$ $-1$ )球体によって囲まれます。したがって、たとえばユークリッド平面上の球体は、円で囲まれた平面領域である円板と同じものです。3次元ユークリッド空間では、球体は 2次元球体によって囲まれた空間領域とみなされます。1次元空間では、球体は線分です。

ユークリッド幾何学や非公式な用法など、他の文脈では、球体は球体を意味するために使用されることがあります。位相幾何学の分野では、閉次元球体はしばしばまたはと表記され、開次元球体はまたはと表記されます。 $n$ $B^{n}$ $D^{n}$ $n$ $\operatorname {int} B^{n}$ $\operatorname {int} D^{n}$

ユークリッド空間において

$ユークリッドn$ 次元空間において、半径 $r$ 、中心 $x$ の（開） $n次元球体は、$ $x$ から $r$ 未満の距離にあるすべての点の集合です。半径 $rの閉$ $n次元球体は、$ $x$ から $r$ 以下の距離にあるすべての点の集合です。

$ユークリッドn$ 次元空間において、すべての球体は超球体で囲まれます $。n$ $= 1の$ ときは球体は有界区間であり、 $n$ $= 2$ のときは円で囲まれた円板であり、 $n$ $= 3$ のときは球体で囲まれます。

体積

$n$ 次元ユークリッド空間における半径 $r$ のユークリッド球体の $n$ 次元体積は^[2]で与えられます。ここで、 $Γ$ はレオンハルト・オイラーのガンマ関数（階乗関数の分数引数への拡張と考えることができます）です。整数および半整数におけるガンマ関数の特定の値に対する明示的な公式を用いると、ガンマ関数の評価を必要としないユークリッド球体の体積の公式が得られます。これらは次のとおりです。 $V_{n}(r)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma {\left({\frac {n}{2}}+1\right)}}}r^{n},$ ${\begin{aligned}V_{2k}(r)&={\frac {\pi ^{k}}{k!}}r^{2k}\,,\\[2pt]V_{2k+1}(r)&={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{\left(2k+1\right)!!}}r^{2k+1}={\frac {2\left(k!\right)\left(4\pi \right)^{k}}{\left(2k+1\right)!}}r^{2k+1}\,.\end{aligned}}$

奇数次元体積の公式において、二重階乗 $(2 k + 1)!!$ は、奇数 $2 k + 1$ に対して、 $(2 k + 1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2 k - 1) \cdot (2 k + 1)$ と定義されます。

一般的な計量空間において

$(M, d)$ を計量空間、すなわち計量（距離関数） $d$ を持つ集合 $M$ とし、を正の実数とします。M内の点pを中心とする半径rの開球（計量球）は、通常Br(p)またはB(p;r)と表記され、ユークリッド球と同じように、pからr未満の距離 $に$ ある $M$ 内 $の$ $点$ の $集合$ $として$ $定義$ $さ$ れ $ます$ $。$ $r$ $B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\}.$

The closed (metric) ball, sometimes denoted $B r [p]$ or $B [p; r]$ , is likewise defined as the set of points of distance less than or equal to $r$ away from $p$ , $B_{r}[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}.$

In particular, a ball (open or closed) always includes $p$ itself, since the definition requires $r > 0$ . A unit ball (open or closed) is a ball of radius 1.

A ball in a general metric space need not be round. For example, a ball in real coordinate space under the Chebyshev distance is a hypercube, and a ball under the taxicab distance is a cross-polytope. A closed ball also need not be compact. For example, a closed ball in any infinite-dimensional normed vector space is never compact. However, a ball in a normed vector space will always be convex as a consequence of the triangle inequality.

A subset of a metric space is bounded if it is contained in some ball. A set is totally bounded if, given any positive radius, it is covered by finitely many balls of that radius.

The open balls of a metric space can serve as a base, giving this space a topology, the open sets of which are all possible unions of open balls. This topology on a metric space is called the topology induced by the metric $d$ .

Let ${\overline {B_{r}(p)}}$ denote the closure of the open ball $B_{r}(p)$ in this topology. While it is always the case that $B_{r}(p)\subseteq {\overline {B_{r}(p)}}\subseteq B_{r}[p],$ it is not always the case that ${\overline {B_{r}(p)}}=B_{r}[p].$ For example, in a metric space $X$ with the discrete metric, one has ${\overline {B_{1}(p)}}=\{p\}$ but $B_{1}[p]=X$ for any $p\in X.$

In normed vector spaces

Any normed vector space $V$ with norm $\|\cdot \|$ is also a metric space with the metric $d(x,y)=\|x-y\|.$ In such spaces, an arbitrary ball $B_{r}(y)$ of points $x$ around a point $y$ with a distance of less than $r$ may be viewed as a scaled (by $r$ ) and translated (by $y$ ) copy of a unit ball $B_{1}(0).$ Such "centered" balls with $y=0$ are denoted with $B(r).$

The Euclidean balls discussed earlier are an example of balls in a normed vector space.

$p$ -norm

$p$ ノルム $L$ $p$ を持つ直交座標空間 $R n$ において、すなわち、いくつかを選び、定義すると、原点を回り、半径を持つ開球は、集合によって与えられる。 $n$ $= 2$ の場合、2 次元平面において、 $L$ $1ノルム ($ タクシーメトリックまたはマンハッタンメトリックとも呼ばれる)に従う「球」は、対角線が座標軸に平行な正方形で囲まれる。 $L$ $\infty$ ノルム (チェビシェフメトリックとも呼ばれる)に従う「球」は、境界として、辺が座標軸に平行な正方形を持つ。 $L$ $2$ ノルム (ユークリッドメトリックとも呼ばれる) は、よく知られた円内に円板を生成し、 $p$ の他の値では、対応する球はラメ曲線(半楕円または超楕円) で囲まれた領域である。 $p\geq 1$ $\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p},$ $r$ $B(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,:\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}<r\right\}.$ $\mathbb {R} ^{2}$

$n = 3$ の場合、 $L 1$ 球体は軸が揃った対角線を持つ八面体内にあり、 $L \infty$ 球体は軸が揃った辺を持つ立方体内にあり、 $p$ $> 2$ の $L p$ の球体の境界は超楕円体です。p $= 2$ $は$ 通常の球体の内角を生成します。

の場合も考えられます。この場合、次のように定義します。 $p=\infty$ $\lVert x\rVert _{\infty }=\max\{\left|x_{1}\right|,\dots ,\left|x_{n}\right|\}$

一般的な凸ノルム

より一般的には、 $R$ $n$ の任意の中心対称、有界、開、凸部分集合 $X$ が与えられたとき、球体がすべて $Xを平行移動し、均一にスケーリングされたコピーである$ $R$ $n$ 上のノルムを定義できます。この定理は、「開」部分集合を「閉」部分集合に置き換えた場合は成立しないことに注意してください。原点は $R$ $n$ 上のノルムを満たすものの、定義しないためです。

位相空間において

任意の位相空間 $X$ における球体について話すことができますが $、$ 必ずしも計量によって誘導される必要はありません。Xの（開または閉） $n$ 次元位相球体とは、（開または閉）ユークリッド $n$ 球体に同相な $Xの$ 任意の部分集合です。位相 $n球体は、$ セル複体の構成要素として、組合せ位相学において重要です。

任意の開位相 $n$ 球体は、直交空間 $R n$ および開単位 $n$ 立方体（超立方体） $(0, 1) n \subseteq R n$ に同相です。任意の閉位相 $n$ 球体は、閉 $n$ 立方体 $[0, 1] n$ に同相です。

n球体が $m$ 球体に同相であるための必要十分条件は、n = m です $。$ $開$ $n$ $球体$ $B$ と $R$ n $の$ $間$ の同相は、 $B$ の 2つの可能な位相的向きと同一視できる2つのクラスに分類できます

位相的な $n次元球体は$ 滑らかである必要はありません。滑らかであれば、ユークリッド $n次元球体と$ 微分同相である必要はありません。

領域

球体には、いくつかの特別な領域を定義できます。

キャップ：1つの平面で
セクター：球の中心を頂点とする円錐状の境界で囲まれる
セグメント：2つの平行な平面で囲まれる
シェル：半径の異なる2つの同心球で
ウェッジ：球の中心と球面を通る2つの平面で囲まれる

参照

球体- 通常の意味
円板（数学）
形式的な球体：負の半径への拡張
近傍（数学）
球体：相似な幾何学的形状
3次元球面
$n$ 次元球面、または超球面
アレクサンダー角球
多様体
$n$ 次元球体の体積
正八面体– $l 1$ 計量における3次元球体

参考文献

^ 数学会 (1993). 数学百科事典. MIT Press . ISBN 9780262590204。
^ 方程式 5.19.4, NIST 数学関数デジタルライブラリ. [1] 2013年5月6日リリース 1.0.6

Smith, DJ; Vamanamurthy, MK (1989). 「単位球はどれくらい小さいか？」. Mathematics Magazine . 62 (2): 101–107 . doi :10.1080/0025570x.1989.11977419. JSTOR 2690391.
Dowker, JS (1996). 「ユークリッド球上のロビン条件」. Classical and Quantum Gravity . 13 (4): 585–610 . arXiv : hep-th/9506042 . Bibcode :1996CQGra..13..585D. doi :10.1088/0264-9381/13/4/003. S2CID 119438515
グルーバー、ピーター・M. (1982). 「ユークリッド球体に含まれる凸体空間の等長写像」.イスラエル数学ジャーナル. 42 (4): 277– 283. doi :10.1007/BF02761407. S2CID 119483499.

[1] 数学会 (1993). 数学百科事典. MIT Press . ISBN 9780262590204。

[2] 方程式 5.19.4, NIST 数学関数デジタルライブラリ. [1] 2013年5月6日リリース 1.0.6