抽象基本クラス

数理論理学の一分野であるモデル理論において、抽象基本クラス（ AEC）は、一階モデル理論における基本クラスの基本部分構造の関係に類似した半順序を持つモデルのクラスである。これらはサハロン・シェラによって導入された。[1]

意味

⟨ K , ≺ K ⟩ {\displaystyle \langle K,\prec _{K}\rangle } ある言語の構造のクラスの場合、次の特性を持つとき、それは AEC です。 K {\displaystyle K} L = L ( K ) {\displaystyle L=L(K)}

  • ≺ K {\displaystyle \prec _{K}} は上の半順序です。 K {\displaystyle K}
  • の場合、 は のサブ構造です。 M ≺ K N {\displaystyle M\prec _{K}N} M {\displaystyle M} N {\displaystyle N}
  • 同型：は同型に対して閉じており、そして K {\displaystyle K} M , N , M ′ , N ′ ∈ K , {\displaystyle M,N,M',N'\in K,} f : M ≃ M ′ , {\displaystyle f\colon M\simeq M',} g : N ≃ N ′ , {\displaystyle g\colon N\simeq N',} f ⊆ g , {\displaystyle f\subseteq g,} M ≺ K N , {\displaystyle M\prec _{K}N,} M ′ ≺ K N ′ . {\displaystyle M'\prec _{K}N'.}
  • 一貫性：もし、そして M 1 ≺ K M 3 , {\displaystyle M_{1}\prec _{K}M_{3},} M 2 ≺ K M 3 , {\displaystyle M_{2}\prec _{K}M_{3},} M 1 ⊆ M 2 , {\displaystyle M_{1}\subseteq M_{2},} M 1 ≺ K M 2 . {\displaystyle M_{1}\prec _{K}M_{2}.}
  • Tarski–Vaught連鎖公理:が順序数で が連鎖 (つまり) である場合、次のようになります。 γ {\displaystyle \gamma } { M α ∣ α < γ } ⊆ K {\displaystyle \{\,M_{\alpha }\mid \alpha <\gamma \,\}\subseteq K} α < β < γ ⟹ M α ≺ K M β {\displaystyle \alpha <\beta <\gamma \implies M_{\alpha }\prec _{K}M_{\beta }}
    • ⋃ α < γ M α ∈ K {\displaystyle \bigcup _{\alpha <\gamma }M_{\alpha }\in K}
    • ならば、すべての に対して、 M α ≺ K N {\displaystyle M_{\alpha }\prec _{K}N} α < γ {\displaystyle \alpha <\gamma } ⋃ α < γ M α ≺ K N {\displaystyle \bigcup _{\alpha <\gamma }M_{\alpha }\prec _{K}N}
  • レーヴェンハイム・スコーレム公理：基数 が 存在し、宇宙の部分集合である、その宇宙にはおよびとなるようなものが。そのような最小のものをとし、それを のレーヴェンハイム・スコーレム数と呼ぶ。 μ ≥ | L ( K ) | + ℵ 0 {\displaystyle \mu \geq |L(K)|+\aleph _{0}} A {\displaystyle A} M {\displaystyle M} N {\displaystyle N} K {\displaystyle K} A {\displaystyle A} ‖ N ‖ ≤ | A | + μ {\displaystyle \|N\|\leq |A|+\mu } N ≺ K M {\displaystyle N\prec _{K}M} LS ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {LS} (K)} μ {\displaystyle \mu } K {\displaystyle K}

なお、レーヴェンハイム・スコーレム数より小さいサイズのモデルについては通常は考慮せず、そのようなモデルは存在しないと仮定することが多い（本稿でもこの慣例を採用する）。これは、レーヴェンハイム・スコーレム数より大きいサイズのモデルは、AECの構造に影響を与えることなく、常にAECからそのようなモデルをすべて削除できるため、正当化される。

-埋め込みはの写像であり、は から への同型写像である。 が文脈から明らかな場合は省略する。 K {\displaystyle K} f : M → N {\displaystyle f:M\rightarrow N} M , N ∈ K {\displaystyle M,N\in K} f [ M ] ≺ K N {\displaystyle f[M]\prec _{K}N} f {\displaystyle f} M {\displaystyle M} f [ M ] {\displaystyle f[M]} K {\displaystyle K}

例

以下は抽象基本クラスの例である: [2]

  • 基本クラスはAEC の最も基本的な例です。Tが1 階理論である場合、基本サブ構造を持つTのモデルのクラスは、レーヴェンハイム・スコーレム数|T|を持つ AEC を形成します。 Mod ⁡ ( T ) {\displaystyle \operatorname {Mod} (T)}
  • が無限論理 の文であり、 がを含む可算な断片である場合、 はレーヴェンハイム・スコーレム数 を持つ AEC である。これは、 や のような他の論理にも一般化でき、は「 が無数に存在する」ことを表す。 ϕ {\displaystyle \phi } L ω 1 , ω {\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }} F {\displaystyle {\mathcal {F}}} ϕ {\displaystyle \phi } ⟨ Mod ⁡ ( T ) , ≺ F ⟩ {\displaystyle \langle \operatorname {Mod} (T),\prec _{\mathcal {F}}\rangle } ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} L κ , ω {\displaystyle L_{\kappa ,\omega }} L ω 1 , ω ( Q ) {\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }(Q)} Q {\displaystyle Q}
  • T が第 1 階の可算な超安定理論である場合、 Tの -飽和モデルの集合は、基本部分構造とともに、レーヴェンハイム・スコーレム数 を持つ AEC です。 ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}
  • Zilber の擬指数体はAEC を形成します。

一般的な仮定

AEC は非常に一般的なオブジェクトであり、通常、AEC を研究する際には以下のような仮定が立てられます。

  • 任意の 2 つのモデルを共通モデル内に埋め込むことができる場合、AEC には共同埋め込みが存在します。
  • いずれかのモデルに適切な拡張がある場合、AEC には最大モデルは存在しません。
  • AEC が融合を持つとは、 、を持つ任意の3 組に対して、その内部に点ごとに固定するおよびの埋め込みが存在する場合です。 K {\displaystyle K} M 0 , M 1 , M 2 ∈ K {\displaystyle M_{0},M_{1},M_{2}\in K} M 0 ≺ K M 1 {\displaystyle M_{0}\prec _{K}M_{1}} M 0 ≺ K M 2 {\displaystyle M_{0}\prec _{K}M_{2}} N ∈ K {\displaystyle N\in K} M 1 {\displaystyle M_{1}} M 2 {\displaystyle M_{2}} N {\displaystyle N} M 0 {\displaystyle M_{0}}

基本クラスでは、理論が完備であれば常に結合埋め込みが成立する一方、融合と最大モデルの不存在はコンパクト性定理のよく知られた帰結であることに留意されたい。これらの3つの仮定により、基本クラスの場合と全く同様に、 普遍的なモデル均質なモンスターモデルを構築することができる。 C {\displaystyle {\mathfrak {C}}}

もう一つ考えられる仮定は、従順さです。

シェラの圏論的予想

シェラは、第一階分類理論を一般化するための統一的な枠組みを提供するために、AECを導入しました。分類理論はモーリーの圏論定理から始まったため、AECにおいても同様の結果が得られるかどうか疑問に思うのは当然です。これがシェラの最終的な圏論予想です。これは、圏論にはハンフ数が存在するはずであると述べています。

すべての AEC Kについて、のみに依存する基数が存在する必要があり、Kがいくつかでカテゴリカルである場合(つまり、Kにはサイズ のモデルが 1 つだけ (同型を除いて) 存在する場合)、Kはすべての について でカテゴリカルになります。 μ {\displaystyle \mu } LS ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {LS} (K)} λ ≥ μ {\displaystyle \lambda \geq \mu } λ {\displaystyle \lambda } θ {\displaystyle \theta } θ ≥ μ {\displaystyle \theta \geq \mu }

シェラはさらに強力な予想をいくつか提唱している。圏性の閾値基数は、基数LS(K)の言語における擬素クラスのハンフ数である。より具体的には、クラスが可算言語であり、文によって公理化可能である場合、圏性の閾値数は である。この予想は1976年に遡る。 L ω 1 , ω {\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }} ℶ ω 1 {\displaystyle \beth _{\omega _{1}}}

集合論的仮定（大きな基数の存在や一般化連続体仮説の変種など）やモデル理論的仮定（融合や従順性など）を前提とした近似がいくつか発表されている（例えば、以下の結果のセクションを参照）。2014年現在、当初の予想は未解決のままである。

結果

以下はAECに関する重要な結果です。最後の結果を除き、すべてShelahによるものです。

  • シェラのプレゼンテーション定理: [3]任意のAECは、最大で個の型を省略した第一階理論のモデルのクラスの縮約です。 K {\displaystyle K} PC 2 LS ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {PC} _{2^{\operatorname {LS} (K)}}} 2 LS ⁡ ( K ) {\displaystyle 2^{\operatorname {LS} (K)}}
  • 存在のためのHanf数: [4]サイズのモデルを持つAECは、任意の大きさのモデルを持ちます。 K {\displaystyle K} ℶ ( 2 LS ⁡ ( K ) ) + {\displaystyle \beth _{(2^{\operatorname {LS} (K)})^{+}}}
  • 圏論からの融合: [5] Kが、およびにおいてAEC圏論的である場合、Kはサイズ のモデルに対して融合を持ちます。 λ {\displaystyle \lambda } λ + {\displaystyle \lambda ^{+}} 2 λ < 2 λ + {\displaystyle 2^{\lambda }<2^{\lambda ^{+}}} λ {\displaystyle \lambda }
  • 圏論からの存在性：[6] Kがレーヴェンハイム・スコーレム数を持つ AEC であり、Kが と において圏論的である場合、Kはサイズのモデルを持つ。特に、 の文はちょうど 1 つの非可算モデルを持つことはできない。 PC ℵ 0 {\displaystyle \operatorname {PC} _{\aleph _{0}}} ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} ℵ 2 {\displaystyle \aleph _{2}} L ω 1 , ω ( Q ) {\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }(Q)}
  • シェラの圏論予想の近似:
    • 後継クラスからの下方転移: [7] Kが「十分に高い」後継クラス においてカテゴリカルな融合を持つ抽象基本クラスである場合、Kはすべての十分に高いクラスにおいてカテゴリカルである。 λ {\displaystyle \lambda } μ ≤ λ {\displaystyle \mu \leq \lambda }
    • 大きな基数からの後継に対するシェラの圏論性予想: [8]クラス多数の強コンパクト基数がある場合、後継数における圏論性から始めるとシェラの圏論性予想が成り立ちます。

参照

注記

  1. ^ シェラ 1987.
  2. ^ Grossberg 2002、セクション1。
  3. ^ Grossberg 2002、定理3.4。
  4. ^ Grossberg 2002, Corollary 3.5. ここにタイプミスがあるので、に置き換える必要があることに注意してください。 2 2 LS ⁡ ( K ) {\displaystyle 2^{2^{\operatorname {LS} (K)}}} 2 LS ⁡ ( K ) {\displaystyle 2^{\operatorname {LS} (K)}}
  5. ^ Grossberg 2002、定理4.3。
  6. ^ Grossberg 2002、定理5.1。
  7. ^ シェラ 1999.
  8. ^ これはウィル・ボニーによるものですが、グロスバーグ、マッカイ、シェラ、ヴァンディーレンを含む多くの人々の結果を統合しています。証明はボニー 2014、定理7.5に掲載されています。

参考文献

  • シェラ、サハロン（1987）、ジョン・T・ボールドウィン（編）、非初等教育クラスの分類II.抽象初等教育クラス、数学講義ノート、第1292巻、シュプリンガー・フェアラーク、  pp.419-497
  • シェラ、サハロン(1999)、「融合を伴う抽象クラスの圏論」(PDF)、Annals of Pure and Applied Logic、98 (1): 261– 294、arXiv : math/9809197、doi :10.1016/s0168-0072(98)00016-5、S2CID  27872122
  • グロスバーグ、ラミ（2002）「抽象基本クラスの分類理論」（PDF）、論理と代数、現代数学、第302巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、pp.  165– 204、CiteSeerX  10.1.1.6.9630、doi :10.1090/conm/302/05080、ISBN 9780821829844、MR  1928390
  • ボールドウィン、ジョン・T.（2006年7月7日）「抽象的な初等教育：いくつかの答えとさらなる疑問」（PDF）
  • シェラ、サハロン（2009）、基本抽象クラスの分類理論、論理学研究（ロンドン）、第18巻、カレッジ出版、ロンドン、ISBN 978-1-904987-71-0
  • シェラ、サハロン（2009）「抽象基本クラスの分類理論」第2巻、論理学研究（ロンドン）、第20巻、カレッジ出版、ロンドン、ISBN 978-1-904987-72-7
  • ボールドウィン、ジョン・T. (2009)、カテゴリー、大学講義シリーズ、第50巻、アメリカ数学会、ISBN 978-0821848937
  • ボニー、ウィル (2014). 「大規模基数公理からの従順さ」arXiv : 1303.0550v4 [math.LO].
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