抽象経済

理論経済学において、抽象経済（一般化N人ゲームとも呼ばれる）は、ミクロ経済学における交換経済の標準モデルとゲーム理論におけるゲームの標準モデルの両方を一般化したモデルである。抽象経済における均衡は、ミクロ経済学におけるワルラス均衡とゲーム理論における ナッシュ均衡の両方を一般化する。

この概念は1952年にジェラール・ドブリューによって導入されました。彼はこれを一般化N人ゲームと名付け、このゲームにおける均衡の存在を証明しました。^[1] その後、ドブリューとケネス・アロー（この概念を抽象経済と改名）は、この存在結果を利用して、アロー・ドブリューモデルにおけるワルラス均衡（競争均衡とも呼ばれる）の存在を証明しました。^[2]その後、シェーファーとゾンネンシャインは、両定理を非合理的エージェント（非推移的かつ非完全な選好を持つエージェント）に拡張しました。^{[3] [4]}

効用関数を持つ抽象経済

一般的なケース

意味

^{ドブリュー[1]}のモデルでは、抽象経済には有限数のN人のエージェントが含まれる。各エージェントについて、以下の関係がある。 ${\displaystyle i}$

• 選択集合 （ユークリッド空間の部分集合）。これは、エージェントが選択できる選択肢の全体集合を表します。 ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{l}}$
  • すべての選択セットの直積を次のように定義します。${\displaystyle X:=\prod _{j=1}^{N}X_{j}}$
• アクション対応。これは、他のエージェントの選択を前提として、エージェントが実行できる可能性のあるアクションのセットを表します。${\displaystyle A_{i}:X\twoheadrightarrow X_{i}}$
• 効用関数: は、エージェントが各選択肢の組み合わせから受け取る効用を表します。${\displaystyle U_{i}:X\to \mathbb {R} }$

各エージェントの目標は、自分の効用を最大化するアクションを選択することです。

平衡

抽象経済における均衡とは、各エージェントに対して、制約の下で関数を最大化する行動をとるような選択のベクトルである。${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{N})=(x_{i},x_{-i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}(\cdot ,x_{-i})}$ ${\displaystyle x_{i}\in A_{i}(x)}$

${\displaystyle U_{i}(x_{i},x_{-i})=\max _{x_{i}'\in A_{i}(x)}U_{i}(x_{i}',x_{-i})}$

同様に、各エージェントに対して、次のようなアクションは存在しません。${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{i}'\in A_{i}(x)}$

${\displaystyle U_{i}(x_{i}',x_{-i})>U_{i}(x_{i},x_{-i})}$

平衡状態が存在するには以下の条件が満たされる必要がある: ^{[1] [5] [6]}

• 各選択セットはコンパクトで、空ではなく、凸状です。${\displaystyle X_{i}}$
• 各アクション対応は連続しており、その値は空ではなく凸です。${\displaystyle A_{i}}$
• 各効用関数はでは連続であり、 では準凹です。${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{i}}$

効用関数の連続性条件は次のように緩和できる: ^{[7] : Thm.2}

• 各効用関数はでは準凹、では上半連続、 ではグラフ連続です。${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x}$

グラフ連続性を利用しないもう一つの弱化は次の通りである: ^[7]

• 各効用関数はで準凹、で上半連続、関数[は上半連続なので定義される ] は下半連続です。${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle W_{i}(x_{-i}):=\max _{x_{i}}U_{i}(x_{i},x_{-i})}$ ${\displaystyle U_{i}}$

証明には角谷不動点定理を用いる。

交換経済の特殊ケース

意味

交換経済とは、N-1人の消費者と均質な分割可能な財を持つシステムである。各消費者iについて、以下の条件が成立する。 ${\displaystyle l}$

• 消費セット（ のサブセット）。これは、エージェントが消費できるバンドルのセットを表します。 ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{l}}$
  • すべての消費セットの直積を次のように定義します。${\displaystyle Y:=\prod _{j=1}^{N}Y_{j}}$
• 初期賦与ベクトル${\displaystyle w_{i}\in \mathbb {R} _{+}^{l}.}$
• 効用関数。これはエージェントの選好を表します。消費者の効用は、全体の配分ではなく、自身の消費量のみに依存することに注意してください。${\displaystyle V_{i}:Y_{i}\to \mathbb {R} }$

可能な価格ベクトルの集合を次のように定義します。 ${\displaystyle \Delta :=\{p\in \mathbb {R} _{+}^{l}|\sum _{i=1}^{l}p_{i}=1\}}$

平衡

交換経済におけるワルラス均衡（競争均衡とも呼ばれる）は、消費バンドルのベクトルと価格ベクトルであり、次のようになります。 ${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{N-1},p)}$

• 総消費量は最大で総保有量以下です: 。${\displaystyle \sum y_{i}\leq \sum w_{i}}$
• 各エージェントの合計費用は最大でもそのエージェントの予算以下になります。${\displaystyle p\cdot y_{i}\leq p\cdot w_{i}}$
• 各エージェントについて、消費は制約条件の下で関数を最大化します。つまり、 であれば、 となります 。${\displaystyle i}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}(\cdot )}$ ${\displaystyle p\cdot y_{i}\leq p\cdot w_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}(z)>V_{i}(y_{i})}$ ${\displaystyle p\cdot z>p\cdot w_{i}\geq p\cdot y_{i}}$

抽象経済への還元

アローとデブリュー^[2]は、交換経済から抽象経済への次のような還元を提示した。

( N -1)人エージェント交換経済を前提として、マーケットメーカーまたはマーケットプレイヤーと呼ばれる特別なエージェントを加えることで、N人エージェント抽象経済を定義する。この特別なプレイヤーの「消費」はpで表される。抽象経済の構成要素は以下のように定義される。

• 最初のN -1 人のエージェントのそれぞれには、予算によって定義された選択セット、効用関数、およびアクション セットがあります。${\displaystyle X_{i}=Y_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}=V_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}(y,p)=\{y_{i}\in Y_{i}|py_{i}\leq pw_{i}\}}$
• 市場プレーヤーには、選択セット（可能な価格ベクトルのセット）、効用関数、およびによって定義されるアクションセットが あります。${\displaystyle X_{N}:=\Delta }$ ${\displaystyle U_{N}(y,p):=p\cdot (\sum y_{i}-\sum w_{i})}$ ${\displaystyle A_{N}(y,p)\equiv \Delta }$

直感的に、市場参加者は需要と供給のバランスをとる方法で価格を選択します。需要より供給が多い商品の場合、右側の項は負なので、市場参加者は低い価格を選択します。供給より需要が多い商品の場合、項は正なので、市場参加者は高い価格を選択します。 ${\displaystyle U_{N}(y,p)}$

交換経済における以下の条件は、抽象経済が均衡条件を満たすことを保証するのに十分です。

• 各消費セットはコンパクトかつ凸型であり、その内部に賦与物が含まれています。${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}}$
• 各効用関数は連続かつ準凹面です。${\displaystyle V_{i}}$

さらに、抽象経済における 均衡が交換経済における競争的均衡に対応することを保証するためには、次の追加条件で十分です。${\displaystyle y}$

• あらゆるエージェント i について、は の局所的（制約のない）最大値ではない。例えば、すべてのエージェントが に満足していないと仮定すれば十分である。${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$

この定義は、各エージェントの総支出が最大でもその予算内であることを保証する。 また、この定義は、各エージェントの消費が、与えられた予算内で各エージェントの効用を最大化することを保証する。さらに、この定義は、総消費が総賦存量に等しいことを保証する。 ${\displaystyle A_{i}(y,p)=\{y_{i}\in Y_{i}|py_{i}\leq pw_{i}\}}$ ${\displaystyle U_{i}=V_{i}}$ ${\displaystyle U_{N}(y,p):=p\cdot (\sum y_{i}-\sum w_{i})}$

したがって、交換経済が上記の 3 つの条件を満たす場合、競争均衡が存在します。

証明では、が のみに依存すると仮定しましたが、この仮定は実際には必要ありません。効用が他のエージェントの消費（外部性）または価格に 依存する場合でも、証明は有効です。${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle y_{i}}$

選好対応を伴う抽象経済

一般的なケース

意味

シェーファーとゾンネンシャインの一般化モデル^[3]では、各エージェントについて次のことが言える。 ${\displaystyle i}$

• 選択セット- 上記の通り。${\displaystyle X_{i}}$
• 制約対応 - 上記の通り。${\displaystyle A_{i}:X\twoheadrightarrow X_{i}}$
• 選好対応 。これは、他のエージェントの選択の組み合わせごとに、エージェントが現在の選択よりも厳密にどの選択を好むかを表します。${\displaystyle P_{i}:X\twoheadrightarrow X_{i}}$

デブリューのモデルはこのモデルの特殊なケースであり、選好対応は効用関数に基づいて定義されます。しかし、一般化されたモデルでは、選好対応が効用関数で表現されることは要求されません。特に、推移的な関係に対応する必要はありません。 ${\displaystyle P_{i}(x):=\{z_{i}\in X_{i}:U_{i}(z_{i},x_{-i})>U_{i}(x_{i},x_{-i})\}}$

平衡

一般化された抽象経済における均衡とは、各主体に対して、、 となるような選択ベクトルである。ドブリューの均衡概念は、この均衡の特殊なケースである。 ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{N})=(x_{i},x_{-i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{i}\in A_{i}(x)}$ ${\displaystyle P_{i}(x)\cap A_{i}(x)=\emptyset }$

一般化された抽象経済において均衡が存在するには、以下の条件が十分である。^[3]

• (a) 各選択集合はコンパクトで、空でなく、凸である。${\displaystyle X_{i}}$
• (b') それぞれの動作対応は連続している。${\displaystyle A_{i}}$
• (b'') 値はすべての x に対して空でなく凸です。${\displaystyle A_{i}(x)}$
• (c') 各選好対応にはオープングラフがある（これは連続性条件の一種である）。${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle X\times X_{i}}$
• (c'') 各 に対して、 の凸包はを含みません(これは非反射性条件の一種です。エージェントは厳密には選択をそれ自体よりも優先しません)。${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle P_{i}(x)}$ ${\displaystyle x_{i}}$

交換経済の特殊ケース

意味

マス・コレルは交換経済の定義を次のように一般化した。^[8]すべての消費者iに対して、以下が存在する。

• 消費セット- 上記の通り。${\displaystyle Y_{i}}$
• 初期保有ベクトル- 上記の通り。${\displaystyle w_{i}\in \mathbb {R} _{+}^{l}}$
• 消費されるバンドルのみに依存する、 選好対応関係 によって同等に表現できる選好関係: 。選好関係は完全または推移的である必要はないことに注意してください。${\displaystyle \prec _{i}}$ ${\displaystyle P_{i}:Y_{i}\twoheadrightarrow Y_{i}}$ ${\displaystyle P_{i}(y_{i}):=\{z_{i}\in Y_{i}|z_{i}\succ _{i}y_{i}\}}$

平衡

このような交換経済における競争均衡は、価格ベクトルpと配分yによって次のように定義されます。

• すべての価格の合計は 1 です。
• すべての割り当ての合計は、最大でも基金の合計になります。${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}}$
• すべての i: について;${\displaystyle p\cdot y_{i}=p\cdot w_{i}}$
• すべてのバンドル z について、次の場合(つまり、エージェントが自分の取り分よりも z を厳密に優先する場合、エージェントは z を買う余裕がありません)。${\displaystyle z\succ _{i}y_{i}}$ ${\displaystyle p\cdot z>p\cdot y_{i}}$

抽象経済への還元

上に示したアロー＝デブリューの交換経済からデブリューの抽象経済への「マーケットメーカー」還元は、マス＝コレルの一般化交換経済からシェーファー＝ゾンネンシャインの一般化抽象経済へと還元することができる。この還元は、一般化交換経済において競争均衡が存在するためには、以下の条件が満たされる必要があることを意味する。

• それぞれは相対的に開いている（つまり、それぞれが開いたグラフを持っている）。${\displaystyle \prec _{i}}$ ${\displaystyle P_{i}}$
• 任意の束xに対して、その集合は凸であり、 x を含まない（＝非反射性）。マス＝コレルは、集合が空でない（＝非飽和）という条件を加えた。${\displaystyle P_{i}(x)}$ ${\displaystyle P_{i}(x)}$
• すべての i: に対して、何らかのバンドル x に対して (これは、初期賦存量が選択セットの内部にあることを意味します)。${\displaystyle w_{i}\gg x_{i}}$

悪い例

次の例は、オープン グラフ プロパティが保持されない場合、平衡が存在しなくなる可能性があることを示しています。

2つの財、例えばリンゴとバナナが存在する経済圏があります。2人のエージェントは同一の賦存量(1,1)を持ちます。彼らは辞書式順序に基づいて同一の選好を持ちます。リンゴと バナナのあらゆるベクトルに対して、集合、すなわち各エージェントは可能な限り多くのリンゴを欲しがり、さらに、それに従う限り可能な限り多くのバナナも欲しがります。 は完全かつ推移的な関係を表しますが、開グラフを持たないことに注意してください。 ${\displaystyle y_{i}=(a_{i},b_{i})}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle P_{i}(a_{i},b_{i}):=\{(a_{i}',b_{i}')|(a_{i}'>a_{i})~or~(a_{i}'=a_{i}~and~b_{i}'>b_{i})\}}$ ${\displaystyle P_{i}(a_{i},b_{i})}$

この経済には均衡が存在しない。矛盾するが、均衡が存在すると仮定しよう。すると、各エージェントの配分は辞書式順序で少なくとも(1,1)でなければならない。しかし、これは両エージェントの配分が正確に(1,1)でなければならないことを意味する。ここで2つのケースが考えられる。バナナの価格が0の場合、両エージェントはバンドル(1,2)を購入する余裕があり、これは彼らの配分よりも厳密に優れている。バナナの価格がp > 0（リンゴの価格を1に正規化）の場合、両エージェントはバンドル(1+ p , 0)を購入する余裕があり、これは彼らの配分よりも厳密に優れている。どちらの場合も、均衡価格にはなり得ない。

抽象経済における福祉定理

フォンとオタニ^{[9]は、マス＝コレルの一般化交換経済への}厚生定理の拡張を研究している。彼らは以下の仮定を立てている。

• 各消費集合は空でなく、凸型で、閉じており、下方に有界です。${\displaystyle Y_{i}}$
• 優先順位の対応は空ではありません: (これは非飽和条件です)。${\displaystyle P_{i}(y_{i})\neq \emptyset }$

競争均衡とは、次のような価格ベクトルと配分である。 ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$

• 実現可能性: すべての割り当ての合計は基金の合計と等しくなります(自由処分はありません);${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}}$
• 予算: すべての i について、;${\displaystyle p\cdot y_{i}\leq p\cdot w_{i}}$
• 選好: あらゆるiに対して、はiの予算集合である。言い換えれば、あらゆるバンドルに対して、ならばとなる（もしエージェントが自分の取り分よりも z を厳密に選好するならば、そのエージェントは z を買う余裕がない）。${\displaystyle P_{i}(y_{i})\cap B_{i}(p,w_{i})=\emptyset }$ ${\displaystyle B_{i}(p,w_{i})}$ ${\displaystyle z\in Y_{i}}$ ${\displaystyle z\succ _{i}y_{i}}$ ${\displaystyle p\cdot z>p\cdot y_{i}}$

補償均衡は同じ実現可能性条件と予算条件を持ちますが、選好条件の代わりに次の条件を満たします。

• 補償された選好: すべてのiおよびすべてのバンドルに対して、次の場合。${\displaystyle z\in Y_{i}}$ ${\displaystyle z\succ _{i}y_{i}}$ ${\displaystyle p\cdot z\geq p\cdot y_{i}}$

パレート最適配分とは、通常通り、パレート改善を伴わない配分です。配分のパレート改善とは、エージェントのサブセットにとって厳密により良い配分であり、他のすべてのエージェントにとっては同じ配分のままである、と定義されます。つまり、 ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {y'} }$ ${\displaystyle J}$

• ${\displaystyle \sum _{i\in J}y'_{i}=\sum _{i\in J}y_{i}.}$
• ${\displaystyle y'_{i}\in P_{i}(y_{i})}$ すべてのために。${\displaystyle i\in J}$

この定義は、パレート最適性の通常の定義よりも弱いことに注意してください (通常の定義では、他のエージェントのバンドルが同じままであることは要求されず、そのユーティリティが同じままであることのみが必要です)。

FonとOtaniは次の定理を証明します。

• あらゆる競争均衡はパレート最適である。^{[9] : 命題1}
• 選好に関する特定の条件下では、あらゆるパレート最適配分に対して、補償均衡となる価格ベクトルが存在する。^{[9] : 命題2,5,6}

参照

これらの均衡概念を、順序付けられた選好のない一般モデルにさらに一般化したものについては、Barabolla（1985）に示されています。^[10]

参考文献

1. Debreu, Gerard (1952-10-01). 「社会的均衡存在定理」. Proceedings of the National Academy of Sciences . 38 (10): 886– 893. Bibcode :1952PNAS...38..886D. doi : 10.1073/pnas.38.10.886 . ISSN  0027-8424. PMC 1063675.  PMID 16589195  .
2. アロー, ケネス・J.; デブリュー, ジェラード (1954). 「競争経済における均衡の存在」.エコノメトリカ. 22 (3): 265– 290. doi :10.2307/1907353. JSTOR  1907353.
3. Shafer, Wayne; Sonnenschein, Hugo (1975-12-01). 「順序付き選好のない抽象経済における均衡」(PDF) . Journal of Mathematical Economics . 2 (3): 345– 348. doi :10.1016/0304-4068(75)90002-6. hdl : 10419/220454 . ISSN  0304-4068.
4. "iddaa Bahis Siteleri 2023" (PDF) . arxived.org . 2023年3月28日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2025年11月13日閲覧。
5. Glicksberg, IL (1952-02-01). 「角谷不動点定理のさらなる一般化とナッシュ均衡点への応用」アメリカ数学会誌. 3 (1): 170– 174. doi :10.2307/2032478. ISSN  0002-9939. JSTOR  2032478.
6. Fan, K. (1952-02-01). 「局所凸位相線形空間における不動点定理とミニマックス定理」. Proceedings of the National Academy of Sciences . 38 (2): 121– 126. Bibcode :1952PNAS...38..121F. doi : 10.1073/pnas.38.2.121 . ISSN  0027-8424. PMC 1063516. PMID 16589065  . 
7. Dasgupta, Partha; Maskin, Eric (1986-01-01). 「不連続経済ゲームにおける均衡の存在、I：理論」. The Review of Economic Studies . 53 (1): 1– 26. doi :10.2307/2297588. ISSN  0034-6527. JSTOR  2297588.
8. マス・コレル, アンドリュー (1974年12月1日). 「完全選好または推移的選好のない均衡存在定理」.数理経済学ジャーナル. 1 (3): 237– 246. doi :10.1016/0304-4068(74)90015-9. ISSN  0304-4068.
9. Vincy FonとYoshihiko Otani (1979-06-01). 「非推移的かつ非完全な選好を持つ古典的福祉定理」. Journal of Economic Theory . 20 (3): 409– 418. doi :10.1016/0022-0531(79)90044-9. ISSN  0022-0531.
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