アルフレッド・タウバー
ハンガリーの数学者（1866–1942）
アルフレッド・タウバー
生まれる（1866年11月5日）1866年11月5日
プレスブルク、ハンガリー王国、オーストリア帝国(今日のブラチスラヴァ、スロバキア)
死亡1942年7月26日（1942年7月26日）（75歳）[1]
テレージエンシュタット強制収容所、チェコスロバキア
母校ウィーン大学
知られているアーベル定理とタウバー定理
科学者としてのキャリア
フィールド数学
機関TU Wien
ウィーン大学
論文
  • 理論理論の超越 (1889)
  • 想像と想像の世界 (1891)
博士課程の指導教員

アルフレート・タウバー（1866年11月5日 - 1942年7月26日）[1]は数学者であり、数学解析学と複素関数の理論への貢献で知られている。彼は、数学解析学や調和解析学から数論に至るまで幅広い応用を持つ重要な定理の名付け親である。[2]彼はオーストリア＝ハンガリー帝国で生まれ、帝国の解体後、オーストリアのウィーンに住み、 1942年にテレージエンシュタット強制収容所からユダヤ人が一掃された際に、ユダヤ人であるという理由で移送され、殺害された。[3]

生涯と学歴

オーストリア帝国ハンガリー王国プレスブルク（現在のスロバキア、ブラティスラヴァ）に生まれ、1884年にウィーン大学で数学を学び始め、1889年に博士号を取得[4] [5]、 1891年に士官候補生資格を取得した。1892年からはフェニックス保険会社の主任数学者として働き、1908年にウィーン大学の教授となった。1901年からはウィーン工科大学の名誉教授で、保険数学講座の責任者でもあった[6] 。1933年にオーストリア共和国への貢献により銀大栄誉勲章を受章し[ 6] 、名誉教授として退職した。しかし、 1938年[4] [7]、 「アンシュルス」により辞任を余儀なくされるまで、私講師として講義を続けていた。[8] 1942年6月28日から29日にかけて、彼はIV/2号移送部隊621番でテレージエンシュタットに移送され、[4] [6] [9] 1942年7月26日に殺害された。[1]

仕事

Pinl & Dick (1974, p. 202) は、彼の死亡記事に付された参考文献に35の出版物を挙げており、また「Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik」データベースで検索すると、1891年から1940年までの期間にわたる彼が執筆した35の数学作品がリストアップされている。[10]しかし、Hlawka (2007) は、これらの2つの参考文献リストには載っていない保険数理に関する2つの論文を引用している。また、Binder の Tauber の著作目録 (1984, pp. 163–166) は、Pinl & Dick (1974, p. 202) の参考文献と Hlawka が引用した2つの文献を含めて71の項目を挙げているが、短い注釈 (Tauber 1895) は含まれていないため、彼の著作の正確な数は不明である。は不明である。Hlawka (2007) によると、彼の科学的研究は3つの分野に分けられる: 1つ目は複素変数の関数の理論とポテンシャル理論に関する研究、2つ目は線型微分方程式とガンマ関数に関する研究、3つ目は保険数理科学への貢献である。[4] Pinl & Dick (1974, p. 202) はタウバーが取り組んだ研究テーマのより詳細なリストを示しているが、それは数学的解析と幾何学的テーマに限定されており、その一部には無限級数、フーリエ級数、球面調和関数、四元数論、解析幾何学と記述幾何学がある。[11]タウバーの最も重要な科学的貢献は最初の研究分野に属しているが[12] 、ポテンシャル理論に関する彼の研究はアレクサンドル・リャプノフの研究の影に隠れてしまっている。[4]

タウバー定理

彼の最も重要な論文は（タウバー 1897）である。[4]この論文で、彼は初めてアーベルの定理の逆定理を証明することに成功した。 [13]この結果は数多くの研究の出発点となり、[4]様々な総和可能性法に対する同様の定理の証明と応用につながった。これらの定理の記述は標準的な構造を持つ。すなわち、級数∑  a nが与えられた総和可能性法に従って総和可能であり、「タウバー条件」と呼ばれる追加条件を満たす場合、[14]それは収束級数である。[15] 1913年以降、GHハーディとJEリトルウッドは、この種の定理を識別するために「タウバー的」という用語を使用した。 [16]タウバーの1897年の研究をもう少し詳しく説明すると、彼の主要な業績は次の2つの定理であると言える。[17] [18]

タウバーの第一定理。[19]級数∑  a nが和sにアーベル和和可能である場合、すなわちlim x → 1 − ∑  +∞
n =0 a n x  n  = sであり、さらにa n  =  ο ( n −1 )であれば、 ∑  a k はsに収束します。

この定理は、Korevaar (2004, p. 10)によれば、[20]すべてのタウバー理論の先駆けである。条件a n  =  ο ( n −1 )は最初のタウバー条件であり、後に多くの重要な一般化が行われた。[21]論文の残りの部分で、タウバーは上記の定理を用いて、[22]以下のより一般的な結果を証明した。[23]

タウバーの第二定理。[24]級数∑an が和sに収束するためには、次の2つの条件を満たす必要がある。
  1. ∑  a nはアーベル加算可能であり、
  2. ∑n
    k =1         ka k  =  ο ( n )    。

この結果はタウバーの第一定理から得られる自明な帰結ではない。[25]この結果が第一定理に比べてより一般性が高いのは、一方では通常の収束と、他方ではアーベル総和可能性（条件1）とタウバー条件（条件2）との完全な同値性を証明するからである。チャタジー（1984、pp. 169–170）は、後者の結果は級数の収束の必要十分条件を述べているのに対し、前者は収束への単なる足がかりに過ぎなかったため、タウバーにとっては後者の結果の方が前者よりもはるかに完全で満足のいくものに見えたに違いないと主張している。タウバーの第二定理があまり言及されない唯一の理由は、第一定理ほど深い一般化が見られないためと思われる。[26]級数の総和可能性に関するあらゆる詳細な展開において、第二定理は正当な位置を占めている。[24] [26]

ヒルベルト変換理論への貢献

フレデリック・W・キング（2009, p. 3）は、タウバーが現在「ヒルベルト変換」と呼ばれている理論に早い段階で貢献し、その貢献によってヒルベルトとハーディの業績を先取りし、この変換が彼らの3つの名前を冠することになったと述べている。[27]正確には、タウバー（1891）は冪級数fの実部 φと虚部 ψを考察している。 [ 28] [29]

f （ z ） ＝ ∑ け ＝ 1 + ∞ c け z け ＝ φ （ θ ） + 私 ψ （ θ ） {\displaystyle f(z)=\sum _{k=1}^{+\infty }c_{k}z^{k}=\varphi (\theta )+\mathrm {i} \psi (\theta )}

どこ

  • z = re  i θ で、 r  = | z |は与えられた  複素変数の絶対値、
  • c k r  k  =  a k  + i b k任意の自然数 kに対して、 [30]
  • φ ( θ ) =  ∑+∞
    k =1         a k cos( kθ ) −  b k sin( kθ )    およびψ ( θ ) =  ∑+∞
    k =1         a k sin( kθ ) +  b k cos( kθ )は    三角級数であり、与えられたべき級数の実部と虚部を表す周期関数です。

rがべき級数fの収束半径R fより小さいという仮定の下で、タウバーはφとψ が次の 2 つの式を満たすことを証明しています。

（1）      φ （ θ ） ＝ 1 2 π ∫ 0 π { ψ （ θ + ϕ ） − ψ （ θ − ϕ ） } ベビーベッド ⁡ （ ϕ 2 ） d ϕ {\displaystyle \varphi (\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\left\{\psi (\theta +\phi )-\psi (\theta -\phi )\right\}\cot \left({\frac {\phi }{2}}\right)\,\mathrm {d} \phi }
（2）      ψ （ θ ） ＝ − 1 2 π ∫ 0 π { φ （ θ + ϕ ） − φ （ θ − ϕ ） } ベビーベッド ⁡ （ ϕ 2 ） d ϕ {\displaystyle \psi (\theta )=-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\left\{\varphi (\theta +\phi )-\varphi (\theta -\phi )\right\}\cot \left({\frac {\phi }{2}}\right)\mathrm {d} \phi }

r = R fと仮定すると、 φとψが絶対積分可能な場合にのみ上記の式が成立することを証明することができる。[31]この結果は円周上のヒルベルト変換を定義することと等価である。なぜなら、関係する関数の周期性を利用したいくつかの計算の後、 (1)と(2)が次のヒルベルト変換のペアと等価であることが証明できるからである。 [32]

φ （ θ ） ＝ 1 2 π ∫ − π π ψ （ ϕ ） ベビーベッド ⁡ （ θ − ϕ 2 ） d ϕ ψ （ θ ） ＝ 1 2 π ∫ − π π φ （ ϕ ） ベビーベッド ⁡ （ θ − ϕ 2 ） d ϕ {\displaystyle \varphi (\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\psi (\phi )\cot \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)\mathrm {d} \phi \qquad \psi (\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\varphi (\phi )\cot \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)\mathrm {d} \phi }

最後に、タウバー自身が短い研究発表 (Tauber 1895) の中で (証明なしで) 示した (Tauber 1891) の結果の応用について指摘しておく価値があるだろう。

与えられた円上に定義された複素数値連続関数 φ ( θ ) + i ψ ( θ )が、その開円上に定義された正則関数の境界値であるためには、次の2つの条件が満たされなければならない。
  1. 関数[ φ ( θ − α ) −  φ ( θ + α )]/αは、点α  = 0の近傍すべてで一様に積分可能です。
  2. 関数ψ ( θ )は(2)を満たす。

選定された出版物

  • Tauber, Alfred (1891)、「Über den Zusammenhang des reellen und imaginären Theiles einer Potenzreihe」[べき級数の実数部と虚数部の関係について]、Monatshefte für Mathematik und Physik、II : 79–118、doi :10.1007/bf01691828、JFM  23.0251.01、S2CID  120241651。
  • Tauber, Alfred (1895)、「Ueber die Werte einer Analytischen Function längs einer Kreislinie」[円周に沿った解析関数の値について]、Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung、4 : 115、2015 年 7 月 1 日にオリジナルからアーカイブ、取得2014-07-16。
  • Tauber、Alfred (1897)、「Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen」[無限級数に関する定理]、Monatshefte für Mathematik und Physik、VIII : 273–277、doi :10.1007/BF01696278、JFM  28.0221.02、S2CID  120692627。
  • Tauber、Alfred (1898)、「Über einige Sätze der Potentialtheorie」[ポテンシャル理論のいくつかの定理]、Monatshefte für Mathematik und Physik、IX : 79–118、doi :10.1007/BF01707858、JFM  29.0654.02、S2CID  124400762。
  • Tauber, Alfred (1920)、「Über konvergente und asymptotische Darstellung des Integrallogarithmus」[対数積分関数の収束表現と漸近表現について]、Mathematische Zeitschrift、8 ( 1–2 ): 52–62、土居:10.1007/bf01212858、JFM  47.0329.01、S2CID  119967249。
  • タウバー、アルフレッド (1922)、「ケッテンブリュッヘの Über die Umwandlung von Potenzreihen」[べき級数の連分数への変換について]、Mathematische Zeitschrift、15 : 66–80、doi :10.1007/bf01494383、JFM  48.0236.01、S2CID  122501264。

参照

注記

  1. ^ abc 死亡日は（Sigmund 2004、p. 33）と、Wayback Machineで2018年9月18日にアーカイブされたタウバーのVIAF記録の678行目に記載されている。Sigmund（2004、pp. 31–33）はまた、タウバーの晩年の出来事、国外追放の日までの出来事についても説明している。
  2. ^ 2010年の数学分野分類には、タウバー定理に関する2つの項目があります。1つは「数論」領域に属する項目11M45で、もう1つは「数列、級数、加算可能性」領域に属する項目40E05です。
  3. ^ Alfred Tauber at geometry.net、2024年12月18日にアクセス。
  4. ^ abcdefg (Hlawka 2007).
  5. ^ Hlawka (2007)によると、彼は1888年に博士論文を執筆した。
  6. ^ abc (ピンル＆ディック 1974、202–203ページ)。
  7. ^ Sigmund (2004, p. 2) は、年金が少ないために保険数理数学の講座を続けざるを得なかったと述べている。
  8. ^ (Sigmund 2004、p.21およびp.28)。
  9. ^ （フィッシャー他1990、p.812、脚注14）。
  10. ^ Jahrbuchクエリの結果を参照してください： "au = (TAUBER, A*)"。
  11. ^ 著者の正確な言葉では、「Unendliche Reihen、Fouriersche Reihen、Kugelfunctionen、Quaternionen、...、Analitche und Darstellende Geometrie」(Pinl & Dick 1974、p. 202)。
  12. ^ Hlawkaの分類（2007）による。
  13. ^ 例えば、(Hardy 1949, p. 149)、(Hlawka 2007)、(Korevaar 2004, p. VII, p. 2およびp. 10)、(Lune 1986, p. 2, §1.1「タウバーの第一定理」)、(Sigmund 2004, p. 21)を参照。
  14. ^ 例えば(Hardy 1949, p. 149)および(Korevaar 2004, p. 6)を参照。
  15. ^ (Hardy 1949, p. 149)、(Hlawka 2007) および (Lune 1986, p. 2 §1.1「タウバーの第一定理」) を参照。
  16. ^ (Korevaar 2004、p. 2)および(Sigmund 2004、p. 21)を参照: Korevaarは、「タウバーの定理」という表現が最初に短いメモ(Hardy & Littlewood 1913)で使用されたと説明しています。
  17. ^ (Hardy 1949, p. 149とp. 150)、(Korevaar 2004, p. 10とp. 11)、(Lune 1986, p. 2, §1.1「タウバーの第一定理」とp. 4, §1.1「タウバーの第二定理」を参照。
  18. ^ 以下の説明ではLandau little–ο記法が使用されています。
  19. ^ 例えば、(Hardy 1949, p. 149)、(Korevaar 2004, p. 10)、(Lune 1986, p. 2, §1.1「タウバーの第一定理」)を参照。
  20. ^ (Lune 1986, p. 2, §1.1「タウバーの第一定理」)および(Hardy 1949, p. 149)も参照。Sigmund (2004, p. 21)は、この役割をタウバーの第二定理に帰属させているが、これは誤りである。Chatterji (1984, pp. 169–170 and p. 172)の分析も参照。
  21. ^ (Hardy 1949, p. 149)、Chatterji (1984, p. 169 and p. 172)および(Korevaar 2004, p. 6)を参照。
  22. ^ (Chatterji 1984, p. 169 定理 B)、(Lune 1986, p. 4, §1.2「タウバーの第2定理」)、および Korevaar (2004, p. 11) のコメントを参照: Hardy (1949, pp. 150–152) は、リーマン–スティルチェス積分を含むより一般的な定理を証明することによってこの定理を証明しています。
  23. ^ (Chatterji 1984、p. 169 定理 A)、(Korevaar 2004、p. 11)。
  24. ^ ab 例えば(Hardy 1949, p. 150)、(Korevaar 2004, p. 11)、(Lune 1986, p. 4, §1.2「タウバーの第2定理」)を参照。
  25. ^ Chatterji (1984, p. 172)によれば、Lune (1986, chapter 1, §§1.1–1.2, pp. 2–7)による2つの定理の証明も参照のこと。
  26. ^ ab これも Chatterji (1984, p. 172) による。
  27. ^ キングの言葉によれば (2009, p.3)、「後から考えれば、おそらくこの変身には前述の 3 人の著者の名前を付けるべきだった」。
  28. ^ ここで提示した分析は (King 2009, p. 131) に厳密に従っており、さらに (Tauber 1891, pp. 79–80) に従っています。
  29. ^ 短い研究発表も参照してください（Tauber 1895）。
  30. ^ King (2009, p. 131)が指摘しているように、このべき級数の k番目の複素係数の実部と虚部に関する非標準的な定義は、φとψのrへの関数依存性を隠す（「抑制する」）ために意図的に導入されています。
  31. ^ これはφ, ψ  ∈  L 1を意味します。
  32. ^ （キング2009、131頁）。

参考文献

伝記および一般的な参考文献

科学的参考文献

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