解析的数論
複素平面におけるリーマンゼータ関数ζ ( s ) 。点sの色はζ ( s )の値を符号化します。黒に近い色は値がゼロに近いことを示し、色相は値の偏角を符号化します。

数学において、解析的数論は整数に関する問題を解くために数学的解析の手法を用いる数論の一分野である。[ 1 ]解析的数論は、ピーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレが1837年にディリクレのL関数を導入し、等差数列に関するディリクレの定理を初めて証明したことに始まるとよく言われる。[ 1 ] [ 2 ]解析的数論は、素数(素数定理やリーマンゼータ関数を含む) や加法数論(ゴールドバッハ予想やウェアリングの問題など) に関する結果でよく知られている。

解析的数論の分野

解析的数論は、根本的な技術の違いよりも、解決しようとする問題の種類によって2つの主要な部分に分けられます。[ 3 ]

歴史

先駆者

解析的数論の多くは素数定理にヒントを得ています。π( x )を素数関数とし、任意の実数 x に対して x以下の素数の個数を求めるとします。例えば、π(10) = 4 となります。これは、10 以下の素数が 4 つ (2、3、5、7) 存在するためです。素数定理によれば、x / ln( x ) は π( x )の良い近似値となります。つまり、x が無限大に近づくにつれて、 2 つの関数 π( x ) とx / ln( x )の商の極限は 1 になります。

リム×→∞π（×）×/ln⁡（×）＝1、{\displaystyle \lim _{x\to \infty}{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1,}

素数分布の漸近法則として知られています。

アドリアン＝マリー・ルジャンドルは1797年か1798年に、π( a )は関数a /( Aln ( a )+  B )で近似されると予想した。ここでAとBは定数である。その後、数論に関する著書の第2版（1808年）で、A  = 1、B  ≈ −1.08366というより正確な予想を立てた。カール・フリードリヒ・ガウスも同じ問題について考察した。「Im Jahr 1792 oder 1793」（1792年か1793年）とあるが、彼自身の記憶によれば、約60年後、エンケに宛てた手紙（1849年）の中で、ガウスは対数表（当時15歳か16歳）に「Primzahlen unter 」（「素数は～以下」）という短い注釈を記している。しかし、ガウスはこの予想を公表することはなかった。 1838年、ピーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレは、独自の近似関数である対数積分li( x )を考案しました（ただし、彼はこれをガウスに伝えました）。ルジャンドルの公式とディリクレの公式はどちらも、π( x )とx  /ln( x )が上記で述べたように漸近的に同値であると推測されますが、商ではなく差を考慮すると、ディリクレの近似の方がはるかに優れていることが判明しました。 1つの（＝∞）1つのln⁡1つの{\displaystyle a(=\infty){\frac {a}{\ln a}}}1つの（＝∞）1つのln⁡1つの{\displaystyle a(=\infty){\frac {a}{\ln a}}}

ディリクレ

ヨハン・ペーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレは解析的数論の創始者とされている。[ 6 ]この分野で彼はいくつかの深い結果を見出し、それらを証明する際にいくつかの基本的なツールを導入し、その多くは後に彼の名にちなんで命名された。1837年に彼は等差数列に関するディリクレの定理を発表し、数学的解析の概念を用いて代数的問題に取り組み、こうして解析的数論の一分野を創設した。定理を証明する際に、彼はディリクレ指標とL関数を導入した。[ 6 ] [ 7 ] 1841年に彼は等差数列定理を整数からガウス整数環へと一般化した。[ 8 ]Z[私]{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}

チェビシェフ

1848年と1850年の2つの論文において、ロシアの数学者パフヌティ・リヴォヴィチ・チェビシェフは素数の分布の漸近法則を証明しようと試みた。彼の研究は、リーマンの1859年の有名な回顧録よりも古いゼータ関数ζ( s )（レオンハルト・オイラーの1737年という早い時期の研究と同様に、引数「s」の実数値について）の使用で有名であり、彼は漸近法則のやや弱い形、すなわち、 xが無限大に近づくにつれてπ( x )/( x /ln( x ))の極限が存在するならば、それは必ず1に等しいということを証明することに成功した。[ 9 ]彼は、この比が、すべてのxに対して1に近い2つの明示的に与えられた定数によって上下に有界であることを無条件に証明することができた。[ 10 ]チェビシェフの論文は素数定理を証明しなかったが、π( x )に対する彼の推定値は、 nと2nの間に任意の整数n≥2に対して素数が存在するというベルトランの公理を証明するのに十分強力であった 。

リーマン

" …es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den「 …すべてのルーツが本物である可能性は非常に高いです。もちろん、ここで厳密な証明を望む人もいるでしょう。いくつかのつかの間の無駄な試みの後、それは私の調査の次の目的には不可欠であると思われるため、当面はこれを脇に置きます。」

リーマンの1859年の論文におけるリーマン予想の記述。[ 11 ]（彼はゼータ関数の根が臨界直線上ではなく実数になるように修正されたバージョンについて議論していた。リーマンのXi関数を参照。）

ベルンハルト・リーマンは、現代解析的数論にいくつかの著名な貢献を残しました。数論に関する唯一の論文である短い論文の中で、彼はリーマンゼータ関数を研究し、素数の分布を理解する上でその重要性を確立しました。彼はゼータ関数の性質について一連の予想を立てており、その一つが有名なリーマン予想です。

アダマールとド・ラ・ヴァレ・プッサン

リーマンの考えを拡張し、ジャック・アダマールとシャルル・ジャン・ド・ラ・ヴァレー＝プーサンは、素数定理の2つの証明を独立に得て、同年（1896年）に発表した。どちらの証明も複素解析の手法を用いており、リーマンゼータ関数ζ( s )は、 s  = 1 +  it （ t  > 0 ）の形をとる変数sのすべての複素数値に対して非零であることが証明の主要なステップとして確立された。 [ 12 ]

現代

1950年以降における最大の技術的変化は、特に乗法問題におけるふるい法[ 13 ]の発展である。これらの問題は本質的に組合せ論的であり、非常に多様である。組合せ論理論の極限分野は、解析的数論における定量的な上限と下限への重視に大きく影響を受けてきた。もう一つの最近の発展は確率数論[ 14 ]であり、これは確率論の手法を用いて、ある数が素約数をいくつ持つかといった数論的関数の分布を推定する。

具体的には、 Yitang Zhang、James Maynard、Terence Tao、Ben Greenによる画期的な研究は、いずれもGoldston - Pintz - Yıldırım法を用いており、彼らはこの方法を用いて当初[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]

pn+1−pn≥o（ログ⁡pn）。{\displaystyle p_{n+1}-p_{n}\geq o(\log p_{n}).}

解析的数論の発展は、多くの場合、以前の手法の改良であり、誤差項を減らし、適用範囲を広げます。たとえば、ハーディとリトルウッドの円法は、複素平面上の単位円近くのべき級数に適用できると考えられていましたが、現在では有限指数和（つまり、単位円上ですが、べき級数が切り捨てられたもの）の観点から考えられています。ディオファントス近似が必要なのは、係数が鳩の巣原理を使用して構成される、生成関数ではない補助関数で、複数の複素変数を含む場合です。ディオファントス近似と超越理論の分野は拡大し、その手法はモーデル予想に適用されるようになりました。

問題と結果

解析的数論における定理と結果は、整数に関する正確な構造的結果とはなりにくく、代数的・幾何学的なツールがより適している。その代わりに、以下の例が示すように、様々な数論的関数の近似的な境界値と推定値を与える。

乗法数論

ユークリッドは素数が無限に存在することを示した。重要な問題は、素数の漸近分布、つまり与えられた数より小さい素数がどれくらい存在するかを大まかに記述することである。ガウスをはじめとする研究者たちは、膨大な数の素数を計算した後、大きな数N以下の素数の数は、積分値に近いと推測した。

∫2北1ログ⁡tdt。{\displaystyle \int _{2}^{N}{\frac {1}{\log t}}\,dt.}

1859年、ベルンハルト・リーマンは複素解析と、現在リーマンゼータ関数として知られる特殊な有理型関数を用いて、実数 x以下の素数の個数に関する解析的表現を導出した。注目すべきことに、リーマンの公式の主要項はまさに上記の積分であり、ガウス予想に大きな重みを与えた。リーマンは、この表現の誤差項、ひいては素数の分布様式が、ゼータ関数の複素零点と密接に関係していることを発見した。リーマンの考えを用い、ゼータ関数の零点に関するより多くの情報を得ることで、ジャック・アダマールとシャルル・ジャン・ド・ラ・ヴァレー＝プーサンはガウス予想の証明を完成さ せ た。特に、彼らは、 π（×）＝（素数の数 ≤×）、{\displaystyle \pi (x)=({\text{素数の個数}}\leq x),}リム×→∞π（×）×/ログ⁡×＝1.{\displaystyle \lim _{x\to \infty}{\frac {\pi (x)}{x/\log x}}=1.}

この注目すべき結果は、現在では素数定理として知られています。これは解析的整数論における中心的な結果です。大まかに言えば、大きな数Nが与えられたとき、 N以下の素数の数はおよそN /log( N ) であることを示しています。

より一般的には、任意の整数nに対する等差数列a + nqにおける素数の個数についても同じ問いが成り立ちます。解析的手法を数論に初めて応用した例の一つとして、ディリクレは、 aとq が互いに素である任意の等差数列には無限個の素数が含まれることを証明しました。素数定理はこの問題にも一般化でき、 aとqが互いに素である とき、 はトーシェント関数となります。[ 21 ]π（×、1つの、q）＝（素数の数 ≤× 等差数列において 1つの+nq、 n∈Z）、{\displaystyle \pi (x,a,q)=({\text{等差数列a+nqにおける素数の個数 }}\leq x{\text{,\ n\in \mathbf {Z} ),}リム×→∞π（×、1つの、q）ϕ（q）×/ログ⁡×＝1、{\displaystyle \lim _{x\to \infty}{\frac {\pi (x,a,q)\phi (q)}{x/\log x}}=1,}ϕ{\displaystyle \phi }

数論には、 p + 2 が素数となるような素数pが無限に存在するかどうかを問う双子素数予想など、現在の技術では証明が困難と思われる、深く広範囲にわたる予想も数多く存在します。エリオット＝ハルバースタム予想 を前提として、最大で 12 である正の偶数kに対してp  +  kが素数となるような素数p が無限に存在することが最近証明されました。また、最大で 246 である正の偶数kに対してp  +  kが素数となるような素数p が無限に存在することも無条件に（つまり、未証明の予想に依存せずに）証明されました。

加法数論

加法整数論における最も重要な問題の一つはウォーリングの問題である。これは、任意のk≥2に対して、任意の正の整数を有限個のk 乗の和として表すことが可能かどうかを問うものである。

n＝×1け+⋯+×ℓけ。{\displaystyle n=x_{1}^{k}+\cdots +x_{\ell}^{k}.}

k  = 2の平方の場合については、1770年にラグランジュによって解答が示され、すべての正の整数は最大でも4つの平方の和であることを証明した。一般の場合については、1909年にヒルベルトによって、明示的な境界を与えない代数的手法を用いて証明された。重要な突破口となったのは、ハーディとリトルウッドによる解析的手法の適用である。これらの手法は円周法として知られ、関数G ( k )の明示的な上限、すなわちヴィノグラドフの境界 のような、必要なk乗の最小値を与える。

G（け）≤け（3ログ⁡け+11）。{\displaystyle G(k)\leq k(3\log k+11).}

ディオファントス問題

ディオファントス問題は、多項式方程式の整数解に関係しています。つまり、解の分布を調べること、つまり、何らかの「サイズ」または高さの尺度に従って解を数えることが必要になります。

重要な例としては、ガウス円問題があります。これは、以下の条件を満たす整数点（ x  y） を求めます。

×2+y2≤r2。{\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq r^{2}.}

幾何学的に言えば、平面上で原点を中心とし半径rの円が与えられたとき、円上または円内に整数格子点がいくつ存在するかという問題です。答えが であることを証明するのは難しいことではありません。ただしです。ここでも難しい部分であり、解析的数論の大きな成果は、誤差項E ( r )の特定の上限を得ることです 。 πr2+E（r）{\displaystyle \pi r^{2}+E(r)}E（r）/r2→0{\displaystyle E(r)/r^{2}\to 0}r→∞{\displaystyle r\to \infty }

ガウスは であることを示した。一般に、単位円（または、より正確には単位閉円板）を区分的に滑らかな境界を持つ任意の有界平面領域の拡大で置き換えれば、 O ( r ) の誤差項が可能になる。さらに、単位円を単位正方形に置き換えると、一般問題の誤差項は rの線形関数と同じくらい大きくなる可能性がある。したがって、円の場合に に対する形式の誤差境界を得ることは、大幅な改善である。これを最初に達成したのは 1906 年のシェルピンスキで、 を示した。1915 年、ハーディとランダウはそれぞれ が成り立たないことを示した。それ以来、目標は、 を固定したそれぞれに対して となる実数が存在することを示すこととなった。 E（r）＝お（r）{\displaystyle E(r)=O(r)}お（rδ）{\displaystyle O(r^{\delta })}δ<1{\displaystyle \delta <1}E（r）＝お（r2/3）{\displaystyle E(r)=O(r^{2/3})}E（r）＝お（r1/2）{\displaystyle E(r)=O(r^{1/2})}ϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}C（ϵ）{\displaystyle C(\epsilon )}E（r）≤C（ϵ）r1/2+ϵ{\displaystyle E(r)\leq C(\epsilon )r^{1/2+\epsilon }}

2000年にハクスリーは[ 22 ]を示し、これはこれまで発表された中で最も優れた結果である。 E（r）＝お（r131/208）{\displaystyle E(r)=O(r^{131/208})}

解析的数論の方法

ディリクレ級数

乗法数論で最も有用なツールの1つは、ディリクレ級数である。これは、次の形式の無限級数によって定義される複素変数の関数である。

f（s）＝∑n＝1∞1つのnn−s。{\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}.}

係数の選択次第で、この級数はどこでも収束するか、どこにも収束しないか、あるいは半平面上で収束する。多くの場合、級数がどこでも収束しない場合でも、それが定義する正則関数は複素平面全体にわたる有理型関数へと解析接続できる。このような関数の乗法問題における有用性は、形式的な恒等式に見られる。 1つのn{\displaystyle a_{n}}

（∑n＝1∞1つのnn−s）（∑n＝1∞bnn−s）＝∑n＝1∞（∑けℓ＝n1つのけbℓ）n−s;{\displaystyle \left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}n^{-s}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{k\ell =n}a_{k}b_{\ell }\right)n^{-s};}

したがって、2つのディリクレ級数の積の係数は、元の係数の乗法畳み込みである。さらに、部分和やタウバー定理といった手法を用いて、ディリクレ級数の解析情報から係数に関する情報を得ることができる。したがって、乗法関数を推定する一般的な方法は、それをディリクレ級数（または畳み込み恒等式を用いたより単純なディリクレ級数の積）として表し、この級数を複素関数として調べ、この解析情報を元の関数に関する情報に変換することである。

リーマンゼータ関数

オイラーは、算術の基本定理が（少なくとも形式的には）オイラー積を示唆することを示した。

∑n＝1∞1ns＝∏p∞11−p−s のために s>1{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-s}}}{\text{ }}s>1 の場合}

ここで、積はすべての素数pに対して取られます。

オイラーによる素数の無限大の証明は、s = 1における左辺の項の発散（いわゆる調和級数）を利用しており、これは純粋に解析的な結果である。オイラーはまた、整数の性質を研究するために解析的な議論を用いた最初の人物でもあり、具体的には生成冪級数を構成することによってその成果を示した。これが解析的数論の始まりであった。[ 20 ]

後にリーマンは、この関数を複素数sに対して考察し、この関数がs = 1に単極を持つ平面全体にわたる有理型関数に拡張できることを示した。この関数は現在リーマンゼータ関数として知られ、 ζ ( s ) と表記される。この関数に関する文献は数多く存在し、この関数はより一般的なディリクレL関数の特殊なケースである。

解析的数論者は、素数定理などの近似の誤差にしばしば関心を持ちます。この場合、誤差はx /log  xよりも小さくなります。リーマンの π( x )の公式は、この近似の誤差項がゼータ関数の零点を用いて表現できることを示しています。1859年の論文で、リーマンは ζ のすべての「非自明な」零点が直線上にあると予想しましたが、この主張の証明は示しませんでした。この有名で長年信じられてきた予想はリーマン予想として知られ、数論において多くの深い意味を持っています。実際、多くの重要な定理は、この予想が正しいという仮定の下で証明されています。例えば、リーマン予想の仮定の下では、素数定理の誤差項は です。ℜ（s）＝1/2{\displaystyle \Re (s)=1/2}お（×1/2+ε）{\displaystyle O(x^{1/2+\varepsilon })}

20世紀初頭、GHハーディとリトルウッドはリーマン予想を証明しようと、ゼータ関数に関する多くの結果を証明した。実際、1914年にハーディは臨界直線上にゼータ関数の零点が無限に存在することを証明した。

ℜ（z）＝1/2.{\displaystyle \Re (z)=1/2.}

これにより、臨界線上の零点の密度を記述するいくつかの定理が生まれました。

参照

注記

  1. ^ a bアポストル 1976、7ページ。
  2. ^ダベンポート 2000、1ページ。
  3. ^ Hildebrand, AJ (2005). 「解析的数論入門 数学531 講義ノート、2005年秋」(PDF) .
  4. ^ダベンポート、ハロルド(2013).乗法数論. 大学院数学テキスト 第74巻. シュプリンガー出版社. p. 1. doi : 10.1007/978-1-4757-5927-3 . ISBN 978-1-4757-5929-7。
  5. ^ナサソン、メルビン B. (2013).加法整数論、古典的な基底。スプリンガー・フェルラーク。 p. vii–viii。ISBN 978-0-387-94656-6。
  6. ^ a bティモシー・ガワーズ、ジューン・バロー＝グリーン、イムレ・リーダー（2008年）。プリンストン数学コンパニオン。プリンストン大学出版局。764-765頁 。ISBN 978-0-691-11880-2。
  7. ^金光 茂; 賈 超華 (2002).数論的手法：将来の動向. シュプリンガー. pp.  271– 274. ISBN 978-1-4020-1080-4。
  8. ^ Elstrodt, Jürgen (2007). 「グスタフ・ルジューン・ディリクレ（1805–1859）の生涯と業績」（PDF） . Clay Mathematics Proceedings . 2008年3月7日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2007年12月25日閲覧。
  9. ^ N. Costa Pereira (1985年8月～9月). 「チェビシェフの定理の簡潔な証明」. American Mathematical Monthly . 92 (7): 494– 495. doi : 10.2307/2322510 . JSTOR 2322510 . 
  10. ^ M. Nair (1982年2月). 「素数に対するチェビシェフ型不等式について」. American Mathematical Monthly . 89 (2): 126–129 . doi : 10.2307/2320934 . JSTOR 2320934 . 
  11. ^リーマン、ベルンハルト(1859)、「Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse」、Monatsberichte der Berliner Akademie. Gesammelte Werke , Teubner, Leipzig (1892) より転載。Dover, New York (1953) より転載。原稿は 2013年5月23日アーカイブ、 Wayback Machineにて英訳付き。( Borwein et al. 2008 ) および ( Edwards 1974 )に転載。
  12. ^インガム, AE (1990). 『素数の分布』 ケンブリッジ大学出版局. pp.  2– 5. ISBN 0-521-39789-8。
  13. ^テネンバウム 1995、56ページ。
  14. ^テネンバウム 1995、267ページ。
  15. ^ Green, Ben (2014-02-22). 「素数間の境界付きギャップ」. arXiv : 1402.4849 [ math.NT ].
  16. ^メイナード、ジェームズ (2019). 「制限された桁数を持つ素数」. Inventiones Mathematicae . 217 (1): 127– 218. arXiv : 1604.01041 . Bibcode : 2019InMat.217..127M . doi : 10.1007/s00222-019-00865-6 .
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  18. ^ 「素数間の境界ギャップ - Polymath Wiki」 . asone.ai . 2020年12月8日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年7月14日閲覧。
  19. ^ Terence Tao - Large and Small Gaps in the Primes [2015]、2017年12月15日、2022年7月14日閲覧。
  20. ^ a bイワニエツ＆コワルスキー：解析的数論、AMSコロキウム出版第53巻、2004年
  21. ^ Weisstein, Eric W. 「トーティエント関数」 . mathworld.wolfram.com . 2025年2月9日閲覧。
  22. ^ MN Huxley、「整数点、指数和、リーマンゼータ関数」、千年紀の数論II（Urbana、IL、2000）pp.275–290、AK Peters、Natick、MA、2002、 MR 1956254。 

参考文献

さらに読む

  • アユーブ著『解析的数論入門』
  • HLモンゴメリとRCヴォーン『乗法数論I  ：古典理論』
  • H. Iwaniec と E. Kowalski、「解析的数論」。
  • DJニューマン『解析的数論』、シュプリンガー、1998年

専門的な面では、以下の書籍が特に有名になっています。

いくつかのトピックはまだ書籍として深く掘り下げられていません。例としては、(i)モンゴメリのペア相関予想とそこから派生した研究、(ii) ゴールドストン、ピンツ、イリドリムによる素数間の微小ギャップに関する新たな結果、(iii)任意の長さの等差数列が存在することを示すグリーン・タオ定理などが挙げられます。

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