アペルシーケンス
多項式列の種類

数学 において、アペル列は、ポール・エミール・アペルにちなんで名付けられ、次の恒等式を満たす任意 の多項式列である。 { p n （ × ） } n ＝ 0 、 1 、 2 、 … {\displaystyle \{p_{n}(x)\}_{n=0,1,2,\ldots}}

d d × p n （ × ） ＝ n p n − 1 （ × ） 、 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x),}

ここで、はゼロ以外の定数です。 p 0 （ × ） {\displaystyle p_{0}(x)}

自明な例を除けば、最も有名なアペル列には、エルミート多項式、ベルヌーイ多項式、オイラー多項式などがある。すべてのアペル列はシェファー列であるが、ほとんどのシェファー列はアペル列ではない。アペル列はモーメント系として確率的に解釈できる。 { × n } {\displaystyle \{x^{n}\}}

アペルシーケンスの同等の特徴

多項式列に関する次の条件は、簡単に同等であることが分かります。

  • のために、 n ＝ 1 、 2 、 3 、 … {\displaystyle n=1,2,3,\ldots }
d d × p n （ × ） ＝ n p n − 1 （ × ） {\displaystyle {\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x)}
ゼロ以外の定数です。 p 0 （ × ） {\displaystyle p_{0}(x)}
  • のスカラー列に対して、 { c n } n ＝ 0 ∞ {\textstyle \{c_{n}\}_{n=0}^{\infty }} c 0 ≠ 0 {\displaystyle c_{0}\neq 0}
p n （ × ） ＝ ∑ け ＝ 0 n （ n け ） c け × n − け ; {\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}c_{k}x^{nk};}
  • 同じスカラー列に対して、
p n （ × ） ＝ （ ∑ け ＝ 0 ∞ c け け ! D け ） × n 、 {\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty}{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x^{n},}
どこ
D ＝ d d × ; {\displaystyle D={\frac {d}{dx}};}
  • のために、 n ＝ 0 、 1 、 2 、 … {\displaystyle n=0,1,2,\ldots }
p n （ × + y ） ＝ ∑ け ＝ 0 n （ n け ） p け （ × ） y n − け 。 {\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)y^{nk}.}

再帰式

仮定する

p n （ × ） ＝ （ ∑ け ＝ 0 ∞ c け け ! D け ） × n ＝ S × n 、 {\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty}{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n}=Sx^{n},}

ここで最後の等式は、の多項式空間上の線型作用素を定義する。 S {\displaystyle S} × {\displaystyle x}

T ＝ S − 1 ＝ （ ∑ け ＝ 0 ∞ c け け ! D け ） − 1 ＝ ∑ け ＝ 1 ∞ 1つの け け ! D け {\displaystyle T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty}{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}}

は逆演算子であり、係数は形式的な冪級数の通常の逆数の係数であるので、 1つの け {\displaystyle a_{k}}

T p n （ × ） ＝ × n 。 {\displaystyle Tp_{n}(x)=x^{n}.\,}

アンブラル計算の慣習では、この形式的な冪級数は アペル列を表すものとして扱われることが多い。次のように定義できる。 T {\displaystyle T} p n {\displaystyle p_{n}}

ログ ⁡ T ＝ ログ ⁡ （ ∑ け ＝ 0 ∞ 1つの け け ! D け ） {\displaystyle \log T=\log \left(\sum _{k=0}^{\infty}{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}\right)}

の通常の冪級数展開と形式冪級数の合成の通常の定義を用いると、 ログ ⁡ （ × ） {\displaystyle \log(x)}

p n + 1 （ × ） ＝ （ × − （ ログ ⁡ T ） ′ ） p n （ × ） 。 {\displaystyle p_{n+1}(x)=(x-(\log T)')p_{n}(x).\,}

(この微分演算子におけるべき級数の形式的な微分は、ピンチャール微分の一例です。) D {\displaystyle D}

エルミート多項式の場合、これはそのシーケンスの従来の再帰式に簡約されます。

シェファー多項式の部分群

すべてのアペル列の集合は、以下のように定義される多項式列の暗黒合成の作用の下で閉じている。 とが次式で表される多項式列であるとする。 { p n （ × ） : n ＝ 0 、 1 、 2 、 … } {\displaystyle \{p_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \}} { q n （ × ） : n ＝ 0 、 1 、 2 、 … } {\displaystyle \{q_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \}}

p n （ × ） ＝ ∑ け ＝ 0 n 1つの n 、 け × け  そして  q n （ × ） ＝ ∑ け ＝ 0 n b n 、 け × け 。 {\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}{\text{ および }}q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.}

すると、アンブラル合成は、次の項が p ∘ q {\displaystyle p\circ q} n {\displaystyle n}

（ p n ∘ q ） （ × ） ＝ ∑ け ＝ 0 n 1つの n 、 け q け （ × ） ＝ ∑ 0 ≤ ℓ ≤ け ≤ n 1つの n 、 け b け 、 ℓ × ℓ {\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }}

(下付き文字はに表示されます。これはそのシーケンスの 番目の項であるためです。ただし、 には表示されません。これは、項の 1 つではなく、シーケンス全体を参照するためです)。 n {\displaystyle n} p n {\displaystyle p_{n}} n {\displaystyle n} q {\displaystyle q}

この操作の下では、シェファー列全体の集合は非アーベル群であるが、アペル列全体の集合はアーベル 部分群である。それがアーベルであることは、すべてのアペル列が次の形式であるという事実を考えればわかる。

p n （ × ） ＝ （ ∑ け ＝ 0 ∞ c け け ! D け ） × n 、 {\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty}{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x^{n},}

そして、アペル数列の暗黒合成は、演算子におけるこれらの形式的冪級数の乗算に対応する。 D {\displaystyle D}

異なる慣習

一部の著者が従う別の慣例（千原を参照）では、この概念を別の方法で定義しており、アペルの元の定義とは矛盾している。

d d x p n ( x ) = p n − 1 ( x ) {\displaystyle {d \over dx}p_{n}(x)=p_{n-1}(x)}

その代わり。

超幾何アペル多項式

Appell 多項式の膨大なクラスは、一般化された超幾何関数によって得ることができます。

比 の配列を表すものとする Δ ( k , − n ) {\displaystyle \Delta (k,-n)} k {\displaystyle k}

− n k , − n − 1 k , … , − n − k + 1 k , n ∈ N 0 , k ∈ N . {\displaystyle -{\frac {n}{k}},-{\frac {n-1}{k}},\ldots ,-{\frac {n-k+1}{k}},\quad n\in {\mathbb {N} }_{0},k\in \mathbb {N} .}

次の多項式を考えてみましょう A n , p , q ( k ) ( a , b ; m , x ) = x n k + p F q ( a 1 , a 2 , … , a p , Δ ( k , − n ) ; b 1 , b 2 , … , b q ; m x k ) , n , m ∈ N 0 , k ∈ N {\displaystyle A_{n,p,q}^{(k)}(a,b;m,x)=x^{n}{}_{k+p}F_{q}\left({a_{1}},{a_{2}},\ldots ,{a_{p}},\Delta (k,-n);{b_{1}},{b_{2}},\ldots ,{b_{q}};{\frac {m}{x^{k}}}\right),\quad n,m\in \mathbb {N} _{0},k\in \mathbb {N} }

ここで、一般化超幾何関数です。 k + p F q {\displaystyle {}_{k+p}F_{q}}

定理。 多項式族は任意の自然パラメータに対するアペル列である。 { A n , p , q ( k ) ( a , b ; m , x ) } {\displaystyle \{A_{n,p,q}^{(k)}(a,b;m,x)\}} a , b , p , q , m , k {\displaystyle a,b,p,q,m,k}

たとえば、の場合、多項式はグールド・ホッパー多項式 になり、 の場合、多項式はエルミート多項式 になります。 p = 0 , q = 0 , {\displaystyle p=0,q=0,} k = m , {\displaystyle k=m,} m = ( − 1 ) k h k k {\displaystyle m=(-1)^{k}h{k^{k}}} A n , p , q ( k ) ( m , x ) {\displaystyle A_{n,p,q}^{(k)}(m,x)} g n m ( x , h ) {\displaystyle g_{n}^{m}(x,h)} p = 0 , q = 0 , m = − 2 , k = 2 {\displaystyle p=0,q=0,m=-2,k=2} H n ( x ) {\displaystyle H_{n}(x)}

参照

参考文献

  • ポール、アペル (1880)。 「多能性のクラス」。高等師範科学誌。 2eシリーズ。9 : 119–144。土井:10.24033/asens.186。
  • ローマン、スティーブン；ロータ、ジャン＝カルロ (1978). 「アンブラル計算」.数学の進歩. 27 (2): 95–188 . doi : 10.1016/0001-8708(78)90087-7 .。
  • Rota, Gian-Carlo; Kahaner, D.; Odlyzko, Andrew (1973). 「有限作用素計算」. Journal of Mathematical Analysis and Applications . 42 (3): 685– 760. doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 . 同じタイトルの本（Academic Press、ニューヨーク、1975年）に再版されました。
  • スティーブン・ローマン著『アンブラル計算』ドーバー出版
  • セオドア・セイオ・チハラ (1978). 『直交多項式入門』 ゴードン・アンド・ブリーチ社, ニューヨーク. ISBN 978-0-677-04150-6。
  • Bedratyuk, L.; Luno, N. (2020). 「一般化超幾何Appell多項式のいくつかの性質」. Carpathian Math. Publ . 12 (1): 129– 137. arXiv : 2005.01676 . doi :10.15330/cmp.12.1.129-137.
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