近似極限

数学の概念

数学において、近似極限とは、複数の実変数の実数値関数に対する通常の極限の一般化です

関数fが点xでおおよその極限yを持つ場合、その点において密度1を持つ集合Fが存在し、 x _nがF内のxに向かって収束するシーケンスであれば、f ( x _n )はyに向かって収束します。 $\mathbb {R} ^{k}$

性質

関数の近似極限は、もし存在するならば、唯一である。fがxにおいて通常の極限を持つ場合、同じ値の近似極限も持つ

x ₀におけるfのおおよその極限を次のように表す。 $\lim_{x\rightarrow x_{0}}\operatorname{ap}\f(x).$

通常の極限の特性の多くは近似極限にも当てはまります。

特に、aがスカラーで、fとg が関数である場合、右側の値が明確に定義されている場合（つまり、おおよその限界が存在し、最後の式でgのおおよその限界がゼロ以外である場合）、次の式は真となります。

{\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ a\cdot f(x)&=a\cdot \lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ f(x)\\\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ (f(x)+g(x))&=\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ f(x)+\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ g(x)\\\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ (f(x)-g(x))&=\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ f(x)-\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ g(x)\\\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ (f(x)\cdot g(x))&=\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ f(x)\cdot \lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ g(x)\\\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ (f(x)/g(x))&=\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ f(x)/\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ g(x)\end{aligned}}

もし

\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ f(x)=f(x_{0})

ならば、fはx ₀において近似的に連続していると言える。fが1つの実変数のみの関数であり、差分商が

{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}

h がゼロに近づくにつれて、 f はx ₀において近似的な極限を持つという。つまり、近似微分可能性は近似連続性を意味することがわかり、これは通常の連続性と微分可能性と完全に類似している。

また、和、差、積、商の微分に関する通常の規則は、近似微分にも直接的に一般化できることも判明しました。しかしながら、連鎖律を一般化して真とするものは存在しません。