弧の弾性

需要の弧弾力性を示すグラフ

数学と経済学において、弧弾性とは、ある変数が別の変数に対して持つ弾性のことです。これは、2点間の一方の変数のパーセンテージ変化と、もう一方の変数のパーセンテージ変化の比です。これは、2点間の距離が0に近づくにつれて弧弾性が限界に達する点弾性とは対照的であり、したがって、2点ではなく1点のみで定義されます。

式

xのy弧弾性は次のように定義されます。

${\displaystyle E_{x,y}={\frac {\%{\mbox{ }}x の変化}{\%{\mbox{ }}y の変化}}}$

ここで、ポイント 1 からポイント 2 へのパーセンテージの変化は、通常、中間点を基準として計算されます。

${\displaystyle \%{\mbox{ 変化 }}x={\frac {x_{2}-x_{1}}{(x_{2}+x_{1})/2}};}$

${\displaystyle \%{\mbox{ の変更点 }}y={\frac {y_{2}-y_{1}}{(y_{2}+y_{1})/2}}.}$

RGDアレンは、需要または供給された商品の数量をxで表し、その価格をyで表す場合に、中点弧弾性公式（他のほとんどの状況ではパーセンテージ計算に初期点（x 1 、y 1 ）が使用されますが、この中点を変化のベースとして使用）の使用を提唱しました。その_理由は、_次のとおりです。（1）2つの価格と数量に関して対称的であること、（2）測定単位に依存しないこと、（3）2つのポイントでの総収入（価格×数量）が等しい場合は1の値になること。^[1]

弧弾性は、2つの変数の関係を表す一般的な関数が存在しないが、関係上の2つの点が既知である場合に用いられます。一方、点弾性の計算には関数関係の詳細な知識が必要であり、関数が定義されている場所であればどこでも計算可能です。

比較のために、xのy点弾性は次のように与えられる。

${\displaystyle E_{x,y}={\frac {\partial x}{\partial y}}\cdot {\frac {y}{x}}={\frac {\partial \ln x}{\partial \ln y}}}$

経済学への応用

価格Pに対する需要量（または供給量）Qの弧弾性度は、需要（または供給）の弧価格弾性度とも呼ばれ、次のように計算されます^[2]。

${\displaystyle (\%{\mbox{ }}Qの変化)/(\%{\mbox{ }}Pの変化)}$

例

需要曲線上の2点、およびが既知であると仮定する。（需要曲線について他の情報は何も知られていないかもしれない。）すると、弧弾性は次の式で得られる。${\displaystyle (Q_{1},P_{1})}$ ${\displaystyle (Q_{2},P_{2})}$

${\displaystyle E_{p}={\frac {\frac {Q_{2}-Q_{1}}{(Q_{1}+Q_{2})/2}}{\frac {P_{2}-P_{1}}{(P_{1}+P_{2})/2}}}.}$

フットボールの試合のハーフタイムにおけるホットドッグの需要量を、異なる価格が設定されている2つの異なる試合で測定したとします。一方の測定では需要量が80個で、もう一方の測定では120個です。平均値に対する変化率は、(120-80)/((120+80)/2))=40%となります。もし測定を逆の順序（最初に120個、次に80個）で行った場合、変化率の 絶対値は同じになります。

一方、需要量の変化率を初期値と比較した場合、計算される変化率は(120-80)/80= 50%となります。観測値の逆順、つまり120単位から80単位への変化率の計算結果は、(80-120)/120 = -33.3%となります。中点法の利点は、AからBへの変化率をBからAへの変化率と絶対値で同等に測定できる点です。

ホットドッグの価格が3ドルから1ドルに変動し、需要量が80個から120個に変化したと仮定します。価格の変動率は中間点に対して(1-3)/2 = -100%となるため、需要の価格弾力性は40%/(-100%)、つまり-0.4となります。価格弾力性の絶対値は、通常、単に価格弾力性と呼ばれます。これは、通常の（減少する）需要曲線では弾力性は常に負の値となり、「マイナス」の部分は暗黙的に表せるためです。したがって、フットボールファンの弧状需要の価格弾力性は0.4となります。

参照

• 関数の弾力性
• 弾力性（経済学）

参考文献

1. Allen, RGD (1933). 「需要の弧弾力性の概念」Review of Economic Studies . 1 (3): 226– 229. doi :10.2307/2967486. JSTOR  2967486.
2. パーキン、マイケル、パウエル、メラニー、マシューズ、ケント (2014). 「弾力性」.経済学(第9版ヨーロッパ版). ハーロウ: ピアソン. p. 82. ISBN 978-1-292-00945-2。