算術関数

数論において、算術関数、算術関数、または数論的関数^{[1] [2]}は、一般に、定義域が正の整数の集合であり、値域が複素数の部分集合である関数です。^{[3] [4] [5]ハーディとライトは、算術関数が「} nの何らかの算術的性質を表現する」という要件を定義に含めています。 ^{[6]この定義に当てはまらない、より広いクラスの数論的関数、例えば}素数計算関数があります。この記事では、両方のクラスの関数へのリンクを提供します

算術関数の例としては、正の整数nにおける値がnの約数の個数に等しい除数関数があります。

算術関数はしばしば極めて不規則です（表を参照）が、ラマヌジャンの和に関する級数展開を持つものもあります。

乗法関数と加法関数

算術関数aは

• すべての自然数mとnに対してa ( mn )= a ( m )+ a ( n )場合、完全に加法的です。
• すべての自然数mとnに対してa (1)=1かつa ( mn )= a ( m ) a ( n )場合、完全に乗法的です。

2つの整数nは、最大公約数が1である場合、つまり両方を割り切る 素数が存在しない場合に互いに素であると呼ばれます。

すると、算術関数aは

• 互いに素なすべての自然数mとnに対して、 a ( mn ) = a ( m ) + a ( n ) であるとき、加法的です。
• 互いに素なすべての自然数 mとn に対して、 a (1) = 1 かつa ( mn ) = a ( m ) a ( n ) であるとき。

表記

In this article, ${\textstyle \sum _{p}f(p)}$ and ${\textstyle \prod _{p}f(p)}$ mean that the sum or product is over all prime numbers: $${\displaystyle \sum _{p}f(p)=f(2)+f(3)+f(5)+\cdots }$$ and $${\displaystyle \prod _{p}f(p)=f(2)f(3)f(5)\cdots .}$$ Similarly, ${\textstyle \sum _{p^{k}}f(p^{k})}$ and ${\textstyle \prod _{p^{k}}f(p^{k})}$ mean that the sum or product is over all prime powers with strictly positive exponent (so k = 0 is not included): $${\displaystyle \sum _{p^{k}}f(p^{k})=\sum _{p}\sum _{k>0}f(p^{k})=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+\cdots .}$$

The notations ${\textstyle \sum _{d\mid n}f(d)}$ and ${\textstyle \prod _{d\mid n}f(d)}$ mean that the sum or product is over all positive divisors of n, including 1 and n. For example, if n = 12, then $${\displaystyle \prod _{d\mid 12}f(d)=f(1)f(2)f(3)f(4)f(6)f(12).}$$

これらの表記は組み合わせることができます。およびは、和または積がnのすべての素因数にわたることを意味します。たとえば、n = 18 の場合、 となり 、同様におよび は、和または積がn を割り切るすべての素数累乗にわたることを意味します。たとえば、n = 24 の場合、${\textstyle \sum _{p\mid n}f(p)}$ ${\textstyle \prod _{p\mid n}f(p)}$ $${\displaystyle \sum _{p\mid 18}f(p)=f(2)+f(3),}$$ ${\textstyle \sum _{p^{k}\mid n}f(p^{k})}$ ${\textstyle \prod _{p^{k}\mid n}f(p^{k})}$ $${\displaystyle \prod _{p^{k}\mid 24}f(p^{k})=f(2)f(3)f(4)f(8).}$$

Ω(n),ω（n), ν_p(n) – 素数累乗分解

算術の基本定理は、任意の正の整数n は素数の累乗の積として一意に表すことができると述べています。ここで、 p ₁ < p ₂ < ... < p _kは素数であり、a _jは正の整数です。(1 は空積によって与えられます。) ${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}$

これをすべての素数の無限積として書くと便利な場合が多くあります。ただし、有限数を除くすべての素数は指数がゼロです。p進値νp(n)を、nを割り切る素数pの最大のべき乗の指数と定義します_。つまり、 pがpiのいずれかである場合、νp ( n ₎ = aiとなり、それ以外の場合は₀となります。すると、 $${\displaystyle n=\prod _{p}p^{\nu _{p}(n)}.}$$

上記の用語で、オメガ関数 ωとΩは次のように定義されます。

ω(n) = k,

Ω(n) = a₁ + a₂ + ... + a_k.

To avoid repetition, formulas for the functions listed in this article are, whenever possible, given in terms of n and the corresponding p_i, a_i, ω, and Ω.

Multiplicative functions

σ_k(n), τ(n), d(n) – divisor sums

σ_k(n) is the sum of the kth powers of the positive divisors of n, including 1 and n, where k is a complex number.

σ₁(n), the sum of the (positive) divisors of n, is usually denoted by σ(n).

正の数のゼロ乗は1なので、σ ₀ ( n )はnの（正の）約数の個数です。これは通常、d ( n )またはτ ( n )（ドイツのTeiler = 約数）と表記されます。

$${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{\omega (n)}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)k}-1}{p_{i}^{k}-1}}=\prod _{i=1}^{\omega (n)}\left(1+p_{i}^{k}+p_{i}^{2k}+\cdots +p_{i}^{a_{i}k}\right).}$$

2番目の 積でk = 0 とすると、$${\displaystyle \tau (n)=d(n)=(1+a_{1})(1+a_{2})\cdots (1+a_{\omega (n)}).}$$

φ（n） - オイラー・トーシェント関数

φ ( n )はオイラーのトーシェント関数であり、 nと互いに素であるn以下の正の整数の個数です。 $${\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=n\left({\frac {p_{1}-1}{p_{1}}}\right)\left({\frac {p_{2}-1}{p_{2}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}-1}{p_{\omega (n)}}}\right).}$$

J_k（n） - ジョルダン・トーシェント関数

ジョルダン・トーシェント関数J _k ( n )は、すべてn以下の正の整数kn(k+ 1) 組を形成するものの個数です。これはオイラーのトーシェントφ ( n ) = J ₁ ( n )の一般化です。 $${\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)=n^{k}\left({\frac {p_{1}^{k}-1}{p_{1}^{k}}}\right)\left({\frac {p_{2}^{k}-1}{p_{2}^{k}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}^{k}-1}{p_{\omega (n)}^{k}}}\right).}$$

μ（n) – メビウス関数

μ ( n )は、メビウスの反転のために重要です。以下の§ ディリクレ畳み込みを参照してください。 $${\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}&{\text{if }}\;\omega (n)=\Omega (n)\\0&{\text{if }}\;\omega (n)\neq \Omega (n).\end{cases}}}$$

これは、 μ ( 1 ) = 1 を意味します。(Ω ( 1 ) = ω ( 1 ) = 0 であるため。)

τ（n) – ラマヌジャン・タウ関数

τ ( n )は、その生成関数の恒等式 $${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}.}$$

nのどのような「算術的性質」を「表現」しているのかを正確に言うのは難しいですが、^[7]（τ ( n ) はモジュラー判別関数のq展開におけるn番目のフーリエ係数の ( 2π ) ⁻¹²倍）です。 ^[8]乗法関数であり、特定のσ _k ( n ) 関数とr _k ( n ) 関数を含む恒等式に現れるため、算術関数に含まれます（これらもモジュラー形式の展開における係数であるため）。

c_q（n） - ラマヌジャン和

cq ( n ) 、ラマヌジャン和_は、原始q乗根のn乗の和です$${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{\stackrel {1\leq a\leq q}{\gcd(a,q)=1}}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n}.}$$

複素数の和（qのほとんどの値に対して無理数）として定義されていますが、整数です。nの値が固定されている場合、qについて乗法的です。

qとが互いに素である場合、${\displaystyle c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).}$

ψ（n） - デデキント・プサイ関数

モジュラー関数の理論で使用されるデデキント・プサイ関数は、次の式で定義されます。 $${\displaystyle \psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right).}$$

完全に乗法的関数

λ（n） - リウヴィル関数

リウヴィル関数であるλ ( n )は、次のように定義されます。 $${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}.}$$

χ（n） - 文字

すべてのディリクレ指標 χ ( n )は完全に乗法的です。2つの指標には特別な表記法あります。

主指標 (mod n )は_、χ0 ( a ) (またはχ1 ( _a ))で表されます。これは次のように定義されます $${\displaystyle \chi _{0}(a)={\begin{cases}1&{\text{if }}\gcd(a,n)=1,\\0&{\text{if }}\gcd(a,n)\neq 1.\end{cases}}}$$

2次の指標（mod n）は、奇数nの場合はヤコビ記号で表されます（偶数nの場合は定義されません）。 $${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{a_{1}}\left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{a_{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{\omega (n)}}}\right)^{a_{\omega (n)}}.}$$

この式にはルジャンドル記号が含まれ、すべての整数aとすべての奇数の素数pに対して 次のように定義されます。${\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})}$ $${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{if }}a\equiv 0{\pmod {p}},\\+1&{\text{if }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\text{ and for some integer }}x,\;a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1&{\text{if there is no such }}x.\end{cases}}}$$

空積の通常の慣例に従い、${\displaystyle \left({\frac {a}{1}}\right)=1.}$

加法関数

ω（n) – 異なる素因数

ω ( n )は、上記でn を割り切る異なる素数の個数として定義され、加法性があります（素数オメガ関数を参照）。

完全に加法的な関数

Ω(n) – 素因数

Ω ( n )は、上記でnの素因数の重複度数として定義され、完全に加法性があります（素数オメガ関数を参照）。

ν_p（n) –p進評価整数のn

固定された素数pに対して、ν _p ( n )は、上記でnを割り切るpの最大べき乗の指数として定義され、完全に加法性があります。

対数微分

${\displaystyle \operatorname {ld} (n)={\frac {D(n)}{n}}=\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}{\frac {v_{p}(n)}{p}}}$ ここで は算術微分です。 ${\displaystyle D(n)}$

乗法性も加法性もありません

π（x)、Π(x),ϑ（x),ψ（x) – 素数計算関数

これらの重要な関数（算術関数ではない）は、非負の実引数に対して定義され、素数定理の様々な記述や証明で使用されます。これらは、乗法でも加法でもない算術関数の和関数です（すぐ下の主要セクションを参照）。

素数カウント関数であるπ ( x )は、xを超えない素数の個数です。これは、素数の 特性関数の和関数です。$${\displaystyle \pi (x)=\sum _{p\leq x}1}$$

関連する関数は、素数の重みを1、素数の平方数の重みを1/2、立方数の重みを1/3などとして、素数の累乗をカウントします。これは、ある素数のk乗である整数に対して1/ kの値を、他の整数に対して0の値 を取る算術関数の和関数です$${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}{\frac {1}{k}}.}$$

チェビシェフ関数であるϑ ( x )とψ ( x )は、xを超えない素数の自然対数の和として定義されます$${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p,}$$ $${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p.}$$

2番目のチェビシェフ関数ψ ( x ) は、すぐ下のフォン・マンゴルト関数の和関数です。

Λ(n) – フォン・マンゴルト関数

フォン・マンゴルト関数であるΛ( n )は、引数nが素数p ^kの冪でない限り0です。素数p kの場合は、素数pの自然対数です。 $${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\ldots =p^{k}{\text{ is a prime power}}\\0&{\text{if }}n=1,6,10,12,14,15,18,20,21,\dots \;\;\;\;{\text{ is not a prime power}}.\end{cases}}}$$

p（n) – 分配関数

p ( n ) 、分配関数は、 nを表す方法の数です。ただし、同じ被加数が異なる順序で表された2つの表現は、異なるものとしてカウントされません。 $${\displaystyle p(n)=\left|\left\{(a_{1},a_{2},\dots a_{k}):0<a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{k}\;\land \;n=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}\right\}\right|.}$$

λ（n) – カーマイケル関数

カーマイケル関数であるλ ( n )は、   すべてのnに対して互いに素となる最小の正の数です。 同様に、 nを法とする整数の乗法群の元の順序の最小公倍数です${\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}$

奇数の素数のべき乗、および2と4の場合、λ ( n )はnのオイラートーシェント関数に等しくなります。4より大きい2のべき乗の場合、nのオイラートーシェント関数の半分に等しくなります。 一般的なnの場合、 nの各素数のべき乗因数のλの最小公倍数です。 $${\displaystyle \lambda (n)={\begin{cases}\;\;\phi (n)&{\text{if }}n=2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,27,\dots \\{\tfrac {1}{2}}\phi (n)&{\text{if }}n=8,16,32,64,\dots \end{cases}}}$$ $${\displaystyle \lambda (p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\dots p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}})=\operatorname {lcm} [\lambda (p_{1}^{a_{1}}),\;\lambda (p_{2}^{a_{2}}),\dots ,\lambda (p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}})].}$$

h（n) – 類数

類数関数h ( n )は、判別式nを持つ有理数の代数的拡大のイデアル類群の位数です。一般に同じ判別式を持つ拡大が多数存在するため、表記法は曖昧です。古典的な例については、 二次体と円分体

r_k（n) – の和k平方

r _k ( n )は、 n をkの平方和として表す方法の数です。ただし、加数の順序または平方根の符号のみが異なる表現は、異なる表現としてカウントされます。 $${\displaystyle r_{k}(n)=\left|\left\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}):n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\right\}\right|}$$

D（n) – 算術微分

ヘヴィサイド記法を用いると、算術微分 D ( n ) は次のような関数である。

• ${\displaystyle D(n)=1}$ n が素数であり、
• ${\displaystyle D(mn)=mD(n)+D(m)n}$ （積の法則）

和関数

算術関数a ( n ) が与えられた場合、その和関数 A ( x ) は 次のように定義され、Aは実変数の関数とみなすことができます。正の整数mが与えられた場合、A は開区間m < x < m + 1に沿って一定であり、 a ( m ) ≠ 0 となる各整数でジャンプ不連続を持ちます。$${\displaystyle A(x):=\sum _{n\leq x}a(n).}$$

このような関数は級数や積分で表されることが多いため、点ごとの収束を達成するには、不連続点における値を左右の値の平均として定義するのが一般的です。 $${\displaystyle A_{0}(m):={\frac {1}{2}}\left(\sum _{n<m}a(n)+\sum _{n\leq m}a(n)\right)=A(m)-{\frac {1}{2}}a(m).}$$

算術関数の個々の値は、上記の例のほとんどがそうであるように、大きく変動することがあります。和関数はこれらの変動を「平滑化」します。場合によっては、大きな x に対して和関数の漸近的な挙動が見られること があります

この現象の古典的な例^[9]は、 nの約数の個数であるd ( n )の加法関数である約数加法関数によって示されます。 $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }d(n)=2}$$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log d(n)\log \log n}{\log n}}=\log 2}$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {d(1)+d(2)+\cdots +d(n)}{\log(1)+\log(2)+\cdots +\log(n)}}=1.}$$

算術関数の平均位数は、漸近的に同じ加法関数を持ち、したがって「平均して」同じ値を取る、より単純またはよりよく理解された関数です。g が f の平均位数であるとは、 $${\displaystyle \sum _{n\leq x}f(n)\sim \sum _{n\leq x}g(n)}$$

xが無限大に近づくにつれて、上記の例はd ( n )が平均位数log( n )を持つことを示しています。^[10]

ディリクレ畳み込み

算術関数a ( n ) が与えられ、複素数sに対して、対応するディリクレ級数によって定義される関数F _a ( s ) とします（収束します）。^[11] F _a ( s ) はa ( n )の生成関数と呼ばれます。すべてのnに対して定数関数a ( n ) = 1に対応する最も単純な級数は、リーマンゼータ関数ζ ( s )です。 $${\displaystyle F_{a}(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}.}$$

メビウス関数の生成関数はゼータ関数の逆である $${\displaystyle \zeta (s)\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=1,\;\;\Re s>1.}$$

2つの算術関数aとb、およびそれぞれの生成関数F _a ( s ) とF _b ( s ) を考えます。積F _a ( s ) F _b ( s ) は次のように計算できます。 $${\displaystyle F_{a}(s)F_{b}(s)=\left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {a(m)}{m^{s}}}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b(n)}{n^{s}}}\right).}$$

c ( n ) が で定義されている 場合、 であることを示すのは簡単な演習です。$${\displaystyle c(n):=\sum _{ij=n}a(i)b(j)=\sum _{i\mid n}a(i)b\left({\frac {n}{i}}\right),}$$ $${\displaystyle F_{c}(s)=F_{a}(s)F_{b}(s).}$$

この関数cはaとbのディリクレ畳み込みと呼ばれ、 と表記されます。 ${\displaystyle a*b}$

特に重要なケースは、すべてのnに対して定数関数a ( n ) = 1との畳み込みであり、これは生成関数にゼータ関数を乗じることに相当します。 $${\displaystyle g(n)=\sum _{d\mid n}f(d).}$$

ゼータ関数の逆関数を乗じると、メビウスの反転公式が得られます。 $${\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)g(d).}$$

fが乗法関数である場合、 gも乗法関数です。fが完全に乗法関数である場合、 gは乗法関数ですが、完全に乗法関数である場合もそうでない場合もあります。

関数間の関係

算術関数同士、そして解析関数、特にべき乗、根、指数関数、対数関数とを結び付ける公式は数多くあります。「除数和恒等式」のページには、算術関数を含む恒等式の、より一般化された関連例が数多く含まれています。

いくつか例を挙げます。

ディリクレ畳み込み

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\mu (\delta )=\sum _{\delta \mid n}\lambda \left({\frac {n}{\delta }}\right)|\mu (\delta )|={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\0&{\text{if }}n\neq 1\end{cases}}}$     ここでλはリウヴィル関数である。^[12]

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )=n.}$      ^[13]

${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta =n\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta }}.}$       メビウスの反転

${\displaystyle \sum _{d\mid n}J_{k}(d)=n^{k}.}$      ^[14]

${\displaystyle J_{k}(n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta ^{k}=n^{k}\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta ^{k}}}.}$       メビウスの反転

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)}$      ^[15]

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )d\left({\frac {n}{\delta }}\right)=\sigma (n).}$      ^{[ 16] [17]}

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}|\mu (\delta )|=2^{\omega (n)}.}$      ^[18]

${\displaystyle |\mu (n)|=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}.}$       メビウスの反転

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}2^{\omega (\delta )}=d(n^{2}).}$      

${\displaystyle 2^{\omega (n)}=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d(\delta ^{2}).}$       メビウスの反転

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d(\delta ^{2})=d^{2}(n).}$      

${\displaystyle d(n^{2})=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d^{2}(\delta ).}$       メビウスの反転

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d\left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}=d^{2}(n).}$      

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\lambda (\delta )={\begin{cases}&1{\text{ if }}n{\text{ is a square }}\\&0{\text{ if }}n{\text{ is not square.}}\end{cases}}}$     ここで、λはリウヴィル関数です。

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\Lambda (\delta )=\log n.}$      ^[19]

${\displaystyle \Lambda (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\log(\delta ).}$       メビウスの反転

平方和

すべての場合     （ラグランジュの四平方定理） ${\displaystyle k\geq 4,\;\;\;r_{k}(n)>0.}$

${\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n}\left({\frac {-4}{d}}\right),}$ ^[20]

ここで、クロネッカー記号は次の値を持ちます

${\displaystyle \left({\frac {-4}{n}}\right)={\begin{cases}+1&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {4}}\\\;\;\;0&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\\\end{cases}}}$

下記の類数のセクションに r ₃の式がある。 ここでν = ν ₂ ( n )。     ^{[21] [22] [23]} ここで^[24]$${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{\stackrel {d\mid n}{4\,\nmid \,d}}d=8(2+(-1)^{n})\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d={\begin{cases}8\sigma (n)&{\text{if }}n{\text{ is odd }}\\24\sigma \left({\frac {n}{2^{\nu }}}\right)&{\text{if }}n{\text{ is even }}\end{cases}},}$$ $${\displaystyle r_{6}(n)=16\sum _{d\mid n}\chi \left({\frac {n}{d}}\right)d^{2}-4\sum _{d\mid n}\chi (d)d^{2},}$$ ${\displaystyle \chi (n)=\left({\frac {-4}{n}}\right).}$

関数σ _k ^* ( n )を次のように定義する^[25] $${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=(-1)^{n}\sum _{d\mid n}(-1)^{d}d^{k}={\begin{cases}\sum _{d\mid n}d^{k}=\sigma _{k}(n)&{\text{if }}n{\text{ is odd }}\\\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\mid \,d}}d^{k}-\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d^{k}&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}}$$

つまり、nが奇数の場合、σ _k ^* ( n )はnの約数のk乗の和、つまりσ _k ( n ) であり、n が偶数の場合、 nの偶数約数の k 乗の和からnの奇数約数のk乗の和を引いたものである。

${\displaystyle r_{8}(n)=16\sigma _{3}^{*}(n).}$    ^{[24] [26]}

xが整数でない場合、ラマヌジャンの τ ( x ) = 0 という規則を採用する。

${\displaystyle r_{24}(n)={\frac {16}{691}}\sigma _{11}^{*}(n)+{\frac {128}{691}}\left\{(-1)^{n-1}259\tau (n)-512\tau \left({\frac {n}{2}}\right)\right\}}$    

約数和畳み込み

ここで「畳み込み」は「ディリクレ畳み込み」ではなく、 2つのべき級数の積の係数の公式を指します。

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}\right)=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}x^{i+j}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}.}$

この数列は、数列a _nとb _nの畳み込みまたはコーシー積と呼ばれます。 これらの公式は、解析的に（アイゼンシュタイン級数を参照）または初等的な方法によって証明することができます。 ^[28]${\displaystyle c_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$

${\displaystyle \sigma _{3}(n)={\frac {1}{5}}\left\{6n\sigma _{1}(n)-\sigma _{1}(n)+12\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{1}(n-k)\right\}.}$    ^[29]

${\displaystyle \sigma _{5}(n)={\frac {1}{21}}\left\{10(3n-1)\sigma _{3}(n)+\sigma _{1}(n)+240\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{3}(n-k)\right\}.}$    ^[30]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{7}(n)&={\frac {1}{20}}\left\{21(2n-1)\sigma _{5}(n)-\sigma _{1}(n)+504\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}\\&=\sigma _{3}(n)+120\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k).\end{aligned}}}$    ^{[30] [31]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{9}(n)&={\frac {1}{11}}\left\{10(3n-2)\sigma _{7}(n)+\sigma _{1}(n)+480\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{7}(n-k)\right\}\\&={\frac {1}{11}}\left\{21\sigma _{5}(n)-10\sigma _{3}(n)+5040\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}.\end{aligned}}}$    ^{[29] [32]}

${\displaystyle \tau (n)={\frac {65}{756}}\sigma _{11}(n)+{\frac {691}{756}}\sigma _{5}(n)-{\frac {691}{3}}\sum _{0<k<n}\sigma _{5}(k)\sigma _{5}(n-k),}$     ここで、τ ( n ) はラマヌジャン関数です。     ^{[33] [34]}

σ _k ( n ) （自然数kの場合）とτ ( n ) は整数であるため、上記の公式は関数の合同性^[35]を証明するために使用できます。いくつかの例については、 ラマヌジャンのタウ関数を参照してください

p (0) = 1と設定して、分割関数の定義域を拡張します。

${\displaystyle p(n)={\frac {1}{n}}\sum _{1\leq k\leq n}\sigma (k)p(n-k).}$    ^{[36]この再帰式は}p ( n )   を計算するために使用できます。

クラス番号関連

ピーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレは、二次数体の類数hとヤコビ記号を関連付ける公式を発見しました。^[37]

整数Dは、二次数体の判別式である場合、基本判別式と呼ばれます。これは、 D ≠ 1 であり、a) Dが平方数でD ≡ 1 (mod 4) であるか、b) D ≡ 0 (mod 4)、D /4 が平方数でD /4 ≡ 2 または 3 (mod 4) である場合と同等です。^[38]

クロネッカー記号を定義することにより、 ヤコビ記号を拡張し、「分母」に偶数を受け入れるようにします。$${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{ if }}a{\text{ is even}}\\(-1)^{\frac {a^{2}-1}{8}}&{\text{ if }}a{\text{ is odd. }}\end{cases}}}$$

このとき、D < -4 が基本判別式である場合^{[39] [40]} $${\displaystyle {\begin{aligned}h(D)&={\frac {1}{D}}\sum _{r=1}^{|D|}r\left({\frac {D}{r}}\right)\\&={\frac {1}{2-\left({\tfrac {D}{2}}\right)}}\sum _{r=1}^{|D|/2}\left({\frac {D}{r}}\right).\end{aligned}}}$$

r ₃とhを関連付ける公式もあります。ここでも、D を基本判別式、D < -4 とします。すると^[41] $${\displaystyle r_{3}(|D|)=12\left(1-\left({\frac {D}{2}}\right)\right)h(D).}$$

素数関連

をn番目の調和数   とします。すると ${\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$

${\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+e^{H_{n}}\log H_{n}}$ は、リーマン予想が真である場合にのみ、すべての自然数n   に対して真である。     ^[42]

リーマン予想は、 n > 5040 の任意の値に対して、 （γはオイラー・マスケローニ定数）という命題にも相当します。これはロビンの定理です。 $${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$$

${\displaystyle \sum _{p}\nu _{p}(n)=\Omega (n).}$

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).}$    ^[43]

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}$    ^[44]

${\displaystyle e^{\theta (x)}=\prod _{p\leq x}p.}$    ^[45]

${\displaystyle e^{\psi (x)}=\operatorname {lcm} [1,2,\dots ,\lfloor x\rfloor ].}$    ^[46]

メノンの恒等式

1965年、P・ケサヴァ・メノンは^[47]を証明した。 $${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\gcd(k-1,n)=\varphi (n)d(n).}$$

これは多くの数学者によって一般化されています。例えば、

• B・スリー^[48] $${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},n)=1}}\gcd(k_{1}-1,k_{2},\dots ,k_{s},n)=\varphi (n)\sigma _{s-1}(n).}$$
• N・ラオ^[49] ここで、a ₁、a ₂、…、a _sは整数であり、gcd( a ₁、a ₂、…、a _s、n ) = 1となる$${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},k_{2},\dots ,k_{s},n)=1}}\gcd(k_{1}-a_{1},k_{2}-a_{2},\dots ,k_{s}-a_{s},n)^{s}=J_{s}(n)d(n),}$$
• ラースロー・フェイェシュ・トート^[50] ここで、m ₁とm ₂は奇数であり、m = lcm( m ₁ , m ₂ )である$${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{\gcd(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},}$$

実際、fが任意の算術関数^{[51] [52]} である場合、 はディリクレ畳み込みを表します。 $${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}f(\gcd(k-1,n))=\varphi (n)\sum _{d\mid n}{\frac {(\mu *f)(d)}{\varphi (d)}},}$$ ${\displaystyle *}$

その他

mとn がそれぞれ異なる、奇数で正であるとする。このとき、ヤコビ記号は二次の相互法則を満たす。 $${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=(-1)^{(m-1)(n-1)/4}.}$$

D ( n ) を算術微分とする。対数微分については、算術微分を参照。 $${\displaystyle {\frac {D(n)}{n}}=\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}{\frac {v_{p}(n)}{p}}.}$$

λ ( n ) をリウヴィル関数と する。すると

${\displaystyle |\lambda (n)|\mu (n)=\lambda (n)|\mu (n)|=\mu (n),}$     および

${\displaystyle \lambda (n)\mu (n)=|\mu (n)|=\mu ^{2}(n).}$    

λ ( n ) をカーマイケル関数とする。すると

${\displaystyle \lambda (n)\mid \phi (n).}$     さらに、

${\displaystyle \lambda (n)=\phi (n){\text{ if and only if }}n={\begin{cases}1,2,4;\\3,5,7,9,11,\ldots {\text{ (that is, }}p^{k}{\text{, where }}p{\text{ is an odd prime)}};\\6,10,14,18,\ldots {\text{ (that is, }}2p^{k}{\text{, where }}p{\text{ is an odd prime)}}.\end{cases}}}$

n を法とする整数の乗法群とn を法とする原始根を参照。  

${\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}.}$    ^{[53] [54]}

${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}<{\frac {\phi (n)\sigma (n)}{n^{2}}}<1.}$    ^[55]

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{q}(n)&={\frac {\mu \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}{\phi \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}}\phi (q)\\&=\sum _{\delta \mid \gcd(q,n)}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .\end{aligned}}}$    ^{[56] [ 57 ]}     に留意  ${\displaystyle \phi (q)=\sum _{\delta \mid q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .}$    

${\displaystyle c_{q}(1)=\mu (q).}$

${\displaystyle c_{q}(q)=\phi (q).}$

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d^{3}(\delta )=\left(\sum _{\delta \mid n}d(\delta )\right)^{2}.}$    ^{[58]これを}1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + ... + n ³ = (1 + 2 + 3 + ... + n ) ²   と比較。

${\displaystyle d(uv)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\mu (\delta )d\left({\frac {u}{\delta }}\right)d\left({\frac {v}{\delta }}\right).}$    ^[59]

${\displaystyle \sigma _{k}(u)\sigma _{k}(v)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\delta ^{k}\sigma _{k}\left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right).}$    ^[60]

${\displaystyle \tau (u)\tau (v)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\delta ^{11}\tau \left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right),}$     ここでτ ( n ) はラマヌジャン関数である。     ^[61]

いくつかの算術関数の最初の100個の値

n	因数分解	φ ( n )	ω ( n )	Ω ( n	λ ( n )	μ( n )	Λ(n)	π(n)	σ0(n)	σ1(n)	σ2(n)	r2(n)	r3(n)	r4(n)
1	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	1	4	6	8
2	2	1	1	1	−1	−1	0.69	1	2	3	5	4	12	24
3	3	2	1	1	−1	−1	1.10	2	2	4	10	0	8	32
4	2^2	2	1	2	1	0	0.69	2	3	7	21	4	6	24
5	5	4	1	1	−1	−1	1.61	3	2	6	26	8	24	48
6	2 · 3	2	2	2	1	1	0	3	4	12	50	0	24	96
7	7	6	1	1	−1	−1	1.95	4	2	8	50	0	0	64
8	2^3	4	1	3	−1	0	0.69	4	4	15	85	4	12	24
9	3^2	6	1	2	1	0	1.10	4	3	13	91	4	30	104
10	2 · 5	4	2	2	1	1	0	4	4	18	130	8	24	144
11	11	10	1	1	−1	−1	2.40	5	2	12	122	0	24	96
12	2^2 · 3	4	2	3	−1	0	0	5	6	28	210	0	8	96
13	13	12	1	1	−1	−1	2.56	6	2	14	170	8	24	112
14	2 · 7	6	2	2	1	1	0	6	4	24	250	0	48	192
15	3 · 5	8	2	2	1	1	0	6	4	24	260	0	0	192
16	2^4	8	1	4	1	0	0.69	6	5	31	341	4	6	24
17	17	16	1	1	−1	−1	2.83	7	2	18	290	8	48	144
18	2 · 3^2	6	2	3	−1	0	0	7	6	39	455	4	36	312
19	19	18	1	1	−1	−1	2.94	8	2	20	362	0	24	160
20	2^2 · 5	8	2	3	−1	0	0	8	6	42	546	8	24	144
21	3 · 7	12	2	2	1	1	0	8	4	32	500	0	48	256
22	2 · 11	10	2	2	1	1	0	8	4	36	610	0	24	288
23	23	22	1	1	−1	−1	3.14	9	2	24	530	0	0	192
24	2^3 · 3	8	2	4	1	0	0	9	8	60	850	0	24	96
25	5^2	20	1	2	1	0	1.61	9	3	31	651	12	30	248
26	2 · 13	12	2	2	1	1	0	9	4	42	850	8	72	336
27	3^3	18	1	3	−1	0	1.10	9	4	40	820	0	32	320
28	2^2 · 7	12	2	3	−1	0	0	9	6	56	1050	0	0	192
29	29	28	1	1	−1	−1	3.37	10	2	30	842	8	72	240
30	2 · 3 · 5	8	3	3	−1	−1	0	10	8	72	1300	0	48	576
31	31	30	1	1	−1	−1	3.43	11	2	32	962	0	0	256
32	2^5	16	1	5	−1	0	0.69	11	6	63	1365	4	12	24
33	3 · 11	20	2	2	1	1	0	11	4	48	1220	0	48	384
34	2 · 17	16	2	2	1	1	0	11	4	54	1450	8	48	432
35	5 · 7	24	2	2	1	1	0	11	4	48	1300	0	48	384
36	2^2 · 3^2	12	2	4	1	0	0	11	9	91	1911	4	30	312
37	37	36	1	1	−1	−1	3.61	12	2	38	1370	8	24	304
38	2 · 19	18	2	2	1	1	0	12	4	60	1810	0	72	480
39	3 · 13	24	2	2	1	1	0	12	4	56	1700	0	0	448
40	2^3 · 5	16	2	4	1	0	0	12	8	90	2210	8	24	144
41	41	40	1	1	−1	−1	3.71	13	2	42	1682	8	96	336
42	2 · 3 · 7	12	3	3	−1	−1	0	13	8	96	2500	0	48	768
43	43	42	1	1	−1	−1	3.76	14	2	44	1850	0	24	352
44	2^2 · 11	20	2	3	−1	0	0	14	6	84	2562	0	24	288
45	3^2 · 5	24	2	3	−1	0	0	14	6	78	2366	8	72	624
46	2 · 23	22	2	2	1	1	0	14	4	72	2650	0	48	576
47	47	46	1	1	−1	−1	3.85	15	2	48	2210	0	0	384
48	2^4 · 3	16	2	5	−1	0	0	15	10	124	3410	0	8	96
49	7^2	42	1	2	1	0	1.95	15	3	57	2451	4	54	456
50	2 · 5^2	20	2	3	−1	0	0	15	6	93	3255	12	84	744
51	3 · 17	32	2	2	1	1	0	15	4	72	2900	0	48	576
52	2^2 · 13	24	2	3	−1	0	0	15	6	98	3570	8	24	336
53	53	52	1	1	−1	−1	3.97	16	2	54	2810	8	72	432
54	2 · 3^3	18	2	4	1	0	0	16	8	120	4100	0	96	960
55	5 · 11	40	2	2	1	1	0	16	4	72	3172	0	0	576
56	2 ^3・7	24	2	4	1	0	0	16	8	120	4250	0	48	192
57	3・19	36	2	2	1	1	0	16	4	80	3620	0	48	640
58	2・29	28	2	2	1	1	0	16	4	90	4210	8	24	720
59	59	58	1	1	−1	−1	4.08	17	2	60	3482	0	72	480
60	2^・2・3・5	16	3	4	1	0	0	17	12	168	5460	0	0	576
61	61	60	1	1	−1	−1	4.11	18	2	62	3722	8	72	496
62	2・31	30	2	2	1	1	0	18	4	96	4810	0	96	768
63	3・^2・7	36	2	3	−1	0	0	18	6	104	4550	0	0	832
64	2^・6	32	1	6	1	0	0.69	18	7	127	5461	4	6	24
65	5・13	48	2	2	1	1	0	18	4	84	4420	16	96	672
66	2・3・11	20	3	3	−1	−1	0	18	8	144	6100	0	96	1152
67	67	66	1	1	−1	−1	4.20	19	2	68	4490	0	24	544
68	2・^2・17	32	2	3	−1	0	0	19	6	126	6090	8	48	432
69	3・23	44	2	2	1	1	0	19	4	96	5300	0	96	768
70	2・5・7	24	3	3	−1	−1	0	19	8	144	6500	0	48	1152
71	71	70	1	1	−1	−1	4.26	20	2	72	5042	0	0	576
72	2 ^3 · 3 ^2	24	2	5	−1	0	0	20	12	195	7735	4	36	312
73	73	72	1	1	−1	−1	4.29	21	2	74	5330	8	48	592
74	2 · 37	36	2	2	1	1	0	21	4	114	6850	8	120	912
75	3 · 5 ^2	40	2	3	−1	0	0	21	6	124	6510	0	56	992
76	2 ^2 · 19	36	2	3	−1	0	0	21	6	140	7602	0	24	480
77	7 · 11	60	2	2	1	1	0	21	4	96	6100	0	96	768
78	2 · 3 · 13	24	3	3	−1	−1	0	21	8	168	8500	0	48	1344
79	79	78	1	1	−1	−1	4.37	22	2	80	6242	0	0	640
80	2 ^4 · 5	32	2	5	−1	0	0	22	10	186	8866	8	24	144
81	3 ^4	54	1	4	1	0	1.10	22	5	121	7381	4	102	968
82	2・41	40	2	2	1	1	0	22	4	126	8410	8	48	1008
83	83	82	1	1	−1	−1	4.42	23	2	84	6890	0	72	672
84	2・^2・3・7	24	3	4	1	0	0	23	12	224	10500	0	48	768
85	5・17	64	2	2	1	1	0	23	4	108	7540	16	48	864
86	2・43	42	2	2	1	1	0	23	4	132	9250	0	120	1056
87	3・29	56	2	2	1	1	0	23	4	120	8420	0	0	960
88	2 ^3 · 11	40	2	4	1	0	0	23	8	180	10370	0	24	288
89	89	88	1	1	−1	−1	4.49	24	2	90	7922	8	144	720
90	2 · 3 ^2 · 5	24	3	4	1	0	0	24	12	234	11830	8	120	1872
91	7 · 13	72	2	2	1	1	0	24	4	112	8500	0	48	896
92	2 ^2 · 23	44	2	3	−1	0	0	24	6	168	11130	0	0	576
93	3 · 31	60	2	2	1	1	0	24	4	128	9620	0	48	1024
94	2 · 47	46	2	2	1	1	0	24	4	144	11050	0	96	1152
95	5 · 19	72	2	2	1	1	0	24	4	120	9412	0	0	960
96	2 ^5 · 3	32	2	6	1	0	0	24	12	252	13650	0	24	96
97	97	96	1	1	−1	−1	4.57	25	2	98	9410	8	48	784
98	2 · 7 ^2	42	2	3	−1	0	0	25	6	171	12255	4	108	1368
99	3 ^2 · 11	60	2	3	−1	0	0	25	6	156	11102	0	72	1248
100	2 ^2 · 5 ^2	40	2	4	1	0	0	25	9	217	13671	12	30	744
n	因数分解	φ ( n )	ω ( n )	Ω ( n	𝜆 ( n )	𝜇( n )	Λ(n)	π(n)	σ0(n)	σ1(n)	σ2(n)	r2(n)	r3(n)	r4(n)

Notes

1. Long (1972, p. 151)
2. Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 58)
3. Niven & Zuckerman, 4.2.
4. Nagell, I.9.
5. Bateman & Diamond, 2.1.
6. Hardy & Wright, intro. to Ch. XVI
7. Hardy, Ramanujan, § 10.2
8. Apostol, Modular Functions ..., § 1.15, Ch. 4, and ch. 6
9. Hardy & Wright, §§ 18.1–18.2
10. Gérald Tenenbaum (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge studies in advanced mathematics. Vol. 46. Cambridge University Press. pp. 36–55. ISBN 0-521-41261-7.
11. Hardy & Wright, § 17.6 は、収束性に注意を払わずに、純粋に形式的な方法で母関数の理論を構築する方法を示しています。
12. Hardy & Wright, Thm. 263
13. Hardy & Wright, Thm. 63
14. Jordanのトーティエント関数の参考文献を参照
15. Holden et al. 外部リンク この式はGegenbauerの
16. ハーディ＆ライト、Thm. 288–290
17. 外部リンクのDineva、prop. 4
18. ハーディ＆ライト、Thm. 264
19. ハーディ＆ライト、Thm. 296
20. ハーディ＆ライト、Thm. 278
21. ハーディ＆ライト、Thm. 386
22. ハーディ、ラマヌジャン、式9.1.2、9.1.3
23. コブリッツ、Ex. III.5.2
24. ハーディ＆ライト、§ 20.13
25. ハーディ、ラマヌジャン、§ 9.7
26. ハーディ、ラマヌジャン、§ 9.13
27. ハーディ、ラマヌジャン、§ 9.17
28. ウィリアムズ、ch. 13; Huard, et al. (外部リンク)
29. ラマヌジャン、ある算術関数について、表IV;論文、146ページ
30. コブリッツ、例 III.2.8
31. コブリッツ、例 III.2.3
32. コブリッツ、例 III.2.2
33. コブリッツ、例 III.2.4
34. アポストル、『モジュラー関数…』、例 6.10
35. アポストル、『モジュラー関数…』、第6章 例 10
36. GH Hardy, S. Ramannujan、『組合せ解析における漸近的公式』、§ 1.3；ラマンヌジャン、 『論文集』、 279ページ
37. ランダウ、168ページでは、ディリクレだけでなくガウスにも功績を認めています。
39. ^、訂正 5.3.13
40. より複雑な公式については、エドワーズ、§ 9.5 の演習を参照してください。
41. コーエン、命題 5.3.10
42. 約数関数を参照してください。
43. ハーディ＆ライト、式 22.1.2
44. 素数関数を参照してください。
45. ハーディ＆ライト、式 22.1.1
46. ハーディ＆ライト、式 22.1.3
47. ラースロー・トート、「メノンの恒等式と算術和…」、式1
48. トート、式5
49. トート、式3
50. トート、式35
51. トート、式2
52. トートは、メノンが1965年に乗法的なfについて、そしてV. Sita Ramaiahが一般のfについてこれを証明したと述べています。
53. ハーディ・ラマヌジャン、式3.10.3
54. ハーディ＆ライト、§22.13
55. ハーディ＆ライト、Thm. 329
56. ハーディ＆ライト、Thm. 271, 272
57. ハーディ＆ライト、式16.3.1
58. ラマヌジャン、『解析的数論におけるいくつかの公式』、式(C)；論文集、133ページ。脚注によると、ハーディはラマヌジャンに、この式は1857年のリウヴィルの論文にも登場すると伝えたという。
59. ラマヌジャン、『解析的数論におけるいくつかの公式』、式(F)；論文集、134ページ
60. アポストル、『モジュラー関数… 』 、第6章、式4
61. アポストル、『モジュラー関数…』、第6章、式3

参考文献

• トム・M・アポストル(1976)、『解析的数論入門』、シュプリンガー大学数学テキスト、ISBN 0-387-90163-9
• トム・M・アポストル(1989)、『数論におけるモジュラー関数とディリクレ級数（第2版）』、ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 0-387-97127-0
• ポール・T・ベイトマン、ハロルド・G・ダイアモンド (2004)、『解析的数論入門』、ワールド・サイエンティフィック、ISBN 978-981-238-938-1
• アンリ・コーエン(1993)、『計算代数的数論講座』、ベルリン：シュプリンガー、ISBN 3-540-55640-0
• エドワーズ、ハロルド(1977).フェルマーの最終定理. ニューヨーク:シュプリンガー. ISBN 0-387-90230-9.
• ハーディ、GH (1999),ラマヌジャン：その生涯と著作に示唆された主題に関する12の講義.プロビデンス RI: AMS / チェルシー, hdl :10115/1436, ISBN 978-0-8218-2023-0
• ハーディ、GH ;ライト、EM (1979) [1938].数論入門（第5版）. オックスフォード: クラレンドン・プレス. ISBN 0-19-853171-0. MR  0568909. Zbl  0423.10001
• ジェイムソン、GJO（2003年）『素数定理』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-89110-8
• コブリッツ、ニール (1984)、『楕円曲線とモジュラー形式入門』、ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 0-387-97966-2
• ランドー、エドマンド(1966)、『初等数論』、ニューヨーク：チェルシー
• ウィリアム・J・ルヴェック(1996)、『数論の基礎』、クーリエ・ドーバー出版、ISBN 0-486-68906-9
• ロング、カルビン・T. (1972)、『初等数論入門（第2版）』、レキシントン：DCヒース・アンド・カンパニー、LCCN  77-171950
• エリオット・メンデルソン (1987)、『数理論理学入門』、CRCプレス、ISBN 0-412-80830-7
• ナーゲル、トリグヴェ(1964)、『数論入門（第2版）』、チェルシー、ISBN 978-0-8218-2833-5
• ニーヴン、イヴァン・M.、ザッカーマン、ハーバート・S. (1972)、『数論入門（第3版）』、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 0-471-64154-5
• ペットフレッツォ、アンソニー・J.、バーキット、ドナルド・R. (1970)、『数論の原点』、イングルウッド・クリフス：プレンティス・ホール、LCCN  77-81766
• ラマヌジャン、シュリニヴァサ (2000)、『論文集』、プロビデンスRI：AMS / チェルシー、ISBN 978-0-8218-2076-6
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参考文献

• シュワルツ、ヴォルフガング；シュピルカー、ユルゲン (1994)、『算術関数：算術関数の基本的および解析的性質、ならびにそれらの概周期的性質のいくつかへの入門』、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、第184巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-42725-8、Zbl  0807.11001

外部リンク

• 「算術関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• マシュー・ホールデン、マイケル・オリソン、マイケル・ヴァーブル オイラーのトーティエント関数のさらなる一般化
• Huard、Ou、Spearman、Williams。約数関数を含む特定の畳み込み和の初等的評価
• Dineva、Rosica。オイラーのトーティエント、メビウス、および約数関数。Wayback Machineに2021年1月16日にアーカイブ
• László Tóth。メノンの恒等式と多変数関数を表す算術和