アトキンソン指数
不平等の尺度

アトキンソン指数（アトキンソン指標、アトキンソン不平等指標とも呼ばれる）は、イギリスの経済学者アンソニー・バーンズ・アトキンソンによって開発された所得格差の指標である。この指標は、観測された不平等に分布のどの端が最も寄与しているかを判断するのに役立つ。[1]

意味

アトキンソン指数は次のように定義されます。

あ ε （ y 1 、 … 、 y 北 ） ＝ { 1 − 1 μ （ 1 北 ∑ 私 ＝ 1 北 y 私 1 − ε ） 1 / （ 1 − ε ） のために   0 ≤ ε ≠ 1 1 − 1 μ （ ∏ 私 ＝ 1 北 y 私 ） 1 / 北 のために   ε ＝ 1 1 − 1 μ 分 （ y 1 、 。 。 。 、 y 北 ） のために   ε ＝ + ∞ {\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})={\begin{cases}1-{\frac {1}{\mu }}\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}y_{i}^{1-\varepsilon }\right)^{1/(1-\varepsilon )}&{\mbox{for}}\ 0\leq \varepsilon \neq 1\\1-{\frac {1}{\mu }}\left(\prod _{i=1}^{N}y_{i}\right)^{1/N}&{\mbox{for}}\ \varepsilon =1\\1-{\frac {1}{\mu }}\min \left(y_{1},...,y_{N}\right)&{\mbox{for}}\ \varepsilon =+\infty \end{cases}}}

ここで、 は個人所得（i = 1, 2, ..., N）、は平均所得です。 y 私 {\displaystyle y_{i}} μ {\displaystyle \mu}

言い換えれば、アトキンソン指数は、指数1−εのヘルダー一般化平均と所得の算術平均の比の1の補数です（通常どおり、指数0の一般化平均は幾何平均として解釈されます）。

解釈

この指数は、所得に重み付け係数を課すことで規範的な尺度に変換できる。所得分布の特定の部分における変化に、より大きな重みを置きたい場合は、「不平等回避」の水準を適切に選択する。アトキンソン指数は、が増加するにつれて、所得分布の下限における変化に対してより敏感になる。逆に、不平等回避の水準が低下する（つまり、が0に近づく）につれて、アトキンソン指数は所得分布の下限における変化に対してより鈍感になる。アトキンソン指数は、が非負であるという共通の制約のため、値が0の場合でも上位所得に対して非常に敏感である。[2] ε {\displaystyle \varepsilon } ε {\displaystyle \varepsilon } ε {\displaystyle \varepsilon } ε {\displaystyle \varepsilon } ε {\displaystyle \varepsilon } ε {\displaystyle \varepsilon }

アトキンソンパラメータは、しばしば「不平等回避パラメータ」と呼ばれます。これは、不平等から生じる社会福祉損失の、対応する一般化エントロピー指数で測定される所得不平等に対する感度を規定するからです。アトキンソン指数は、対応する社会福祉関数を参照して定義されます。ここで、平均所得にアトキンソン指数から1を引いた値を乗じると、福祉相当の均等分配所得が得られます。したがって、アトキンソン指数は、完全な不平等が導入された場合に社会福祉を低下させることなく犠牲にできる現在の所得の割合を示します。（不平等回避なし）の場合、所得による限界社会福祉は所得に不変です。つまり、所得の限界増加は、それが貧しい個人に分配されるか裕福な個人に分配されるかに関わらず、同量の社会福祉を生み出します。この場合、福祉相当の均等分配所得は平均所得に等しく、アトキンソン指数はゼロです。 ε {\displaystyle \varepsilon } ε ＝ 0 {\displaystyle \varepsilon =0}

（不平等への無限嫌悪）の場合、最貧困層の所得の限界社会厚生は、それよりわずかに裕福な個人の所得よりも無限に大きく、アトキンソン社会厚生関数はサンプル内の最小所得に等しくなります。この場合、アトキンソン指数は平均所得から最小所得を差し引き、平均所得で割ったものに等しくなります。典型的な大規模な所得分布では、所得がゼロまたはゼロに近いことが一般的であるため、アトキンソン指数は、非常に大きな所得分布では1または1に非常に近い値になる傾向があります。 ε ＝ + ∞ {\displaystyle \varepsilon =+\infty } ε {\displaystyle \varepsilon }

アトキンソン指数は0から1の間で変動し、与えられたパラメータにおいて、与えられた所得分布を完全に再分配することで得られる社会的効用の大きさを測る指標です。功利主義的な倫理基準といくつかの制約的な仮定（均質な人口と一定な代替効用の弾力性）の下では、アトキンソン指数は所得の限界効用の所得弾力性に等しくなります。 ε {\displaystyle \varepsilon } ε {\displaystyle \varepsilon }

一般化エントロピー指数との関係

不平等回避を伴うアトキンソン指数は、（単調な再スケーリングの下で​​は）パラメータを伴う一般化エントロピー指数と同等である。 ε {\displaystyle \varepsilon } α ＝ 1 − ε {\displaystyle \alpha =1-\varepsilon }

制約下で対応するGE指数から不平等回避パラメータを持つアトキンソン指数を導出する式は次のとおりです。 ϵ {\displaystyle \epsilon } ε ＝ 1 − α {\displaystyle \varepsilon =1-\alpha } あ ＝ 1 − [ ε （ ε − 1 ） G E （ α ） + 1 ] （ 1 / （ 1 − ε ） ） ε ≠ 1 {\displaystyle A=1-[\varepsilon (\varepsilon -1)GE(\alpha )+1]^{(1/(1-\varepsilon ))}\qquad \varepsilon \neq 1} あ ＝ 1 − e − G E （ α ） ε ＝ 1 {\displaystyle A=1-e^{-GE(\alpha )}\qquad \varepsilon =1}

プロパティ

アトキンソン指数は次の特性を満たします。

  1. インデックスは引数に関して対称です。任意の順列に対して です。 あ ε （ y 1 、 … 、 y 北 ） ＝ あ ε （ y σ （ 1 ） 、 … 、 y σ （ 北 ） ） {\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(y_{\sigma (1)},\ldots ,y_{\sigma (N)})} σ {\displaystyle \sigma }
  2. インデックスは非負であり、すべての所得が同じである場合にのみゼロになります。つまり、すべての の場合に限ります。 あ ε （ y 1 、 … 、 y 北 ） ＝ 0 {\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=0} y 私 ＝ μ {\displaystyle y_{i}=\mu } 私 {\displaystyle i}
  3. この指数は移転の原則を満たしています。つまり、ある所得のある個人から別の所得のある個人に移転が行われ、その場合、不平等指数は増加できません。 Δ > 0 {\displaystyle \Delta >0} y 私 {\displaystyle y_{i}} y j {\displaystyle y_{j}} y 私 − Δ > y j + Δ {\displaystyle y_{i}-\Delta >y_{j}+\Delta }
  4. この指標は、集団複製公理を満たしています。つまり、既存の集団を任意の回数複製して新しい集団を形成する場合、不等式は同じままです。 あ ε （ { y 1 、 … 、 y 北 } 、 … 、 { y 1 、 … 、 y 北 } ） ＝ あ ε （ y 1 、 … 、 y 北 ） {\displaystyle A_{\varepsilon }(\{y_{1},\ldots ,y_{N}\},\ldots ,\{y_{1},\ldots ,y_{N}\})=A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})}
  5. この指数は平均独立性、または所得の均一性の公理を満たしています。つまり、すべての所得に正の定数を掛けると、不等式は任意の に対して同じままになります。 あ ε （ y 1 、 … 、 y 北 ） ＝ あ ε （ け y 1 、 … 、 け y 北 ） {\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(ky_{1},\ldots ,ky_{N})} け > 0 {\displaystyle k>0}
  6. この指数は（非加法的に）サブグループ分解可能であり、対応する一般化エントロピー指数は加法的にサブグループ分解可能である。[3]これは、人口全体の不平等は、各グループ内の対応する一般化エントロピー指数の合計として計算でき、グループ平均所得の一般化エントロピー指数は、
G E （ α ; y グラム 私 : グラム ＝ 1 、 … 、 G 、 私 ＝ 1 、 … 、 北 グラム ） ＝ ∑ グラム ＝ 1 G わ グラム G E （ α ; y グラム 1 、 … 、 y グラム 北 グラム ） + G E （ α ; μ 1 、 … 、 μ G ） {\displaystyle GE(\alpha;y_{gi}:g=1,\ldots,G,i=1,\ldots,N_{g})=\sum_{g=1}^{G}w_{g}GE(\alpha;y_{g1},\ldots,y_{gN_{g}})+GE(\alpha;\mu_{1},\ldots,\mu_{G})}
ここで、指標グループ、、グループ内の個人、はグループの平均所得であり、重みはおよびに依存します。加法分解可能な不平等指標のクラスは非常に限定的であり、実際には、一般化エントロピー指標のみが加法分解可能です。ジニ係数を含む多くの一般的な指標は、この性質を満たしていません。 グラム {\displaystyle g} 私 {\displaystyle i} μ グラム {\displaystyle \mu_{g}} グラム {\displaystyle g} わ グラム {\displaystyle w_{g}} μ グラム 、 μ 、 北 {\displaystyle \mu _{g},\mu ,N} 北 グラム {\displaystyle N_{g}}

参照

脚注

  1. ^ とりわけ「米国における所得、貧困、健康保険適用範囲：2010年」、米国国勢調査局、2011年、10ページ
  2. ^ アトキンソン指数は、一般化エントロピー（GE）クラスの不平等指数と次式で関連している。すなわち、不平等回避度の高いアトキンソン指数は、小さいGE指数から得られる。大きいGE指数は高額所得者層の存在に敏感であるが、それに対応するアトキンソン指数は負の値をとる。仮に、アトキンソン指数が負の値をとる場合、社会効用関数は所得に関して凸型となり、アトキンソン指数は非正となる。 ϵ ＝ 1 − α {\displaystyle \epsilon =1-\alpha } α {\displaystyle \alpha} α {\displaystyle \alpha} ε {\displaystyle \varepsilon } ϵ {\displaystyle \epsilon }
  3. ^ Shorrocks, AF (1980). 加法的に分解可能な不等式指標のクラス. Econometrica , 48 (3), 613–625, doi :10.2307/1913126

参考文献

  • アトキンソン, AB (1970) 不平等の測定について. Journal of Economic Theory , 2 (3), pp. 244–263, doi :10.1016/0022-0531(70)90039-6. この不平等指標を提案した原論文。
  • Allison PD (1978) 「不平等の尺度」American Sociological Review、43、pp. 865–880。アトキンソン指標の特性に関する専門的な議論を提示している。アトキンソン指数の計算式には誤りがあり、Allison (1979) で訂正されている。
  • アリソン、PD（1979）「ジャッソへの返答」アメリカ社会学評論44（5）：870–72。
  • Biewen M, Jenkins SP (2003). 複雑な調査データからの一般化エントロピー指数とアトキンソン不等式指数の推定. IZAディスカッションペーパー #763. アトキンソン指数の統計的推論を提供する。
  • ランバート、P.（2002）『所得の分配と再分配』第3版、マンチェスター大学出版局、ISBN 978-0-7190-5732-8。
  • Sen A, Foster JE (1997)経済不平等について、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-828193-1（本書で選択した数式のためのPythonスクリプト）
  • 世界所得不平等データベース（2011年3月13日アーカイブ、Wayback Machine） 、世界開発経済研究所より
  • 所得格差、1947～1998年、米国国勢調査局より。

ソフトウェア：

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  • 無料計算機:アトキンソン不等式、ジニ不等式、フーバー不等式を計算するオンラインおよびダウンロード可能なスクリプト ( PythonおよびLua )
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  • MATLAB不等式パッケージ（Wayback Machineに2008年10月4日にアーカイブ）には、ジニ係数、アトキンソン係数、タイル係数の計算とローレンツ曲線のプロットのためのコードが含まれています。多くの例題が用意されています。
  • Stataの不等式パッケージ：ineqdeco（不等式をグループごとに分解）、svygeiとsvyatk（一般化エントロピーとアトキンソン指数の設計整合分散の計算）、glcurve（一般化ローレンツ曲線の計算）です。ssc install ineqdecoこれらのパッケージをインストールするには、Stataのプロンプトに「etc」と入力してください。
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