ビハム・ミドルトン・レヴィン交通モデル
セルオートマトン交通流モデル

ビハム・ミドルトン・レバイン交通モデルは、自己組織化 セルオートマトン 交通流モデルである。ランダムな開始位置を持つ格子上の点で表現される多数の車で構成され、各車は2種類に分類される。下方向のみに移動する車（本稿では青で表示）と右方向のみに移動する車（本稿では赤で表示）である。2種類の車は交互に移動する。各ターンでは、対応する種類の車はすべて、他の車に邪魔されない限り1歩ずつ前進する。これは、より単純なルール184モデルの2次元版と考えることができる。相転移と自己組織化を示す最も単純なシステムと言えるだろう。[1]

歴史

Biham–Middleton–Levine交通モデルは、Ofer Biham、A. Alan Middleton、Dov Levineによって1992年に初めて定式化されました。 [2] Bihamらは、交通密度が増加すると、定常交通が滑らかな流れから突然完全な渋滞に変わることを発見しました。2005年に、Raissa D'Souzaは、いくつかの交通密度について、渋滞と滑らかな流れが周期的に発生する中間段階があることを発見しました。[3]同じ年、Angel、Holroyd、Martinは、密度が1に近い場合、システムは常に渋滞することを厳密に証明した最初の人物でした。[4]その後、2006年に、Tim AustinとItai Benjaminiは、N辺の正方格子の場合、 N /2台未満の車があれば、モデルは常に自己組織化して最高速度に達することを発見しました。[5]

格子空間

車が動くトーラスの基本多角形

車は通常、位相的にトーラスと同等の正方格子上に配置されます。つまり、右端から移動した車は左端に再び現れ、下端から移動した車は上端に再び現れます。

正方形格子の代わりに長方形格子を用いた研究も行われています。互いに素な寸法を持つ長方形の場合、中間状態は自己組織化されたジャムと自由流動の帯状構造となり、詳細な幾何学的構造を持ち、時間とともに周期的に繰り返されます。[3] 互いに素でない長方形の場合、中間状態は周期的ではなく、無秩序であることが一般的です。[3]

相転移

このモデルは単純であるにもかかわらず、渋滞段階と自由流動段階という2つの明確に区別できる段階がある。[2]車両の数が少ない場合、システムは通常、スムーズな交通の流れを実現するように自ら組織化する。一方、車両の数が多い場合、システムは一台も動かないほど渋滞する。典型的には、正方格子において、格子内の空間の約32%の車両数が存在するときに、遷移密度となる。[6]

交通密度28%の144×89の長方形格子上で観測された自由流動相
144×89の長方形格子上で観測された、交通密度60%のグローバル渋滞位相
64000回の反復処理後、密度27%の512×512格子。トラフィックは自由流動段階にある。
64000回の反復処理後、512×512の格子の密度は29%。トラフィックは自由流動状態にある。
64000回の反復処理後、512×512の格子の密度は38%。交通は世界的に渋滞している。
上記の格子における時間に対する移動性。移動性は、移動可能な車の台数の割合として定義されます。（点は画像の左上隅にあります。）
上記の格子における時間に対する移動性。移動性は、移動可能な車の台数の割合として定義されます。（点は画像の左上隅にあります。）
上記の格子における時間に対する移動性。移動性は、移動可能な車の台数の割合として定義されます。（点は画像の左側にあります。）

中間段階

中間相は遷移密度付近で発生し、ジャム相とフリーフロー相の両方の特徴を併せ持つ。中間相には主に2種類あり、無秩序相（準安定状態となる可能性あり）と周期相（安定状態であることが証明されている）である。[3]互いに素な次元を持つ長方形格子上では、周期軌道のみが存在する。[3] 2008年には、正方格子でも周期的中間相が観測された。[7]しかし、正方格子上では無秩序な中間相の方がより頻繁に観測され、遷移領域付近の密度で は支配的となる傾向がある。

交通密度38%の144×89の長方形格子上で観測された周期的な中間位相
144×89の長方形格子上で観測された無秩序な中間相（交通密度39%）
64000回の反復処理後、密度が31%の512×512格子。トラフィックは無秩序な中間段階にある。
64000回の反復処理後、密度が33%の512×512格子。トラフィックは無秩序な中間段階にある。
64000回の反復処理後、密度が37%の512×512格子。トラフィックは無秩序な中間段階にある。
上記の格子における時間に対する移動性。移動性は、移動可能な車の台数の総数に対する割合として定義されます。
上記の格子における時間に対する移動性。移動性は、移動可能な車の台数の総数に対する割合として定義されます。
上記の格子における時間に対する移動性。移動性は、移動可能な車の台数の総数に対する割合として定義されます。

厳密な分析

モデルは単純であるにもかかわらず、厳密な解析は非常に困難である。[6]とはいえ、ビハム・ミドルトン・レヴィン交通モデルについては数学的な証明がなされている。これまでの証明は、交通密度の極端な例に限られている。2005年、アレクサンダー・ホルロイドらは、交通密度が1に十分近い場合、システムには無限に頻繁に移動する車が存在しないことを証明した。[4] 2006年、ティム・オースティンとイタイ・ベンジャミニは、正方格子の辺の長さの半分未満の車数であれば、モデルは常に自由流動段階に達することを証明した。[5]

非有向面

モデルは典型的には有向トーラス上で研究されるが、クラインの壺上に格子を実装することは可能である。[8]赤い車が右端に到達すると、垂直方向に反転されて左端に再び現れる。つまり、一番下の車は今度は一番上になり、その逆もまた同様である。より正式には、任意の に対して、サイトから出る赤い車はサイト に入る。また、これを実射影平面上に実装することも可能である。[8]赤い車を反転することに加えて、同じことが青い車についても行われる。つまり、任意の に対して、サイトから出る青い車はサイト に入る。 y ∈ { 0 、 … 、 北 − 1 } {\displaystyle y\in \lbrace 0,\ldots ,N-1\rbrace } （ 北 − 1 、 y ） {\displaystyle (N-1,y)} （ 0 、 北 − y − 1 ） {\displaystyle (0,Ny-1)} × ∈ { 0 、 … 、 北 − 1 } {\displaystyle x\in \lbrace 0,\ldots ,N-1\rbrace } （ × 、 北 − 1 ） {\displaystyle (x,N-1)} （ 北 − × − 1 、 0 ） {\displaystyle (Nx-1,0)}

クラインの壺上のシステムの挙動は、実射影平面上のシステムよりもトーラス上のシステムの挙動に非常に類似している。[8]クラインの壺の場合、密度の関数としての移動度はトーラスの場合よりもわずかに早く減少し始めるが、臨界点よりも高い密度では同様の挙動を示す。実射影平面上の移動度は、密度がゼロから臨界点までの範囲ではより緩やかに減少する。実射影平面では、格子の残りの部分が自由に流れているにもかかわらず、格子の角で局所的な詰まりが発生することがある。[8]

ランダム化

BML交通モデルのランダム化変種であるBML-Rは2010年に研究されました。[9]周期境界下では、各ステップで同じ色のすべての車を一度に更新するのではなく、ランダム化モデルは更新を実行します（ここで、はおそらく正方格子の辺の長さです）。つまり、各ステップでランダムにセルが選択され、そこに車が含まれている場合は、可能であれば次のセルに移動します。この場合、ランダム化モデルの非決定論的性質により、通常のBML交通モデルで観察される中間状態は存在せず、代わりに渋滞フェーズから自由流動フェーズへの遷移が急激になります。 L 2 {\displaystyle L^{2}} L {\displaystyle L}

開放境界条件下では、一方の辺から外れた車が反対側に回り込むのではなく、左辺と上辺に確率的に新しい車が追加され、右辺と下辺からそれぞれ確率的に除去されます。この場合、システム内の車の数は時間とともに変化する可能性があり、局所的な渋滞によって格子は通常のモデルとは大きく異なる外観を呈する可能性があります。例えば、渋滞と自由走行領域が共存したり、大きな空きスペースが存在したり、ほとんどが1種類の車で構成されたりすることがあります。[9] α {\displaystyle \alpha} β {\displaystyle \beta}

参考文献

  1. ^ D'Souza, Raissa. 「Biham–Middleton–Levine交通モデル」 . 2015年1月4日閲覧。
  2. ^ ab Biham, Ofer ; Middleton, A. Alan ; Levine, Dov (1992年11月). 「交通流モデルにおける自己組織化と動的遷移」. Phys. Rev. A . 46 (10). American Physical Society: R6124 – R6127 . arXiv : cond-mat/9206001 . Bibcode :1992PhRvA..46.6124B. doi :10.1103/PhysRevA.46.R6124. ISSN  1050-2947. PMID  9907993. S2CID  14543020. 2013年2月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2012年12月14日閲覧。
  3. ^ abcde D'Souza, Raissa M. (2005). 「交通流のためのセルラーオートマトンモデルの共存相と格子依存性」. Phys. Rev. E. 71 ( 6) 066112. アメリカ物理学会. Bibcode :2005PhRvE..71f6112D. doi :10.1103/PhysRevE.71.066112. PMID 16089825. 2013年2月24日時点のオリジナル よりアーカイブ。 2012年12月14日閲覧。
  4. ^ ab Angel, Omer; Holroyd, Alexander E.; Martin, James B. (2005年8月12日). 「Biham–Middleton–Levineトラフィックモデルの渋滞フェーズ」. Electronic Communications in Probability . 10 : 167– 178. arXiv : math/0504001 . Bibcode :2005math......4001A. doi :10.1214/ECP.v10-1148. ISSN  1083-589X. S2CID  10913106. 2016年3月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2012年12月14日閲覧。
  5. ^ ab Austin, Tim; Benjamini, Itai (2006). 「Biham–Middleton–Levine交通モデルにおいて、どのような初期配置からでも何台の車が自己組織化を起こす必要があるか？」arXiv : math/0607759 .
  6. ^ ab Holroyd, Alexander E. 「Biham–Middleton–Levine Traffic Model」 . 2012年12月14日閲覧。
  7. ^ Linesch, Nicholas J.; D'Souza, Raissa M. (2008年10月15日). 「BML交通渋滞モデルにおける周期的状態、局所的効果、および共存」. Physica A. 387 ( 24): 6170– 6176. arXiv : 0709.3604 . Bibcode :2008PhyA..387.6170L. doi :10.1016/j.physa.2008.06.052. ISSN  0378-4371. S2CID  18321146.
  8. ^ abcd カンポラ、ダニエル;デ・ラ・トーレ、ハイメ。ガルシア・バスケス、フアン・カルロス。カパリーニ、フェルナンド・サンチョ（2010年8月）。 「方向付け不可能な表面上の BML モデル」。フィジカA. 389 (16): 3290–3298。Bibcode :2010PhyA..389.3290C。土井：10.1016/j.physa.2010.03.037。hdl : 11441/107117。
  9. ^ ab Ding, Zhong-Jun; Jiang, Rui; Wang, Bing-Hong (2011). 「ランダム更新規則を適用したBiham–Middleton–Levineモデルにおける交通流」. Physical Review E. 83 ( 4) 047101. Bibcode :2011PhRvE..83d7101D. doi :10.1103/PhysRevE.83.047101. PMID  21599339.
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