ベール関数

数学において、ベール関数とは、関数列の点ごとの極限を形成する操作を超限反復することによって連続関数から得られる関数である。 1899年にルネ＝ルイ・ベールによって導入された。ベール集合とは、特性関数がベール関数である集合である。

ベール関数の分類

一部の著者は、α クラスの関数から α クラスの関数をすべて取り除くことで、クラスを若干異なる方法で定義しています。これは、各ベール関数は明確に定義されたクラスを持つものの、与えられたクラスの関数はもはやベクトル空間を形成しないことを意味します。

アンリ・ルベーグは、（単位区間上の関数について）可算順序数の各ベール類にはそれより小さい類に属さない関数が含まれ、どのベール類にも属さない関数が存在することを証明した。

例:

微分可能関数の導関数はクラス1です。微分可能関数の導関数が連続ではない（x = 0において）例としては、 x ≠ 0の場合にはに等しい関数、 x = 0の場合には 0 に等しい関数が挙げられます。類似の関数の無限和（有理数でスケールおよび変位）は、稠密集合上で導関数が不連続となる微分可能関数を与えることさえあります。しかし、この関数は必然的に連続点を持ち、これはベールの特徴づけ定理（以下、 K = X = Rとする）から容易に導かれます。 $x^{2}\sin(1/x)$
整数集合の特性関数。xが整数の場合は 1、それ以外の場合は 0 になります。(大きな不連続点が無数にあります。)
トーマ関数は、無理数xに対して 0 、有理数p / q （簡約形）に対して1/ qとなる。（不連続点の稠密な集合、すなわち有理数の集合。）
カントール集合の特性関数は、 x がカントール集合に含まれる場合は 1 、含まれない場合は 0 となります。この関数は、 xの値が非可算集合の場合は 0 、非可算集合の場合は 1 となります。この関数は、1 となる点では不連続であり、0 となる点では連続です。この関数は連続関数で近似されます。ここで、はカントール集合内の最も近い点から x までの距離です。 $g_{n}(x)=\max(0,{1-nd(x,C)})$ $d(x,C)$

ベールの特徴づけ定理は、バナッハ空間X上で定義された実数値関数fがベール 1 関数となるためには、 Xのすべての空でない閉部分集合Kに対して、fのKへの制限がKの位相に対して連続点を持つ必要があることを述べています。

クラス 1 ではない区間 [0,1] 上の Baire クラス 2 関数の例としては、有理数の特性関数が挙げられます。これは、どこでも不連続であるディリクレ関数としても知られています。 $\chi _{\mathbb {Q} }$

証拠

2つの証明を提示します。

これは、任意の有理数の有限集合に対して、この集合の特性関数がBaire 1であることに注目すればわかる。つまり、関数はの特性関数（ここでは有理数の有限集合）に等収束する。有理数は可算なので、（ここでは有理数の列挙）上の点ごとの極限を見ることができる。これは、前述の定理によりBaire-1ではない。不連続点の集合は区間全体である（もちろん、連続点の集合は区間全体ではない）。 $g_{n}(x)=\max(0,{1-nd(x,K)})$ $K$ $K$ $K_{n}=\{r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}\}$ $r_{n}$
ディリクレ関数は、次のように、連続関数の列の二重点極限として構築できます。

\forall x\in \mathbb {R} ,\quad \chi _{\mathbb {Q} }(x)=\lim _{k\to \infty }\left(\lim _{j\to \infty }\left(\cos(k!\pi x)\right)^{2j}\right)

整数jとkの場合。

^ジェック、トーマス（1981年11月）「決定性のすばらしい新世界」アメリカ数学会報5 ( 3): 339–349 . doi : 10.1090/S0273-0979-1981-14952-1 .

ベア、ルネ＝ルイ (1899)。Sur les fonctions de variables réelles (Ph.D.) (フランス語)。エコール・ノルマル・シュペリウール。
ベール、ルネ＝ルイ (1905 年)、Leçons sur les fonctions の廃止、professées au collège de France (フランス語)、Gauthier-Villars
Kechris, Alexander S. (1995), Classical Descriptive Set Theory , Graduate Texts in Mathematics, vol. 156, Springer-Verlag, ISBN 978-1-4612-8692-9