ガラスバッチ計算

ガラスバッチ計算またはガラスバッチングは、ガラス溶融物の原材料 (バッチ) の正しい混合を決定することです。

原理

ガラス溶融のための原料混合物は「バッチ」と呼ばれます。所望のガラス組成を得るためには、バッチを適切に計量する必要があります。バッチ計算は、一般的な線形回帰式に基づいています。

$N_{B}=(B^{T}\cdot B)^{-1}\cdot B^{T}\cdot N_{G},$

ここで、 $N b$ と $N G は$ それぞれバッチ成分とガラス成分の1列行列の形で表されたモル濃度であり、 $Bは$ バッチ行列である。^[1]^[2]^[3]記号「^T」は行列転置演算、「^-1」は行列反転、「·」は行列乗算を表す。モル濃度行列 $Nから、適切な$ モル質量を用いて重量パーセント（wt%）を簡単に導くことができる。

計算例

バッチ計算の例を以下に示します。目標ガラス組成（重量%）は、SiO ₂が67% 、Na ₂ Oが12% 、CaOが10% 、Al ₂ O ₃が5%、K ₂ Oが1% 、MgOが2% 、B ₂ O _{3 が3} %です。原料として、砂、トロナ、石灰、アルバイト、正長石、ドロマイト、ホウ砂を使用します。ガラスおよびバッチ成分の組成式とモル質量は、以下の表に記載されています。

ガラス成分の配合	ガラス成分の所望濃度、重量％	ガラス成分のモル質量、g/mol	バッチコンポーネント	バッチコンポーネントの式	バッチ成分のモル質量、g/mol
SiO2	67	60.0843	砂	SiO2	60.0843
ナトリウム_2O	12	61.9789	トロナ	Na ₃ H(CO ₃ ) ₂ ·2H ₂ O	226.0262
酸化カルシウム	10	56.0774	ライム	CaCO3	100.0872
アルミニウム	5	101.9613	アルバイト	Na ₂ O·Al ₂ O ₃ ·6SiO ₂	524.4460
K ₂ O	1	94.1960	正長石	K ₂ O·Al ₂ O ₃ ·6SiO ₂	556.6631
酸化マグネシウム	2	40.3044	ドロマイト	MgCa(CO ₃ ) ₂	184.4014
B ₂ O ₃	3	69.6202	ホウ砂	Na ₂ B ₄ O ₇ ·10H ₂ O	381.3721

バッチマトリックス $Bは$ 、バッチ（列）とガラス（行）のモル濃度の関係を示します。例えば、バッチ成分SiO _{2 は}ガラスに1モルのSiO ₂を添加するため、最初の列と行の交点は「1」となります。トロナはガラスに1.5モルのNa ₂ Oを添加、アルバイトは6モルのSiO ₂、1モルのNa ₂ O、1モルのAl ₂ O ₃を添加、といった具合です。上記の例における完全なバッチマトリックスを以下に示します。ガラスのモル濃度マトリックス $N$ $G は$ 、所望のwt%濃度を適切なモル質量で割るだけで簡単に算出できます。例えば、SiO ₂の場合、67/60.0843 = 1.1151となります。

\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}1&0&0&6&6&0&0\\0&1.5&0&1&0&0&1\\0&0&1&0&0&1&0\\0&0&0&1&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&2\end{bmatrix}}

\mathbf {N_{G}} ={\begin{bmatrix}1.1151\\0.1936\\0.1783\\0.0490\\0.0106\\0.0496\\0.0431\end{bmatrix}}

得られたバッチのモル濃度行列 $N B$ はここに与えられます。バッチ成分の適切なモル質量を乗じることで、バッチ質量分率行列 $M B$ が得られます。

$\mathbf {N_{B}} ={\begin{bmatrix}0.82087\\0.08910\\0.12870\\0.03842\\0.01062\\0.04962\\0.02155\end{bmatrix}}$ $\mathbf {M_{B}} ={\begin{bmatrix}49.321\\20.138\\12.881\\20.150\\5.910\\9.150\\8.217\end{bmatrix}}$ または $\mathbf {M_{B}(100\%正規化)} ={\begin{bmatrix}39.216\\16.012\\10.242\\16.022\\4.699\\7.276\\6.533\end{bmatrix}}$

上記のように合計が100%になるように正規化されたマトリックス $M B$ には、最終的なバッチ組成（重量%）が含まれています。砂39.216、トロナ16.012、石灰10.242、アルバイト16.022、正長石4.699、ドロマイト7.276、ホウ砂6.533です。このバッチをガラスに溶解すると、上記の目的の組成が得られます。^[4]ガラスの溶解中、二酸化炭素（トロナ、石灰、ドロマイト由来）と水（トロナ、ホウ砂由来）が蒸発します。

簡単なガラスバッチ計算はワシントン大学のウェブサイトで見つけることができます。^[5]

最適化による高度なバッチ計算

ガラスとバッチ成分の数が等しくない場合、選択したバッチ成分を使用して目的のガラス組成を正確に得ることが不可能な場合、または他の理由（つまり、行/列が線形従属である）で行列方程式が解けない場合は、最適化手法によってバッチ組成を決定する必要があります。

参照

参考文献

^ YB Peng、Xingye Lei、DE Day：「バッチ計算を最適化するためのコンピュータプログラム」、ガラス技術、第32巻、1991年、第4号、123～130ページ。
^ MM Khaimovich、K. Yu. Subbotin：「バッチフォーミュラ計算の自動化」、Glass and Ceramics、vol. 62、no 3-4、2005年3月、p 109–112。
^ AI Priven：「プログラム可能なマイクロ計算機によるバッチ重量の計算」、Glass and Ceramics、vol. 43、no 11、1986年11月、p 488–491。
^ 参照: 無料のガラスバッチ計算機
^ 「ガラスの溶融」。Battelle PNNL MSTハンドブック。米国エネルギー省パシフィック・ノースウェスト研究所。2010年5月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2008年1月26日閲覧。

[1] YB Peng、Xingye Lei、DE Day：「バッチ計算を最適化するためのコンピュータプログラム」、ガラス技術、第32巻、1991年、第4号、123～130ページ。

[2] MM Khaimovich、K. Yu. Subbotin：「バッチフォーミュラ計算の自動化」、Glass and Ceramics、vol. 62、no 3-4、2005年3月、p 109–112。

[3] AI Priven：「プログラム可能なマイクロ計算機によるバッチ重量の計算」、Glass and Ceramics、vol. 43、no 11、1986年11月、p 488–491。

[4] 参照: 無料のガラスバッチ計算機

[5] 「ガラスの溶融」。Battelle PNNL MSTハンドブック。米国エネルギー省パシフィック・ノースウェスト研究所。2010年5月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2008年1月26日閲覧。