ベンツ飛行機

数学において、ベンツ平面は2次元 幾何学構造の一種であり、ドイツの 数学者 ヴァルター・ベンツにちなんで名付けられました。この用語は、特定の構造の共通の公理化から生じる一群のオブジェクトに適用され、メビウス平面、ラゲール平面、ミンコフスキー平面の3つのファミリーに分かれ、それぞれ個別に導入されました。^{[1] [2]}

メビウス面

古典的なメビウス平面：2D/3Dモデル

実 ユークリッド平面から始めて、直線の集合を円の集合と合併してブロックの集合を形成すると、不均質な入射構造が得られます。つまり、3 つの異なる点が 1 つのブロックを決定しますが、直線は、1 つの点で互いに交差し、接しない (または平行の場合は点がない) ブロックの集合として区別できます。すべての直線上にあると定義される新しい点 を点集合に追加すると、すべてのブロックがちょうど 3 つの点と、均一なパターン (2 点で交差、接線、または非交差) に従う任意の 2 つのブロックの交差によって決定されることになります。この均質な幾何学は、古典的な反転幾何学またはメビウス平面と呼ばれます。記述 (直線、円、新しい点) の不均質性は、3 次元モデルを使用することによって実質的でないことがわかります。ステレオ投影を使用すると、古典的なメビウス平面は、ユークリッド 3 次元空間の球面上の 平面セクション(円)の幾何学と同型であると考えられます。${\displaystyle \infty}$

（公理的）射影平面と同様に、（公理的）メビウス平面は入射構造を定義します。メビウス平面は実数体以外の 体上にも同様に構成できます。

ラゲール平面

古典的なラゲール平面：2D/3Dモデル

から再び出発し、方程式（放物線と直線）を持つ曲線をブロックとしてとらえると、次の同次化が有効になります。曲線に新しい点を追加します。したがって、点の集合は です。この放物線の幾何学は、古典的なラゲール平面と呼ばれます（もともとは、有向直線と円の幾何学として設計されました。両方の幾何学は同型です）。 ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle (\infty,a)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} \cup {\infty })\times \mathbb {R} }$

メビウス平面については、3次元モデル、すなわち直交円筒（）上の楕円平面切断の幾何学が存在する。抽象化により（メビウス平面と同様に）公理的なラゲール平面が得られる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ミンコフスキー平面

古典ミンコフスキー平面：2D/3Dモデル

直線から出発し、直線と双曲線を統合してブロックの集合を得るという考え方により、接続構造は均質化されます。任意の直線に点 を 、任意の双曲線に2点 を追加します。したがって、点集合は となります。この双曲線の幾何学は、古典的なミンコフスキー平面と呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y=mx+d,m\neq 0}$ ${\displaystyle y={\tfrac {a}{xb}}+c,a\neq 0}$ ${\displaystyle (\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle y={\tfrac {a}{xb}}+c,a\neq 0}$ ${\displaystyle (b,\infty ),(\infty ,c)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} \cup \{\infty \})^{2}}$

古典的なメビウス平面やラゲール平面と同様に、3次元モデルが存在する。古典的なミンコフスキー平面は、3次元射影空間における1枚双曲面（指数2の非退化二次曲面）の平面切断の幾何学と同型である。最初の2つの場合と同様に、（公理的な）ミンコフスキー平面が得られる。

平面円幾何学またはベンツ平面

円 (射影平面の非退化円錐として考えられる) の本質的な役割と元のモデルの平面記述により、3 種類の幾何学は平面円幾何学、またはこれらの幾何学的構造を共通の観点から考えた Walter Benz に敬意を表して Benz 平面にまとめられます。

参照

• 共形幾何学
• 二次曲面
• 射影平面
• ラゲール変換

参考文献

1. W. Benz、Vorlesungen über Geomerie der Algebren、Springer (1973)
2. F. Buekenhout（編）, Handbook of Incidence Geometry , Elsevier（1995）ISBN 0-444-88355-X

• Francis Buekenhout (1981)「Les plan de Benz」、Journal of Geometry 17(1):61–8。

外部リンク

• 数学百科事典のベンツ飛行機
• エーリッヒ・ハルトマン『平面円幾何学、メビウス平面、ラゲール平面、ミンコフスキー平面入門』（ダルムシュタット工科大学）