ベルヌーイ四分問題
三角形を垂直線で分割する
三角形の2つの垂直四等分線。図示の三角形は、正確に2つの垂直四等分線が存在する唯一の二等辺三角形である。[1]

三角形幾何学において、ベルヌーイ四等分問題は、与えられた三角形を2本の垂直線で4つの等面積の部分に分割する方法を問う問題である。ヤコブ・ベルヌーイによるその解は1687年に発表された。[1] [2] レオンハルト・オイラーは1779年に完全な解を定式化した。[1] [3]

オイラーが証明したように、不等辺三角形では、直線と三角形の4つの交点のうち2つが三角形の中央の辺上にあるように分割することができ、その辺から三角形領域が切り離され、残りの3つの領域は四辺形のままになる。[1] [3]また、三角形によっては、3辺のうち最短の辺に2つの交点を置くなど、異なる方法で分割できる場合もある。しかし、最長の辺に2つの交点を置くことはあり得ない。二等辺三角形のうち、頂点の高さが底辺の長さの8/9である三角形だけが、ちょうど2つの垂直な四分線を持つ。2つのうちの1つは対称軸を2本の垂直線の1本として使い、もう1つは2本の傾斜線を持ち、それぞれが底辺と1辺とを横切る。[1] ± 1 {\displaystyle \pm 1}

この三角形の分割は、リチャード・クーラントとハーバート・ロビンズの定理の特殊なケースであり、任意の平面領域は2本の垂直線で4つの等しい部分に分割できるという結果であり、ハムサンドイッチ定理に関連しています。[4]三角形の四分割には低次多項式の根を含む解がありますが、[1]クーラントとロビンズのより一般的な四分割は大幅に困難です。つまり、任意の計算可能な数に対して、 多項式時間の任意の誤差内で境界を に正確に近似できる凸形状が存在し、その構築により が計算されます。[5] α {\displaystyle \alpha} α {\displaystyle \alpha}

2022年、アイルランドの中等学校の科学コンテスト「若手科学者技術展」で、アディティア・ジョシとアディティア・クマールによる、メタヒューリスティック手法を用いてベルヌーイ四分問題の数値解を求めるプロジェクトが1位を獲得しました。 [6]

注釈と参考文献

  1. ^ abcdef エバーハート、カール (2018)、「ヤコブ・ベルヌーイの四分問題の再考」(PDF)、フォーラム幾何学、18 : 7–16、arXiv : 1611.06658、MR  3755894
  2. ^ ベルヌーイ、ヤコブ; Battier、Jean Jacques (1744)、「XXIX: Solutio algebraica questionatis de fourrisectione trianguliscaleni, per duas Normales Rectas」、Jacobi Bernoulli、Basileensis、Opera (ラテン語)、Sumptibus Hæredum Cramer & Fratrum Philibert、pp.  228–335、doi :10.3931/E-RARA-3584
  3. ^ ab Euler、Leonhard (1779)、「Solutio completa questionatis de fourrisectione trianguli per duas rectas inter se Normales」、Mémoires de l'académie des Sciences de St.-Petersbourg (ラテン語)、1 : 49–87
  4. ^ クーラント、リチャード、ロビンズ、ハーバート（1941年）「6.1. ボルツァーノの定理のいくつかの応用：幾何学的応用」『数学とは何か』、ニューヨーク：オックスフォード大学出版局、pp.  317– 319、MR  0005358
  5. ^ Yu, Fuxiang (2007)、「パンケーキ問題の複雑さについて」、数学論理誌、53 ( 4–5 ): 532– 546、doi :10.1002/malq.200710016、MR  2351948
  6. ^ エル・ハサニー、リーム (2022 年 1 月 15 日)、ダブリンの学生が BT ヤングサイエンティストで最優秀賞を受賞、ライディオ・テイリフィス・エイリアン


スタブアイコン

この幾何学関連の記事はスタブです。記事を拡張することでWikipediaに貢献できます。

「https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=ベルヌーイ四分法問題&oldid=1263508453」より取得