バーンスタイン定数

ベルンシュタイン定数は、通常ギリシャ文字のβ（ベータ）で表され、セルゲイ・ナタノビッチ・ベルンシュタインにちなんで名付けられた数学定数であり、0.2801694990に等しい。^[1]

意味

区間[−1, 1]上の実関数ƒ ( x )に対するn次以下の実多項式による最良一様近似の誤差をE _n (ƒ)とする。ƒ ( x ) = | x |の場合、Bernstein ^[2]は極限が

${\displaystyle \beta =\lim _{n\to \infty }2nE_{2n}(f),\,}$

バーンスタイン定数と呼ばれる定数が存在し、その値は0.278から0.286の間である。彼はその極限を次のように 予想した。

${\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}=0.28209\dots \,.}$

ヴァルガとカーペンター^[3]によって反証され、彼らは

${\displaystyle \beta =0.280169499023\dots \,.}$

参考文献

1. OEISの配列A073001）
2. SN バーンスタイン (1914)。 「度数多項式による超微小近似」。アクタ数学。37 : 1–57 .土井: 10.1007/BF02401828。
3. Varga, Richard S.; Carpenter, Amos J. (1987). 「近似理論におけるS. Bernsteinの予想」. Math. USSR Sbornik . 57 (2): 547– 560. Bibcode :1987SbMat..57..547V. doi :10.1070/SM1987v057n02ABEH003086. MR  0842399.

さらに読む

• ワイスタイン、エリック・W.「バーンスタインの定数」。マスワールド。