バーコフ補間

数学において、バーコフ補間は多項式補間の拡張です。これは、特定の導関数のみが特定の点において特定の値を持つような次数の多項式を求める問題を指します。 ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle P^{(n_{i})}(x_{i})=y_{i}\qquad {\mbox{for }}i=1,\ldots ,d,}$

ここで、データ点と非負整数が与えられます。エルミート補間とは異なり、下導関数や多項式自体を指定せずに、いくつかの点における導関数を指定できます。この名称は、1906年にこの問題を初めて研究したジョージ・デイヴィッド・バーコフに由来します。 ^[1]${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle P(x)}$

解の存在と一意性

ラグランジュ補間やエルミート補間とは対照的に、バーコフ補間問題は必ずしも一意の解を持つわけではない。例えば、および となるような二次多項式は存在しない。一方、およびの値が与えられたバーコフ補間問題には、常に一意の解が存在する。^[2]${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle P(-1)=P(1)=0}$ ${\displaystyle P^{(1)}(0)=1}$ ${\displaystyle P^{(1)}(-1),P(0)}$ ${\displaystyle P^{(1)}(1)}$

バーコフ補間理論における重要な問題は、一意に解ける問題を分類することである。シェーンベルク^[3]はこの問題を次のように定式化している。 を（上記と同様に）条件の数とし、を補間点の数とする。行列が与えられ、そのすべての要素が または であり、ちょうど の要素が であるとき、対応する問題は、 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle d\times k}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle P(x)}$

${\displaystyle P^{(j)}(x_{i})=y_{i,j}\qquad \forall (i,j)/e_{ij}=1}$

この行列は接続行列と呼ばれます。例えば、前段落で述べた補間問題の接続行列は次のようになります。 ${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\qquad \mathrm {and} \qquad {\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}.}$

ここでの疑問は、与えられた接続行列を持つバーコフ補間問題には、補間点のどのような選択に対しても一意の解があるかどうかです。 ${\displaystyle E}$

補間点 の問題は1931年にジョージ・ポリアによって取り組まれました^。[4]を接続行列の 最初の列のエントリの合計とします。${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle S_{m}}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle S_{m}=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{m}e_{ij}.}$

すると、 のバーコフ補間問題には、の場合にのみ一意の解が存在します。シェーンベルクは、 のすべての値に対してこれが必要条件であることを示しました。 ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle S_{m}\geqslant m\quad \forall m}$ ${\displaystyle k}$

いくつかの例

となるような上の微分可能関数を考えてみましょう。 となるバーコフ補間2次多項式は存在しないことを見てみましょう。ただしです。なので、この多項式は（平方完成によって） と書くことができます。ここで は補間係数に過ぎません。補間多項式の導関数は で与えられます。これは を意味しますが、 は必ずしも ではないため、これは不合理です。接続行列は で与えられます。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ${\displaystyle P^{(1)}(c)=f^{(1)}(c)}$ ${\displaystyle c={\frac {a+b}{2}}}$ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ${\displaystyle P(x)=A(x-c)^{2}+B}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle P^{(1)}(x)=2A(x-c)^{2}}$ ${\displaystyle P^{(1)}(c)=0}$ ${\displaystyle f^{(1)}(c)}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}_{3\times 3}}$

上の 微分可能関数を考え、を と表記する。そして となるバーコフ補間二次多項式が存在することを確認しよう。となるような、ノード におけるの補間多項式を構築せよ。したがって、多項式 :はバーコフ補間多項式である。接続行列は次のように与えられる。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle x_{0}=a,x_{2}=b}$ ${\displaystyle x_{1}\in [a,b]}$ ${\displaystyle P(x_{1})=f(x_{1})}$ ${\displaystyle P^{(1)}(x_{0})=f^{(1)}(x_{0}),P^{(1)}(x_{2})=f^{(1)}(x_{2})}$ ${\displaystyle f^{(1)}(x)}$ ${\displaystyle x_{0},x_{2}}$ ${\displaystyle \displaystyle P_{1}(x)={\frac {f^{(1)}(x_{2})-f^{(1)}(x_{0})}{x_{2}-x_{0}}}(x-x_{0})+f^{(1)}(x_{0})}$ ${\displaystyle \displaystyle P_{2}(x)=f(x_{1})+\int _{x_{1}}^{x}\!P_{1}(t)\;\mathrm {d} t}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}_{3\times 3}}$

自然数と上の微分可能関数 が与えられたとき、に対してかつとなる多項式が存在するでしょうか？に対してを満たすラグランジュ/ニュートン多項式（補間多項式は同じだが、計算と表現の形式が異なる）を構築すると、この多項式は上記の条件を満たすバーコフ補間多項式になります。接続行列は次のように与えられます。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle P(x_{0})=f(x_{0})}$ ${\displaystyle P^{(1)}(x_{i})=f^{(1)}(x_{i})}$ ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},\cdots ,x_{N}\in [a,b]}$ ${\displaystyle P_{N-1}(x)}$ ${\displaystyle P_{N-1}(x_{i})=f^{(1)}(x_{i})}$ ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$ ${\displaystyle \displaystyle P_{N}(x)=f(x_{0})+\int _{x_{0}}^{x}\!P_{N-1}(t)\;\mathrm {d} t}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&1&0&\cdots &0\\\end{pmatrix}}_{N\times N}}$

自然数と上の微分可能関数が与えられたとき、 かつとなる多項式が存在するでしょうか？および における の補間多項式として を構築し、となるようにします。次に を反復します。 はバーコフ補間多項式です。接続行列は次のように与えられます。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 2N}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle P^{(k)}(a)=f^{(k)}(a)}$ ${\displaystyle P^{(k)}(b)=f^{(k)}(b)}$ ${\displaystyle k=0,2,\cdots ,2N}$ ${\displaystyle P_{1}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle x=b}$ ${\displaystyle P_{1}(x)={\frac {f^{(2N)}(b)-f^{(2N)}(a)}{b-a}}(x-a)+f^{(2N)}(a)}$ ${\displaystyle \displaystyle P_{k+2}(x)={\frac {f^{(2N-2k)}(b)-f^{(2N-2k)}(a)}{b-a}}(x-a)+f^{(2N-2k)}(a)+\int _{a}^{x}\!\int _{a}^{t}\!P_{k}(s)\;\mathrm {d} s\;\mathrm {d} t}$ ${\displaystyle P_{2N+1}(x)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&1&0\cdots \\1&0&1&0\cdots \\\end{pmatrix}}_{2\times N}}$

参考文献

1. バーコフ, ジョージ・デイヴィッド (1906). 「一般平均値と剰余定理とその機械的微分および求積法への応用」アメリカ数学会誌. 7 (1): 107– 136. doi : 10.1090/S0002-9947-1906-1500736-1 . ISSN  0002-9947.
2. “アメリカ数学会”.アメリカ数学会. 2022年5月19日閲覧。
3. Schoenberg, I. J (1966-12-01). 「エルミート-バーコフ補間について」. Journal of Mathematical Analysis and Applications . 16 (3): 538– 543. doi : 10.1016/0022-247X(66)90160-0 . ISSN  0022-247X.
4. Pólya、G. (1931)。「補間とバルケンビーグンの理論」。ZAMM - Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (ドイツ語)。11 (6): 445–449。書誌コード:1931ZaMM...11..445P。土井：10.1002/zamm.19310110620。