ブルーミング（幾何学）

多面体の連続展開

プラトン立体のブルーミング

凸多面体の幾何学において、ブルーミングまたは連続ブルーミングとは、多面体ネットを形成するために切断された多面体の表面を、平面上に重なり合うことなく平坦に配置することで、連続的に3次元的に運動させることである。剛体折り紙と同様に、ネットの多角形は運動中、それぞれが平坦な状態を維持しなければならず、互いに交差したり、交差したりしてはならない。ブルーミングを逆にして平坦なネットから多面体へと展開することは、直感的には、指定された折り目以外で紙を曲げることなく、紙のネットから多面体を折る方法と考えることができる。

1999年にBiedl、Lubiw、Sunが行ったブルーミングに関する初期の研究では、非凸だが位相的には球面状の多面体に対するネットにはブルーミングが見られないことが示されました。^[1]

すべての凸多面体がブルーミングを持つネットを許容するかどうかという問題は、ロバート・コネリーによって提起され、コネリーのブルーミング予想として知られるようになった。^[2]より具体的には、ミラーとパクは 2003 年に、指定されたソースポイントまでの複数の最短測地線を持つ点で多面体表面を切断するネット(多面体の面を横切る切断を含む) は必ずブルーミングを持つと示唆した。これは 2009 年にデメインらによって証明され、さらに、ポリゴンが単一のパスで接続されているすべての凸多面体ネットはブルーミングを持ち、すべてのネットはパス接続ネットに細分化できることが示された。^[3]凸多面体のすべてのネットがブルーミングを持つかどうかは不明であり、ミラーとパクはこの問題に関してどちらの方向でも予想を立てようとしなかった。^[2]

数学における未解決問題

凸多面体のネットにはすべてブルーミングがありますか?

数学におけるさらなる未解決問題

すべての凸多面体が、多面体の辺のみを切断し、面を切断しないネットを持つかどうかは不明である（「デューラーの予想」）。したがって、すべての凸多面体が辺のみを切断するブルーミングを持つかどうかも不明である。2009年の未発表論文において、イゴール・パクとロム・ピンチャシは、すべてのアルキメデス立体においてこれが実際に可能であると主張している。^[4]

多面体ネットのブルーミングを見つける問題は、運動計画の問題として計算的にアプローチされてきた。^[5]^[6]^[7]

参考文献

^ Biedl, Therese ; Lubiw, Anna ; Sun, Julie (2005)、「ネットはいつ多面体に折り畳まれるのか？」、計算幾何学、31 (3): 207– 218、doi : 10.1016/j.comgeo.2004.12.004、MR 21433211999年のカナダ計算幾何学会議で発表されました。
^ ab Miller, Ezra; Pak, Igor (2008)、「凸多面体の計量的組合せ論：カットロキと非重複展開」、離散幾何学と計算幾何学、39 ( 1–3 ): 339– 388、doi : 10.1007/s00454-008-9052-3、MR 23837652003年に発表されました。
^ デメイン、エリック D. ;ディメイン、マーティン・Ｌ．Hart, ヴァイ州;ジョン・イアコノ。ステファン・ランガーマン; O'Rourke、Joseph (2011)、「凸多面体の連続開花」、グラフと組み合わせ論、27 (3): 363–376、doi :10.1007/s00373-011-1024-3、hdl : 1721.1/67481、MR 2787423、S2CID 82408 2009年計算幾何学とグラフに関する日本会議で発表されました。
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^ Xi, Zhonghua; Lien, Jyh-Ming (2015年9月)、「多面体の連続展開 - 動作計画アプローチ」、2015 IEEE/RSJ 国際知能ロボット・システム会議 (IROS)、IEEE、pp. 3249– 3254、doi :10.1109/iros.2015.7353828、ISBN 978-1-4799-9994-1、S2CID 14376277
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[bilusu-1] Biedl, Therese ; Lubiw, Anna ; Sun, Julie (2005)、「ネットはいつ多面体に折り畳まれるのか？」、計算幾何学、31 (3): 207– 218、doi : 10.1016/j.comgeo.2004.12.004、MR 21433211999年のカナダ計算幾何学会議で発表されました。

[milpak-2] Miller, Ezra; Pak, Igor (2008)、「凸多面体の計量的組合せ論：カットロキと非重複展開」、離散幾何学と計算幾何学、39 ( 1–3 ): 339– 388、doi : 10.1007/s00454-008-9052-3、MR 23837652003年に発表されました。

[ddhilo-3] デメイン、エリック D. ;ディメイン、マーティン・Ｌ．Hart, ヴァイ州;ジョン・イアコノ。ステファン・ランガーマン; O'Rourke、Joseph (2011)、「凸多面体の連続開花」、グラフと組み合わせ論、27 (3): 363–376、doi :10.1007/s00373-011-1024-3、hdl : 1721.1/67481、MR 2787423、S2CID 82408 2009年計算幾何学とグラフに関する日本会議で発表されました。

[pakpin-4] Pak, Igor ; Pinchasi, Rom (2009), How to cut out a convex polyhedron (PDF) , archived from the original (PDF) on 2021-01-20 , retrieved 2021-06-21。 Demaineらによって引用されているように。（2011年）。

[sonama-5] Song, Guang; Amato, NM (2004年2月)、「折り畳み動作計画アプローチ：ペーパークラフトからタンパク質折り畳みまで」、IEEE Transactions on Robotics and Automation、20 (1): 60– 71、doi :10.1109/tra.2003.820926、S2CID 9636

[xilien-6] Xi, Zhonghua; Lien, Jyh-Ming (2015年9月)、「多面体の連続展開 - 動作計画アプローチ」、2015 IEEE/RSJ 国際知能ロボット・システム会議 (IROS)、IEEE、pp. 3249– 3254、doi :10.1109/iros.2015.7353828、ISBN 978-1-4799-9994-1、S2CID 14376277

[hakili-7] Hao, Yue; Kim, Yun-hyeong; Lien, Jyh-Ming (2018年6月)、「多面体ネットの高速かつ衝突のない折り畳みの合成」、第2回ACM計算ファブリケーションシンポジウム論文集、ACM、pp. 1– 10、doi : 10.1145/3213512.3213517、ISBN 978-1-4503-5854-5