ボックスシュタイン準同型

ホモロジー代数において 、マイヤー・ボックスシュタイン （1942、1943、1958）によって導入されたボックスシュタイン準同型は、短い完全列に関連付けられた接続準同型である。

${\displaystyle 0\to P\to Q\to R\to 0}$

アーベル群を鎖複体Cの 係数として導入すると、ホモロジー群では準同型写像として次数が1減少する形で 現れる。

${\displaystyle \beta \colon H_{i}(C,R)\to H_{i-1}(C,P).}$

より正確には、C は自由群、あるいは少なくとも捩れのないアーベル群の複体であり、ホモロジーはCとのテンソル積によって形成される複体のホモロジーである（何らかの平坦加群条件が加わる必要がある）。β の構成は通常の議論（snake lemma）によって行われる。

同様の構成がコホモロジー群にも適用できるが、今回は次数が1ずつ増加する。したがって、

${\displaystyle \beta \colon H^{i}(C,R)\to H^{i+1}(C,P).}$

係数列に関連する ボックシュタイン準同型${\displaystyle \beta}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to 0}$

はスティーンロッド代数の生成元の一つとして用いられる 。このボックスタイン準同型には以下の2つの性質がある。

${\displaystyle \beta \beta =0}$ 、

${\displaystyle \beta (a\cup b)=\beta (a)\cup b+(-1)^{\dim a}a\cup \beta (b)}$ ;

言い換えれば、空間の pを法とするコホモロジーに対して作用する超微分です。

参照

• ボックスシュタインスペクトル列

参考文献

• ボックスシュタイン、マイヤー(1942)、「∇-ホモロジー環の普遍系」、CR (Doklady) Acad. Sci. URSS、New Series、37 : 243– 245、MR  0008701
• ボックスシュタイン、マイヤー(1943)、「∇-ホモロジー次元の係数体の完全な体系」、CR (Doklady) Acad. Sci. URSS、New Series、38 : 187– 189、MR  0009115
• ボックスシュタイン、マイヤー (1958)、「相同性理論の計算式の計算」、科学アカデミーのコンプテス レンドゥス、シリーズ I、247 : 396–398、MR  0103918
• ハッチャー、アレン（2002）、代数的位相幾何学、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-79540-1、MR  1867354。
• スパニエ、エドウィン・H.（1981）『代数的位相幾何学』訂正再版、ニューヨーク・ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク、pp. xvi+528、ISBN 0-387-90646-0、MR  0666554