ボックスシュタインスペクトル列

数学において、ボックスシュタインスペクトル列（ボックスシュタインスペクトルれん）は、 pを法とする係数を持つホモロジー とpを法とする縮約ホモロジー を関連付けるスペクトル列である。マイヤー・ボックスシュタインにちなんで名付けられた。

意味

C を捩れのないアーベル群の鎖複体とし、pを素数とする。すると、次の正確な数列が得られる。

${\displaystyle 0\longrightarrow C{\overset {p}{\longrightarrow }}C{\overset {{\text{mod}}p}{\longrightarrow }}C\otimes \mathbb {Z} /p\longrightarrow 0.}$

積分ホモロジーHをとると、2 次アーベル群の 正確なペアが得られます。

${\displaystyle H_{*}(C){\overset {i=p}{\longrightarrow }}H_{*}(C){\overset {j}{\longrightarrow }}H_{*}(C\otimes \mathbb {Z} /p){\overset {k}{\longrightarrow }}.}$

採点が行われる場所：そして同じ${\displaystyle H_{*}(C)_{s,t}=H_{s+t}(C)}$ ${\displaystyle H_{*}(C\otimes \mathbb {Z} /p),\deg i=(1,-1),\deg j=(0,0),\deg k=(-1,0).}$

これはスペクトル列の最初のページを与えます。微分 を取ります。上記の正確な対の導関数対は2番目のページを与え、以下同様に続きます。明示的に、 は正確な対に当てはまります。 ${\displaystyle E_{s,t}^{1}=H_{s+t}(C\otimes \mathbb {Z} /p)}$ ${\displaystyle {}^{1}d=j\circ k}$ ${\displaystyle D^{r}=p^{r-1}H_{*}(C)}$

${\displaystyle D^{r}{\overset {i=p}{\longrightarrow }}D^{r}{\overset {{}^{r}j}{\longrightarrow }}E^{r}{\overset {k}{\longrightarrow }}}$

ここで、および（ i、kの次数は前述 と同じ）。${\displaystyle {}^{r}j=({\text{mod }}p)\circ p^{-{r+1}}}$ ${\displaystyle \deg({}^{r}j)=(-(r-1),r-1)}$ ${\displaystyle D_{n}^{r}\otimes -}$

${\displaystyle 0\longrightarrow \mathbb {Z} {\overset {p}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /p\longrightarrow 0,}$

結果は次のようになります:

${\displaystyle 0\longrightarrow \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(D_{n}^{r},\mathbb {Z} /p)\longrightarrow D_{n}^{r}{\overset {p}{\longrightarrow }}D_{n}^{r}\longrightarrow D_{n}^{r}\otimes \mathbb {Z} /p\longrightarrow 0}$ 。

これは の核と余核を表す。この正確な対を長正確な列に展開すると、任意のrに対して次式が得られる。 ${\displaystyle D_{n}^{r}{\overset {p}{\longrightarrow }}D_{n}^{r}}$

${\displaystyle 0\longrightarrow (p^{r-1}H_{n}(C))\otimes \mathbb {Z} /p\longrightarrow E_{n,0}^{r}\longrightarrow \operatorname {Tor} (p^{r-1}H_{n-1}(C),\mathbb {Z} /p)\longrightarrow 0}$ 。

のとき、これはホモロジーの普遍係数定理と同じである。 ${\displaystyle r=1}$

アーベル群が有限生成であると仮定する。特に、 の直和項として現れる巡回加群は有限個しかない。したがって、 は と同型であることがわかる。 ${\displaystyle H_{*}(C)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{s}}$ ${\displaystyle H_{*}(C)}$ ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle E^{\infty }}$ ${\displaystyle ({\text{free part of }}H_{*}(C))\otimes \mathbb {Z} /p}$

参考文献

• McCleary, John (2001), 『スペクトル列のユーザーガイド』 , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 58 (第2版), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-56759-6、MR  1793722
• JP メイ「スペクトル列入門」