境界結び目法

数値数学において、境界ノット法 (BKM)は、代替の境界型メッシュフリー距離関数配置方式として提案されています。

標準的な有限要素法と境界要素法におけるメッシュの構築は、特に移動境界や高次元の問題では簡単ではないことから、ここ数十年でメッシュフリーの数値偏微分方程式法の研究が盛んに行われています。境界ノット法は、境界要素法、基本解法、特異境界法などの基本解に基づく他の方法とは異なり、特異点を解消するための特別な技術を必要としません。BKM は真のメッシュフリー、スペクトル収束 (数値観測)、対称 (自己随伴偏微分方程式)、積分フリーで、学習と実装が容易です。この方法は、非常に不規則な 2D および 3D 領域を持つヘルムホルツ方程式、拡散方程式、対流拡散方程式、ポーション方程式でテストされ、成功しています。

説明

BKMは基本的に、距離関数、非特異一般解、および双対相互法（DRM）を組み合わせたものです。BKMでは、距離関数を用いてDRMによって非同次項を近似しますが、偏微分方程式の非特異一般解は、同次解の境界のみの定式化につながります。特異基本解が存在しないBKMは、基本解法における議論の的となっている人工的な境界を排除します。いくつかの予備的な数値実験では、BKMは比較的少ないノード数で、様々な線形および非線形問題に対して優れた結果をもたらすことが示されています。

処方

次の問題を考えてみます。

（1） L u = f ( x , y ) ,     ( x , y ) ∈ Ω {\displaystyle Lu=f\left(x,y\right),\ \ \left(x,y\right)\in \Omega }
（2） u = g ( x , y ) ,     ( x , y ) ∈ ∂ Ω D {\displaystyle u=g\left(x,y\right),\ \ \left(x,y\right)\in \partial \Omega _{D}}
（3） ∂ u ∂ n = h ( x , y ) ,     h ( x , y ) ∈ ∂ Ω N {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}=h\left(x,y\right),\ \ h\left(x,y\right)\in \partial \Omega _{N}}

ここで、は微分演算子、は計算領域、はそれぞれディリクレ境界とノイマン境界を表し、および を満たす。BKMは演算子の非特異一般解を用いて数値解を次のように近似する。 L {\displaystyle L} Ω {\displaystyle \Omega } ∂ Ω D {\displaystyle \partial \Omega _{D}} ∂ Ω N {\displaystyle \partial \Omega _{N}} ∂ Ω D ∪ ∂ Ω N = ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega _{D}\cup \partial \Omega _{N}=\partial \Omega } ∂ Ω D ∩ ∂ Ω N = ∅ {\displaystyle \partial \Omega _{D}\cap \partial \Omega _{N}=\varnothing } L {\displaystyle L}

（4） u ∗ ( x , y ) = ∑ i = 1 N α i ϕ ( r i ) {\displaystyle u^{*}\left(x,y\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}\phi \left(r_{i}\right)}

ここでユークリッド距離を表す一般解は r i = ‖ ( x , y ) − ( x i , y i ) ‖ 2 {\displaystyle r_{i}=\left\|\left(x,y\right)-\left(x_{i},y_{i}\right)\right\|_{2}} ϕ ( ⋅ ) {\displaystyle \phi \left(\cdot \right)}

（5） L ϕ = 0 {\displaystyle L\phi =0}

境界条件（２）と（３）を満たすためにコロケーション法を用いることで、

（6） g ( x k , y k ) = ∑ i = 1 N α i ϕ ( r i ) , k = 1 , … , m 1 h ( x k , y k ) = ∑ i = 1 N α i ∂ ϕ ( r i ) ∂ n , k = m 1 + 1 , … , m {\displaystyle {\begin{aligned}&g\left(x_{k},y_{k}\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}\phi \left(r_{i}\right),\qquad k=1,\ldots ,m_{1}\\&h\left(x_{k},y_{k}\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}{\frac {\partial \phi \left(r_{i}\right)}{\partial n}},\qquad k=m_{1}+1,\ldots ,m\\\end{aligned}}}

ここで、 と はそれぞれディリクレ境界とノイマン境界に位置する共点を表す。未知係数は上記の式(6)によって一意に決定される。そして、計算領域内の任意の位置におけるBKM解は、式(4)によって評価できる。 ( x k , y k ) | k = 1 m 1 {\displaystyle \left(x_{k},y_{k}\right)|_{k=1}^{m_{1}}} ( x k , y k ) | k = m 1 + 1 m {\displaystyle \left(x_{k},y_{k}\right)|_{k=m_{1}+1}^{m}} α i {\displaystyle \alpha _{i}}

歴史と最近の動向

境界要素法（BEM）は、その次元縮小性により、無限領域、薄肉構造、逆問題などにおいて、有限要素法（FEM）や有限体積法（FVM）の代替手法として長年注目されてきました。しかしながら、BEMの主なボトルネックは、特異基本解の積分評価や表面メッシュ生成、再メッシュ生成にかかる計算コストの高さです。これらの欠点を軽減するために、ここ10年ほどで基本解法（MFS）[1]が登場し、注目を集めています。MFSは積分不要、スペクトル収束、メッシュフリーという特徴を有しています。

その名の通り、MFSでは支配方程式の基本解が基底関数として用いられます。基本解の特異性を回避するために、物理領域外に人工境界が必要となり、この仮想境界は計算不安定性を引き起こす可能性があるため、MFSの広範な利用における大きなボトルネックとなってきました。BKMは、メッシュや人工境界を用いない境界型メッシュフリー法の一種に分類されます。

BKMはそれ以来、広くテストされてきました。[2]では、BKMを使用してラプラス方程式、ヘルムホルツ方程式、および可変パラメータヘルムホルツ方程式を解きます。[3]では、FasshauerのエルミートRBF補間との類推により、混合境界条件がある場合の対称BKMスキームが提案されています。[4]では、均質ヘルムホルツ、修正ヘルムホルツ、および対流拡散問題の解析におけるBKMの収束について数値的調査が行われています。[5]では、BKMを使用して、2次元および3次元のヘルムホルツ問題と対流拡散問題の複雑な形状を処理します。[6]では、混合型境界条件下での膜振動が対称境界ノット法によって調査されています。[7]では、BKMがいくつかの逆ヘルムホルツ問題に適用されます。[8]では、BKMでポアソン方程式を解きます。[9]では、BKMはコーシー逆不同次ヘルムホルツ方程式を計算します。[10]では、BKMは測地線距離を介して異方性問題をシミュレートします。[11] [12]では、条件数、有効条件数、および正規化の関係が調査されます。[13]では、非線形機能傾斜材料の熱伝導がBKMによって調べられます。[14]では、BKMは非線形アイコナール方程式を解くためにも使用されます。

参照

参考文献

  1. ^ R. MathonとRL Johnston、「楕円境界値問題の基本解による近似解」、SIAM Journal on Numerical Analysis、638-650、1977年。
  2. ^ W. Chen と M. Tanaka、「メッシュフリー、指数収束、積分フリー、境界のみの RBF 手法」、Computers and Mathematics with Applications、43、379–391、2002 年。
  3. ^ W. Chen、「対称境界ノット法」、境界要素による工学解析、26(6)、489–494、2002年。
  4. ^ W. Chen と YC Hon、「ヘルムホルツ問題、修正ヘルムホルツ問題、対流拡散問題解析における境界ノット法の数値収束」、Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering、192、1859–1875、2003 年。
  5. ^ YC HonとW. Chen、「複雑な形状を持つ2Dと3Dヘルムホルツ問題と対流拡散問題のための境界結び目法」、International Journal for Numerical Methods in Engineering、1931-1948、56(13)、2003年。
  6. ^ XP Chen、WX He、BT Jin、「混合型境界条件下での膜振動のための対称境界ノット法」、International Journal of Nonlinear Science and Numerical Simulation、6、421–424、2005年。
  7. ^ BT JingとZ. Yao、「ヘルムホルツ方程式に関連するいくつかの逆問題に対する境界結び目法」、International Journal for Numerical Methods in Engineering、62、1636–1651、2005年。
  8. ^ W. Chen、LJ Shen、ZJ Shen、GW Yuan、「ポアソン方程式の境界ノット法」、境界要素によるエンジニアリング解析、29(8)、756–760、2005年。
  9. ^ BT Jin、Y. Zheng、「非同次ヘルムホルツ方程式に関連するコーシー問題に対する境界結び目法」、境界要素によるエンジニアリング解析、29、925–935、2005年。
  10. ^ BT JinとW. Chen、「異方性問題のための測地線距離に基づく境界ノット法」、Journal of Computational Physics、215(2)、614–629、2006年。
  11. ^ FZ Wang, W. Chen, XR Jiang, 境界結び目法における正規化手法の調査.国際生物医学工学数値解析ジャーナル, 26(12), 1868–1877, 2010
  12. ^ FZ Wang, Leevan L, W. Chen, 境界結び目法の有効条件数. CMC: Computers, Materials, & Continua , 12(1), 57–70, 2009
  13. ^ ZJ Fu; W. Chen、QH Qin、「非線形機能傾斜材料の熱伝導のための境界ノット法」、境界要素によるエンジニアリング解析、35(5)、729–734、2011年。
  14. ^ D. MehdiとS. Rezvan、「アイコナール方程式の数値解のための境界のみのメッシュフリー法」、計算力学、47、283–294、2011年。
  • 境界結び目法
  • 例示的なMatlabコードと幾何学的構成
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