編み込みベクトル空間

数学において、編組ベクトル空間は、 2 つのベクトルテンソルのコピーの交換を象徴する追加の構造マップを備えたベクトル空間です。 ${\displaystyle \;V}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau :\;V\otimes V\longrightarrow V\otimes V}$

ヤン・バクスター方程式が満たされるように、テンソル図を交差で描くと、対応する合成射はライデマイスター移動をテンソル図に適用しても変化せず、したがってそれらは組紐群の表現を表す。 ${\displaystyle \tau }$

最初の例として、あらゆるベクトル空間は、単純な組紐（単に反転する）^{[説明が必要]}によって組紐で結ばれる。超空間は、2つの奇ベクトルを組紐で結ぶ際に負の符号を持つ組紐を持つ。より一般的には、対角組紐とは 、 -基底に対して次の式が成り立つことを意味する。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle \tau (x_{i}\otimes x_{j})=q_{ij}(x_{j}\otimes x_{i})}$

編組ベクトル空間、任意のオブジェクト間の編組を含む編組モノイドカテゴリ全体、特に準三角ホップ代数上のモジュールと有限群上のイェッター・ドリンフェルトモジュール（上記など） の優れた情報源${\displaystyle \tau _{V,W}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

さらに、 が編組カテゴリ内に代数構造を持つ場合（「編組代数」）、編組交換子（例えば、超空間の場合は反交換子）を持ちます。 ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \;[x,y]_{\tau }:=\mu ((x\otimes y)-\tau (x\otimes y))\qquad \mu (x\otimes y):=xy}$

このような編み込み代数（さらにはホップ代数）の例としては、ニコルス代数が挙げられる。ニコルス代数は定義により、与えられた編み込みベクトル空間によって生成される。ニコルス代数は量子群の量子ボレル部分として現れ、多くの場合（例えば有限群やアーベル群上の場合） 、算術ルート系、多重ディンキン図、そして半単純リー代数におけるものと同様の編み込み交換子からなるPBW基底を持つ。

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参考文献

1. Andruskiewitsch, Schneider: Pointed Hopf algebras , New directions in Hopf algebras, 1–68, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 43, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002.