コントラクトブリッジの確率
ブリッジゲームにおける数学的確率

ブリッジというゲームでは、数学的な確率が重要な役割を果たします。相手のカードの配置に応じて、ディクレアラーの戦略はそれぞれ異なり、成功の可能性は異なります。どの戦略が最も成功する可能性が高いかを判断するには、ディクレアラーは少なくとも基本的な確率の知識を持っている必要があります。

以下の表は、様々な事前確率、つまりそれ以上の情報がない場合の確率を示しています。入札とプレイ中に、ハンドに関するより多くの情報が得られるため、プレイヤーは確率の推定精度を向上させることができます。

2つの隠された手札におけるスーツの分布（トランプがない場合など）の確率

この表[1]は、2～8枚の特定のカードが、 2つの未知の13枚のカードハンド（入札とプレイの前、または事前に）間でどのように分配されるか、またはどのように位置付けられるか、または分割されるかを表しています。

表には、任意の数値分割に一致する特定のカードの組み合わせの数と、各組み合わせの確率も表示されます。

これらの確率は、空き地の法則から直接導き出されます。

パートナーシップから欠けているカード（切り札など）の数 分布 確率 組み合わせ 個別
確率
2 1-1 0.52 2 0.26
2-0 0.48 2 0.24
3 2-1 0.78 6 0.13
3-0 0.22 2 0.11
4 2-2 0.40 6 0.0678～
3-1 0.50 8 0.0622～
4 - 0 0.10 2 0.0478～
5 3-2 0.68 20 0.0339～
4-1 0.28 10 0.02826～
5-0 0.04 2 0.01956～
6 3-3 0.36 20 0.01776～
4 - 2 0.48 30 0.01615～
5-1 0.15 12 0.01211～
6-0 0.01 2 0.00745～
7 4 - 3 0.62 70 0.00888～
5-2 0.30 42 0.00727～
6-1 0.07 14 0.00484～
7 - 0 0.01 2 0.00261～
8 4-4 0.33 70 0.00467～
5 - 3 0.47 112 0.00421～
6-2 0.17 56 0.00306～
7-1 0.03 16 0.00178～
8 - 0 0.00 2 0.00082～

確率の計算

未知のカードを持つ東のプレイヤーが特定のスートのカードを持ち、未知のカードを持つ西のプレイヤーが特定のスートのカードを持っている確率を とします。スートのカードの配置の総数は 、つまり、スートのカードが区別できず、スートにないカードが区別できないオブジェクトの順列の数です。 のうち、東がスートのカードを持ち、西がスートのカードを持っている場合に対応する の配置の数は で与えられます。したがって、分割の方向が重要でない場合（分割が-であることのみが必要であり、東が特にカードを持っている必要はない）、全体の確率は で与えられます。ここで、クロネッカーのデルタにより、東と西のスートのカードの枚数が同じ状況が2回カウントされないことが保証されます。 P ′ （ 1つの 、 b 、 n e 、 n わ ） {\displaystyle P'(a,b,n_{e},n_{w})} n e {\displaystyle n_{e}} 1つの {\displaystyle a} n わ {\displaystyle n_{w}} b {\displaystyle b} （ 1つの + b ） {\displaystyle (a+b)} （ n e + n わ ） {\displaystyle (n_{e}+n_{w})} T = ( n e + n w ) ! ( n e + n w − a − b ) ! ( a + b ) ! {\displaystyle T={\frac {(n_{e}+n_{w})!}{(n_{e}+n_{w}-a-b)!(a+b)!}}} ( n e + n w ) {\displaystyle (n_{e}+n_{w})} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} S = n e ! a ! ( n e − a ) ! × n w ! b ! ( n w − b ) ! {\displaystyle S={\frac {n_{e}!}{a!(n_{e}-a)!}}\times {\frac {n_{w}!}{b!(n_{w}-b)!}}} P ′ ( a , b , n e , n w ) = S T = ( a + b ) ! a ! b ! × n e ! n w ! ( n e + n w − a − b ) ! ( n e + n w ) ! ( n e − a ) ! ( n w − b ) ! = ( a + b a ) n e ! n w ! ( n e + n w − a − b ) ! ( n e + n w ) ! ( n e − a ) ! ( n w − b ) ! = ( a + b a ) ( n e + n w − a − b n e − a ) ( n e + n w n e ) {\displaystyle P'(a,b,n_{e},n_{w})={\frac {S}{T}}={\frac {(a+b)!}{a!b!}}\times {\frac {n_{e}!n_{w}!(n_{e}+n_{w}-a-b)!}{(n_{e}+n_{w})!(n_{e}-a)!(n_{w}-b)!}}={\binom {a+b}{a}}{\frac {n_{e}!n_{w}!(n_{e}+n_{w}-a-b)!}{(n_{e}+n_{w})!(n_{e}-a)!(n_{w}-b)!}}={\frac {{\binom {a+b}{a}}{\binom {n_{e}+n_{w}-a-b}{n_{e}-a}}}{\binom {n_{e}+n_{w}}{n_{e}}}}} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} a {\displaystyle a} P ( a , b , n e , n w ) = P ′ ( a , b , n e , n w ) + ( 1 − δ a , b ) P ′ ( b , a , n e , n w ) {\displaystyle P(a,b,n_{e},n_{w})=P'(a,b,n_{e},n_{w})+(1-\delta _{a,b})P'(b,a,n_{e},n_{w})}

上記の確率は、分割の方向は重要ではないと仮定しており、したがって次のように表されます。より一般的な式は、例えばビッドからプレイヤーが別のスートのカードを持っていることが分かっている場合、スートのブレークの確率を計算するために使用できます。例えば、ビッドから東がスペード7を持っていることが分かっており、ダミーを見て西がスペード2を持っていると推測したとします。この場合、2つのプレイラインでダイヤ5-3またはクラブ4-2を期待する場合、事前確率はそれぞれ47%と48%ですが、クラブラインはダイヤラインよりも大幅に優れています。 n e = n w = 13 {\displaystyle n_{e}=n_{w}=13} P ( a , b ) = P ( a , b , 13 , 13 ) = ( a + b a ) 13 ! 13 ! ( 26 − a − b ) ! 26 ! ( 13 − a ) ! ( 13 − b ) ! ( 2 − δ a , b ) {\displaystyle P(a,b)=P(a,b,13,13)={\binom {a+b}{a}}{\frac {13!13!(26-a-b)!}{26!(13-a)!(13-b)!}}(2-\delta _{a,b})} P ( 5 , 3 , 13 − 7 , 13 − 2 ) ≈ 42 % {\displaystyle P(5,3,13-7,13-2)\thickapprox 42\%} P ( 4 , 2 , 13 − 7 , 13 − 2 ) ≈ 47 % {\displaystyle P(4,2,13-7,13-2)\thickapprox 47\%}

HCP分布の確率

ハイカードポイント（HCP）は通常、ミルトン・ワークスケールを用いて、エース、キング、クイーン、ジャックそれぞれに4/3/2/1ポイントを加算して計算されます。特定のハンドに含まれるHCPの数が指定値以下である事前確率は、以下の表に示されています。[1]特定のポイント範囲の確率を求めるには、関連する2つの累積確率を単純に差し引きます。したがって、12～19 HCP（範囲を含む）のハンドが配られる確率は、最大で19 HCPを持つ確率から最大で11 HCPを持つ確率を差し引いた値、つまり0.9855 − 0.6518 = 0.3337となります。[2]

医療従事者 確率 医療従事者 確率 医療従事者 確率 医療従事者 確率 医療従事者 確率
0 0.003639 8 0.374768 16 0.935520 24 0.999542 32 1.000000
1 0.011523 9 0.468331 17 0.959137 25 0.999806 33 1.000000
2 0.025085 10 0.562382 18 0.975187 26 0.999923 34 1.000000
3 0.049708 11 0.651828 19 0.985549 27 0.999972 35 1.000000
4 0.088163 12 0.732097 20 0.991985 28 0.999990 36 1.000000
5 0.140025 13 0.801240 21 0.995763 29 0.999997 37 1.000000
6 0.205565 14 0.858174 22 0.997864 30 0.999999
7 0.285846 15 0.902410 23 0.998983 31 1.000000

手札パターンの確率

ハンドパターンとは、手札の13枚のカードが4つのスーツに分配される様子を指します。合計39種類のハンドパターンが考えられますが、そのうち事前確率が1%を超えるのはわずか13種類です。最も可能性の高いパターンは4-4-3-2パターンで、4枚のスーツが2つ、3枚のスーツが1つ、そしてダブルトンが1つ含まれています。

ハンドパターンでは、指定された長さのカードがどのスーツに含まれるかは指定されていないことに注意してください。4-4-3-2パターンの場合、4つのスーツそれぞれの長さを特定するには、どのスーツに3枚のカードが含まれるか、どのスーツにダブルトンが含まれるかを指定する必要があります。3枚のカードのスーツを最初に特定する方法は4通りあり、次にダブルトンを特定する方法は3通りあります。したがって、 4-4-3-2パターンのスーツの組み合わせは12通りあります。言い換えれば、4-4-3-2パターンを4つのスーツにマッピングする方法は合計12通りあります。

以下の表は、39通りのハンドパターン、その出現確率、および各パターンにおけるスーツの組み合わせの数をすべて示しています。この表は、ハンドパターンの出現確率の高い順に並べられています。[3]

パターン 確率 #
4-4-3-2 0.21551 12
5-3-3-2 0.15517 12
5-4-3-1 0.12931 24
5-4-2-2 0.10580 12
4-3-3-3 0.10536 4
6-3-2-2 0.05642 12
6-4-2-1 0.04702 24
6-3-3-1 0.03448 12
5-5-2-1 0.03174 12
4-4-4-1 0.02993 4
7-3-2-1 0.01881 24
6-4-3-0 0.01326 24
5-4-4-0 0.01243 12
パターン 確率 #
5-5-3-0 0.00895 12
6-5-1-1 0.00705 12
6-5-2-0 0.00651 24
7-2-2-2 0.00513 4
7-4-1-1 0.00392 12
7-4-2-0 0.00362 24
7-3-3-0 0.00265 12
8-2-2-1 0.00192 12
8-3-1-1 0.00118 12
7-5-1-0 0.00109 24
8-3-2-0 0.00109 24
6-6-1-0 0.00072 12
8-4-1-0 0.00045 24
パターン 確率 #
9-2-1-1 0.00018 12
9-3-1-0 0.00010 24
9-2-2-0 0.000082 12
7-6-0-0 0.000056 12
8-5-0-0 0.000031 12
10-2-1-0 0.000011 24
9-4-0-0 0.0000097 12
10-1-1-1 0.0000040 4
10-3-0-0 0.0000015 12
11-1-1-0 0.00000025 12
11-2-0-0 0.00000011 12
12-1-0-0 0.0000000032 12
13-0-0-0 0.0000000000063 4

39種類のハンドパターンは、バランスハンド、シングルスーター、ツースーター、スリースーターの4つのハンドタイプに分類できます。以下の表は、特定のハンドタイプが配られる確率を 事前に示しています。

手のタイプ パターン 確率
3 バランスの取れた 4-3-3-3、4-4-3-2、5-3-3-2 0.4761
26
シングルスーツ		 6-3-2-2, 6-3-3-1, 6-4-2-1, 6-4-3-0, 7-2-2-2, 7-3-2-1, 7-3-3-0, 7-4-1-1, 7-4-2-0, 7-5-1-0, 8-2-2-1, 8-3-1-1, 8-3-2-0, 8-4-1-0, 8-5-0-0, 9-2-1-1, 9-2-2-0, 9-3-1-0, 9-4-0-0, 10-1-1-1, 10-2-1-0, 10-3-0-0, 11-1-1-0, 11-2-0-0, 12-1-0-0, 13-0-0-0 0.1915
8 ツースーツ 5-4-2-2、5-4-3-1、5-5-2-1、5-5-3-0、6-5-1-1、6-5-2-0、6-6-1-0、7-6-0-0 0.2902
2 スリースーツ 4-4-4-1、5-4-4-0 0.0423

39種類のハンドパターンは、最長のスーツまたは最短のスーツに基づいてグループ化できます。以下の表は、指定された長さのスーツで配られるハンドの確率を 事前に示しています。

最長のスーツ パターン 確率
4枚のカード 4-3-3-3、4-4-3-2、4-4-4-1 0.3508
5枚のカード 5-3-3-2、5-4-2-2、5-4-3-1、5-5-2-1、5-4-4-0、5-5-3-0 0.4434
6枚のカード 6-3-2-2、6-3-3-1、6-4-2-1、6-4-3-0、6-5-1-1、6-5-2-0、6-6-1-0 0.1655
7枚のカード 7-2-2-2、7-3-2-1、7-3-3-0、7-4-1-1、7-4-2-0、7-5-1-0、7-6-0-0 0.0353
8枚のカード 8-2-2-1、8-3-1-1、8-3-2-0、8-4-1-0、8-5-0-0 0.0047
9枚のカード 9-2-1-1、9-2-2-0、9-3-1-0、9-4-0-0 0.00037
10枚のカード 10-1-1-1、10-2-1-0、10-3-0-0 0.000017
11枚のカード 11-1-1-0、11-2-0-0 0.0000003
12枚のカード 12-1-0-0 0.000000003
13枚のカード 13-0-0-0 0.000000000006
最短スーツ パターン 確率
3枚のカード 4-3-3-3 0.1054
ダブルトン 4-4-3-2、5-3-3-2、5-4-2-2、6-3-2-2、7-2-2-2 0.5380
シングルトン 4-4-4-1、5-4-3-1、5-5-2-1、6-3-3-1、6-4-2-1、6-5-1-1、7-3-2-1、7-4-1-1、8-2-2-1、8-3-1-1、9-2-1-1、10-1-1-1 0.3055
空所 5-4-4-0, 5-5-3-0, 6-4-3-0, 6-5-2-0, 6-6-1-0, 7-3-3-0, 7-4-2-0, 7-5-1-0, 7-6-0-0, 8-3-2-0, 8-4-1-0, 8-5-0-0, 9-2-2-0, 9-3-1-0, 9-4-0-0, 10-2-1-0, 10-3-0-0, 11-1-1-0, 11-2-0-0, 12-1-0-0, 13-0-0-0 0.0511

可能な手とディールの数

1人のプレイヤーが持つことのできるハンドは、635,013,559,600（）通りあります。 [4]さらに、残りの39枚のカードとその組み合わせをすべて含めると、53,644,737,765,488,792,839,237,440,000（53.6 x 10の27乗）通りのディールが可能です（）[5]この数字の膨大さは、「各ディールがわずか1平方ミリメートルを占めるとしたら、すべてのブリッジディールを展開するにはどれくらいの面積が必要か」という質問に答えることで理解できます。答えは、地球の表面積の1億倍以上の面積です。 ( 52 13 ) {\displaystyle {52 \choose 13}} 52 ! / ( 13 ! ) 4 {\displaystyle 52!/(13!)^{4}}

明らかに、 ♥ 2と♥ 3を入れ替えた以外は全く同じ配り方をしても、結果が異なる可能性は低いでしょう。小さなカードが無関係であることを明確にするため（常にそうとは限りませんが）、ブリッジではそのような小さなカードは一般的に「x」で表されます。したがって、この意味での「可能な配り方の数」は、オナーカード以外のカード（2、3、…9）のうち、何枚が「区別できない」とみなされるかによって決まります。例えば、10未満のすべてのカードに「x」表記を適用すると、A987-K106-Q54-J32とA432-K105-Q76-J98のスートの分布は同一とみなされます。

下の表[6]は、さまざまな数の小さなカードが区別できないと見なされた場合の配布回数を示しています。

最も優れた無名のカード 取引件数
2 53,644,737,765,488,792,839,237,440,000
3 7,811,544,503,918,790,990,995,915,520
4 445,905,120,201,773,774,566,940,160
5 14,369,217,850,047,151,709,620,800
6 314,174,475,847,313,213,527,680
7 5,197,480,921,767,366,548,160
8 69,848,690,581,204,198,656
9 800,827,437,699,287,808
10 8,110,864,720,503,360
J 74,424,657,938,928
質問 630,343,600,320
K 4,997,094,488
あ 37,478,624

表の最後のエントリ (37,478,624) は、デッキの異なる配布の数 (カードがスーツによってのみ区別される場合の配布数) に対応していることに注意してください。

負ける確率 - トリック数

負けトリックカウントは、ハンド評価方法として HCP カウントの代替手段です。

LTC 手の数 確率
0 4,245,032 0.000668%
1 90,206,044 0.0142%
2 8億7,236万1,936 0.137%
3 5,080,948,428 0.8%
4 19,749,204,780 3.11%
5 53,704,810,560 8.46%
6 104,416,332,340 16.4%
7 145,971,648,360 23.0%
8 145,394,132,760 22.9%
9 100,454,895,360 15.8%
10 45,618,822,000 7.18%
11 12,204,432,000 1.92%
12 1,451,520,000 0.229%
13 最大12 該当なし

参考文献

  1. ^ ab 「数学表」（表4）.フランシス, ヘンリー・G.;トラスコット, アラン・F.;フランシス, ドロシー・A. 編 (1994). 『ブリッジ公式百科事典』（第5版）. メンフィス, テネシー州:アメリカ・コントラクト・ブリッジ・リーグ. p. 278. ISBN 0-943855-48-9。LCCN  96188639。
  2. ^ リチャード・パブリチェク「ハイカード期待値」リンク
  3. ^ リチャード・パブリチェク「Against All Odds」リンク
  4. ^ デュランゴ・ビルのブリッジ確率と組合せ論 1
  5. ^ デュランゴ・ビルのブリッジ確率と組合せ論 2
  6. ^ Counting Bridge Deals、Jeroen Warmerdam

さらに読む

  • エミール、ボレル。アンドレ、シェロン（1940年）。橋のテオリ数学。ゴーティエ・ヴィラール。1954年に著者らによって第2版がフランス語で出版された。Alec Traub によって『The Mathematical Theory of Bridge』として英語に翻訳・編集され、1974年にCC Wei の協力により台湾で印刷された。
  • ケルシー、ヒュー、グローアート、マイケル（1980年）『ブリッジ実践者のためのオッズ』マスターブリッジシリーズ、ロンドン：Victor Gollancz Ltd（ピーター・クローリーとの提携）。ISBN 0-575-02799-1。
  • リース、テレンス、トレゼル、ロジャー(1986). 『ブリッジにおけるオッズをマスターする』 . マスターブリッジシリーズ. ロンドン: Victor Gollancz Ltd (ピーター・クローリーとの提携). ISBN 0-575-02597-2。
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