カーマイケルの定理

数論において、アメリカの数学者R. D. カーマイケルにちなんで名付けられたカーマイケルの定理は、互いに素なパラメーターP、  Qと正の判別式を持つ、第一種非退化ルーカス数列U _n ( P、  Q )のどれに対しても、 n  ≠ 1、2、6 を持つ元U _nには、12 番目のフィボナッチ数F(12) =  U ₁₂ (1、−1) = 144 とそれと等価なU ₁₂ (−1、−1) = −144 を除いて、それより前のものを割り切れない素因数が少なくとも1 つ存在する、と述べています。

特に、n が12 より大きい場合、n番目のフィボナッチ数F( n ) には、それより前のどのフィボナッチ数も割り切れない素約数が少なくとも 1 つあります。

カーマイケル（1913、定理21）はこの定理を証明した。最近、薮田（2001）^[1]は簡単な証明を与えた。Bilu、Hanrot、Voutier、およびMignotte（2001）^{[2]は、これを負の判別式の場合（} n > 30のすべてにおいて真）に拡張した。

声明

互いに素な2つの整数PとQが与えられ、PQ  ≠0であるとき、U _n ( P ,  Q )を次のように定義される第一種 ルーカス列とする。${\displaystyle D=P^{2}-4Q>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(P,Q)&=0,\\U_{1}(P,Q)&=1,\\U_{n}(P,Q)&=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q)\qquad {\mbox{ for }}n>1.\end{aligned}}}$

すると、n  ≠ 1, 2, 6 に対して、U _n ( P ,  Q ) には、 U ₁₂ (±1, −1) = ±F(12) = ±144を除き、m  <  nのどのU _m ( P ,  Q )も割り切れない素因子が少なくとも 1 つあります。このような素数 pは、 U _n ( P ,  Q )の特性因数または原始素因子と呼ばれます。実際、カーマイケルは、もう少し強い定理を示しました。n  ≠ 1, 2, 6 に対して、U n ₍ P , Q  )には、U ³ (±1, −2) = 3、 U ₅ (±1, −1) = F(5) = 5、またはU ₁₂ (1, −1) = − U ₁₂ ( −1, −1) = F(12) = 144 を除き、 D [3]_を割り切れない原始素因子が少なくとも 1 つあります。

カミカレルの定理では、Dは0より大きくなければなりません。したがって、 U ₁₃ (1, 2)、U ₁₈ (1, 2)、U ₃₀ (1, 2)などのケースは含まれません。この場合はD  = −7 < 0だからです。

フィボナッチとペルケース

フィボナッチの場合、 nが 12 までの 場合の唯一の例外は次のとおりです。

F(1) = 1 および F(2) = 1 であり、これらには素因数は存在しない。

F(6) = 8、その唯一の素因数は2（F(3)）

F(12) = 144 の唯一の素因数は 2 (F(3)) と 3 (F(4)) である。

F( n ) の最小の原始素因数は

1、1、2、3、5、1、13、7、17、11、89、1、233、29、61、47、1597、19、37、41、421、199、28657、23、3001、521、53、281、514229、31、557、2207、19801、3571、141961、107、73、9349、135721、2161、2789、211、433494437、43、109441、…（OEISのシーケンスA001578）

カーマイケルの定理によれば、上記の例外を除き、すべてのフィボナッチ数は少なくとも 1 つの原始素因数を持ちます。

n > 1の場合 、n番目のペル数は、それ以前のどのペル数も割り切れない素因数を少なくとも 1 つ持つ。n 番目のペル数の最小の原始素因数は以下のとおりである。

1、2、5、3、29、7、13、17、197、41、5741、11、33461、239、269、577、137、199、37、19、45697、23、229、1153、1549、79、53、113、44560482149、31、61、665857、52734529、103、1800193921、73、593、9369319、389、241、…（OEISの配列A246556）

参照

• ジグモンディの定理

参考文献

1. 薮田 実 (2001). 「カーマイケルの原始因子定理の簡単な証明」(PDF) .フィボナッチ・クォータリー. 39 (5​​): 439– 443. doi :10.1080/00150517.2001.12428701 . 2018年10月4日閲覧。
2. Bilu, Yuri; Hanrot, Guillaume; Voutier, Paul M.; Mignotte, Maurice (2001). 「ルーカス数とレーマー数の原始因子の存在」(PDF) . J. Reine Angew. Math. 2001 (539): 75– 122. doi :10.1515/crll.2001.080. MR  1863855. S2CID  122969549. この論文では、シーケンスをPとD ( aとbと呼ぶ) の観点から説明しています。Q = ( P ² − D)/4 なので、この論文でシーケンス ( a、  b ) = (1、−7) について説明している場合、P = 1、Q = 2 を意味します。原始素因数を持たないルーカス数の完全なリストは、n = 1、表 1 にリストされている 23 の特殊なケース、および表 3 にリストされている一般的なケースです。(表 2 と 4 は、関連するレーマー シーケンスに適用されます。)
3. 原始素因数 pの定義では、 p が判別式を割り切れないことが求められることが多い。

• カーマイケル, RD (1913)、「算術形式α ⁿ ±β ⁿの数値因数について」、Annals of Mathematics、15 (1/4): 30– 70、doi :10.2307/1967797、JSTOR  1967797。