直交テンソル

Representation of a tensor in Euclidean space

幾何学と線型代数学において、直交テンソルは、直交基底を用いてユークリッド空間におけるテンソルを成分の形で表現する。テンソルの成分をある基底から別の基底に変換することは、直交変換によって行われる。

最もよく知られている座標系は、2次元と3次元の直交座標系です。直交テンソルは、任意のユークリッド空間、より技術的には、内積を持つ実数体上の任意の有限次元ベクトル空間で使用できます。

直交テンソルは物理学や工学の分野で用いられ、例えばコーシー応力テンソルや剛体力学における慣性モーメントテンソルなどがその例である。一般曲線座標は、高変形連続体力学のように便利な場合もあれば、一般相対論のように必須の場合もある。こうした座標系には正規直交基底が存在する場合もあるが（例えば球面座標への接線）、直交座標軸の回転で十分なアプリケーションでは、直交テンソルによって大幅な簡素化が実現できる。この変換は受動的な変換であり、座標が変更されるのであって物理系が変更されるのではない。

デカルト基底と関連用語

3次元のベクトル

3次元ユークリッド空間において、標準基底は $e$ $x$ 、 $e$ $y$ 、 $e$ $z$ です。各基底ベクトルはx軸、y軸、z軸に沿っており、ベクトルはすべて単位ベクトル（または正規化）であるため、基底は直交となります。 $\mathbb {R} ^{3}$

全体を通じて、 3 次元の直交座標を参照する場合、右手系が想定されますが、これは実際には左手系よりもはるかに一般的です。詳細については、方向 (ベクトル空間)を参照してください。

1次の直交テンソルの場合、直交ベクトル $a は、$ 基底ベクトル $e$ $x$ 、 $e$ $y$ 、 $e$ $z$ の線形結合として代数的に表すことができます。

$\mathbf {a} =a_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}$

ここで、ベクトルの直交座標基底に対する座標は $、a x$ 、 $a y$ 、 $a z$ で表されます。基底ベクトルは列ベクトルとして表示するのが一般的で、便利です。

$\mathbf {e} _{\text{x}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {e} _{\text{y}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {e} _{\text{z}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

列ベクトル表現に座標ベクトルがある場合：

$\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{\text{x}}\\a_{\text{y}}\\a_{\text{z}}\end{pmatrix}}$

行ベクトル表現も正当ですが、一般的な曲線座標系のコンテキストでは、行ベクトル表現と列ベクトル表現は特定の理由により別々に使用されます。理由については、アインシュタイン表記法とベクトルの共変性と反変性を参照してください。

ベクトルの「成分」という用語は曖昧であり、次のようなものを指す可能性があります。

ベクトルの特定の座標、例えば $z$ $（$ スカラー）、そして同様に $x$ と $y$ についても同様、または
対応する基底ベクトルをスカラー倍した座標。この場合、 $aの「$ $y$ 成分」は $a$ $y$ $e$ $y$ (ベクトル)であり、 $x$ と $z$ についても同様です。

より一般的な表記法はテンソルインデックス表記法であり、これは固定された座標ラベルではなく数値の柔軟性を備えています。直交座標ラベルは、基底ベクトル $e x \mapsto e 1$ 、 $e y \mapsto e 2$ 、 $e z \mapsto e 3$ および座標 $a x \mapsto a 1$ 、 $a y \mapsto a 2$ 、 $a z \mapsto a 3$ におけるテンソルインデックスに置き換えられます。一般に、表記 $e 1$ 、 $e 2$ 、 $e 3$ は任意の基底を指し、 $a 1$ 、 $a 2$ 、 $a 3$ は対応する座標系を指しますが、ここでは直交座標系に限定されます。次に、

$\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}=\sum _{i=1}^{3}a_{i}\mathbf {e} _{i}$

アインシュタイン記法を使用するのが標準です。項内にちょうど2回現れる添字の合計の和の記号は、表記の簡潔さのために省略できます。

$\mathbf {a} =\sum _{i=1}^{3}a_{i}\mathbf {e} _{i}\equiv a_{i}\mathbf {e} _{i}$

座標固有の表記法に対するインデックス表記法の利点は、基となるベクトル空間の次元に依存しないことです。つまり、右辺の同じ式は、高次元でも同じ形になります（下記参照）。以前は、直交座標のラベル x、y、z は単なるラベルであり、インデックスではありませんでした（「 i = x、y、z 」と書くのは非公式です）。

3次元の2階テンソル

二項テンソル Tは、 2つの直交座標ベクトル $a$ と $b$ のテンソル積 $\otimes$ によって形成される2次のテンソルであり、 $T$ $=$ $a$ $\otimes$ $b$ と表記されます。ベクトルと同様に、テンソル基底 $e$ $x$ $\otimes$ $e$ $x$ $\equiv$ $e$ $xx$ 、 $e$ $x$ $\otimes$ $e$ $y$ $\equiv$ $e$ $xy$ 、 ..., $e$ $z$ $\otimes$ $e$ $z$ $\equiv$ $e$ $zz$ の線形結合として表すことができます（各恒等式の右辺は略語であり、それ以上のものではありません）。

${\begin{aligned}\mathbf {T} =\quad &\left(a_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}\right)\otimes \left(b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}+b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}+b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}\right)\\[5pt]{}=\quad &a_{\text{x}}b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{x}}b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{x}}b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}\\[4pt]{}+{}&a_{\text{y}}b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{y}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{y}}b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{y}}b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{y}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}\\[4pt]{}+{}&a_{\text{z}}b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{z}}b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{z}}b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}\end{aligned}}$

各基底テンソルを行列として表すと、

${\begin{aligned}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}&\equiv \mathbf {e} _{\text{xx}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,&\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}&\equiv \mathbf {e} _{\text{xy}}={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,&\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}&\equiv \mathbf {e} _{\text{zz}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

$Tは$ より体系的に行列として表すことができます。

$\mathbf {T} ={\begin{pmatrix}a_{\text{x}}b_{\text{x}}&a_{\text{x}}b_{\text{y}}&a_{\text{x}}b_{\text{z}}\\a_{\text{y}}b_{\text{x}}&a_{\text{y}}b_{\text{y}}&a_{\text{y}}b_{\text{z}}\\a_{\text{z}}b_{\text{x}}&a_{\text{z}}b_{\text{y}}&a_{\text{z}}b_{\text{z}}\end{pmatrix}}$

行列とドット積およびテンソル積の間の表記上の対応については、行列乗算を参照してください。

$より一般的には、 T が$ 2 つのベクトルのテンソル積であるかどうかに関係なく、それは常に座標 $T xx$ 、 $T xy$ 、...、 $T zz$ を持つ基底テンソルの線形結合です。

${\begin{aligned}\mathbf {T} =\quad &T_{\text{xx}}\mathbf {e} _{\text{xx}}+T_{\text{xy}}\mathbf {e} _{\text{xy}}+T_{\text{xz}}\mathbf {e} _{\text{xz}}\\[4pt]{}+{}&T_{\text{yx}}\mathbf {e} _{\text{yx}}+T_{\text{yy}}\mathbf {e} _{\text{yy}}+T_{\text{yz}}\mathbf {e} _{\text{yz}}\\[4pt]{}+{}&T_{\text{zx}}\mathbf {e} _{\text{zx}}+T_{\text{zy}}\mathbf {e} _{\text{zy}}+T_{\text{zz}}\mathbf {e} _{\text{zz}}\end{aligned}}$

一方、テンソルのインデックスに関しては、

$\mathbf {T} =T_{ij}\mathbf {e} _{ij}\equiv \sum _{ij}T_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,,$

行列形式では次のようになります。

$\mathbf {T} ={\begin{pmatrix}T_{\text{xx}}&T_{\text{xy}}&T_{\text{xz}}\\T_{\text{yx}}&T_{\text{yy}}&T_{\text{yz}}\\T_{\text{zx}}&T_{\text{zy}}&T_{\text{zz}}\end{pmatrix}}$

2階テンソルは、物理学や工学において、物理量がシステム内で方向依存性を持つ場合、しばしば「刺激-応答」的な形で自然に現れます。これはテンソルの一つの側面、すなわち多重線型関数として数学的に捉えることができます。ある大きさと方向のベクトルuを入力する2階テンソルTは、一般にuとは異なる大きさと方向のベクトルvを返します。数学的解析における関数の表記法では、 $v$ $-$ $T$ $($ $u$ $)$ と書きますが^[1]、同じ考え方を行列表記法と指数表記法^[2]（和の表記法を含む）でそれぞれ表すこともできます。

${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}v_{\text{x}}\\v_{\text{y}}\\v_{\text{z}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}T_{\text{xx}}&T_{\text{xy}}&T_{\text{xz}}\\T_{\text{yx}}&T_{\text{yy}}&T_{\text{yz}}\\T_{\text{zx}}&T_{\text{zy}}&T_{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u_{\text{x}}\\u_{\text{y}}\\u_{\text{z}}\end{pmatrix}}\,,&v_{i}&=T_{ij}u_{j}\end{aligned}}$

「線形」により、2つのスカラー $ρ$ と $σ$ 、ベクトル $r$ と $sに対して$ $u = ρ r + σ s$ の場合、関数表記とインデックス表記では次のようになります。

${\begin{aligned}\mathbf {v} &=&&\mathbf {T} (\rho \mathbf {r} +\sigma \mathbf {s} )&=&&\rho \mathbf {T} (\mathbf {r} )+\sigma \mathbf {T} (\mathbf {s} )\\[1ex]v_{i}&=&&T_{ij}(\rho r_{j}+\sigma s_{j})&=&&\rho T_{ij}r_{j}+\sigma T_{ij}s_{j}\end{aligned}}$

行列表記についても同様です。関数表記、行列表記、インデックス表記はすべて同じ意味です。行列形式は要素を明確に表示しますが、インデックス形式は式を簡潔にテンソル代数的に操作することを容易にします。どちらも方向の物理的な解釈を提供します。ベクトルは1つの方向を持ちますが、2階テンソルは2つの方向を結びます。テンソルのインデックスまたは座標ラベルを基底ベクトルの方向に関連付けることができます。

ベクトルの大きさと方向の変化を記述するには、2階テンソルの使用が最低限必要です。2つのベクトルの内積は常にスカラーであり、 2つのベクトルの外積は常にベクトルによって定義される平面に垂直な擬似ベクトルであるため、これらのベクトルの積だけでは、任意の方向、任意の大きさの新しいベクトルを得ることはできません。（内積と外積の詳細については、以下も参照してください。）2つのベクトルのテンソル積は2階テンソルですが、それ自体では明確な方向の解釈はありません。

前述の考え方は、 $T が2つのベクトル$ $p$ と $q を$ 引数に取る場合、スカラー $rを返すという形で表現できます。関数表記では$ $r = T (p, q)$ と書き、行列表記とインデックス表記（和の規則を含む）ではそれぞれ次のように書きます。

$r={\begin{pmatrix}p_{\text{x}}&p_{\text{y}}&p_{\text{z}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{\text{xx}}&T_{\text{xy}}&T_{\text{xz}}\\T_{\text{yx}}&T_{\text{yy}}&T_{\text{yz}}\\T_{\text{zx}}&T_{\text{zy}}&T_{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}q_{\text{x}}\\q_{\text{y}}\\q_{\text{z}}\end{pmatrix}}=p_{i}T_{ij}q_{j}$

テンソルTは両方の入力ベクトルに対して線形です。ベクトルとテンソルが成分を参照せずに記述され、添え字も使用されていない場合、添え字の和（テンソル縮約と呼ばれる）をとる箇所にドット⋅が置かれることがあります。上記のケースでは、次のようになります。 ^[1]^[2]

${\begin{aligned}\mathbf {v} &=\mathbf {T} \cdot \mathbf {u} \\r&=\mathbf {p} \cdot \mathbf {T} \cdot \mathbf {q} \end{aligned}}$

ドット積表記法に由来する:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \equiv a_{i}b_{i}$

$より一般的には、 n$ 個のベクトル（ $n$ は $0$ から $m$ まで）を受け取る $m$ 階テンソルは、 $m$ $-$ $n$ 階のテンソルを返します。より一般化された詳細については、テンソル § 多重線型写像としてを参照してください。上記の概念は、ベクトルの場合と同様に擬ベクトルにも適用されます。ベクトルとテンソル自体は空間全体にわたって変化する可能性があり、その場合、ベクトル場とテンソル場が存在し、時間に依存することもあります。

以下に例をいくつか示します。

適用された、または与えられた...	...の材料または物体に	…結果として…	…物質または物体において、次のように表されます。
単位ベクトル $n$	コーシー応力テンソル $σ$	牽引力 $t$	$\mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n}$
角速度 $ω$	慣性モーメント $I$	角運動量 $J$	$\mathbf {J} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}$
角速度 $ω$	慣性モーメント $I$	回転運動エネルギー $T$	$T={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}$
電界 $E$	電気伝導率 $σ$	電流密度流 $J$	$\mathbf {J} ={\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {E}$
電界 $E$	分極率 $α$ （誘電率 $ε$ および電気感受率 $χ E$ に関連）	誘導分極場 $P$	$\mathbf {P} ={\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {E}$
磁場 $H$	透磁率 $μ$	磁場 $B$	$\mathbf {B} ={\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {H}$

電気伝導の例では、インデックスと行列の表記は次のようになります。

${\begin{aligned}J_{i}&=\sigma _{ij}E_{j}\equiv \sum _{j}\sigma _{ij}E_{j}\\{\begin{pmatrix}J_{\text{x}}\\J_{\text{y}}\\J_{\text{z}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\sigma _{\text{xx}}&\sigma _{\text{xy}}&\sigma _{\text{xz}}\\\sigma _{\text{yx}}&\sigma _{\text{yy}}&\sigma _{\text{yz}}\\\sigma _{\text{zx}}&\sigma _{\text{zy}}&\sigma _{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}E_{\text{x}}\\E_{\text{y}}\\E_{\text{z}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

一方、回転運動エネルギー $T$ については、

${\begin{aligned}T&={\frac {1}{2}}\omega _{i}I_{ij}\omega _{j}\equiv {\frac {1}{2}}\sum _{ij}\omega _{i}I_{ij}\omega _{j}\,,\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\omega _{\text{x}}&\omega _{\text{y}}&\omega _{\text{z}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{\text{xx}}&I_{\text{xy}}&I_{\text{xz}}\\I_{\text{yx}}&I_{\text{yy}}&I_{\text{yz}}\\I_{\text{zx}}&I_{\text{zy}}&I_{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{\text{x}}\\\omega _{\text{y}}\\\omega _{\text{z}}\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}$

より専門的な例については構成方程式も参照してください。

ベクトルとテンソル $n$ 次元

実数上の $n$ 次元ユークリッド空間において、標準基底は $e$ $1$ 、 $e$ $2$ 、 $e$ $3$ 、 ... $e$ $n$ と表記される。各基底ベクトル $e$ $i$ $はx$ $i$ 軸の正方向を向き、基底は直交する。 $e$ $i$ の成分 $jは$ クロネッカーのデルタによって与えられる。 $\mathbb {R} ^{n}$

$(\mathbf {e} _{i})_{j}=\delta _{ij}$

のベクトルは次の形式になります。 $\mathbb {R} ^{n}$

$\mathbf {a} =a_{i}\mathbf {e} _{i}\equiv \sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\,.$

同様に、上記の2次テンソルでは、の各ベクトルaとbに対して次のようになります。 $\mathbb {R} ^{n}$

$\mathbf {T} =a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{ij}\equiv \sum _{ij}a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,,$

あるいはより一般的には：

$\mathbf {T} =T_{ij}\mathbf {e} _{ij}\equiv \sum _{ij}T_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,.$

直交ベクトル（任意の次元）の変換

座標変換における「不変性」の意味

における位置ベクトル $x$ は、ベクトルの単純かつ一般的な例であり、任意の座標系で表現できます。直交基底のみを持つ直交座標系の場合を考えてみましょう。基底ベクトルがすべて互いに垂直で正規化されていない場合、直交幾何学の座標系を持つことが可能です。この場合、基底は直交基底ですが、直交基底ではありません。しかし、直交基底の方が操作が容易であるため、実際にはよく使用されます。以下の結果は、直交基底ではなく、直交基底に当てはまります。 $\mathbb {R} ^{n}$

ある直交座標系では、反ベクトルとしての $x は座標$ $x i$ と基底ベクトル $e i$ を持ち、共ベクトルとしての x は座標 $x i$ と基底共ベクトル $e i$ を持ち、次のようになります。

${\begin{aligned}\mathbf {x} &=x^{i}\mathbf {e} _{i}\,,&\mathbf {x} &=x_{i}\mathbf {e} ^{i}\end{aligned}}$

別の直交座標系では、反ベクトルとしての $x は座標$ $x i$ と基底 $e i$ を持ち、共ベクトルとしての x は座標 $x i$ と基底 $e i$ を持ち、次のようになります。

${\begin{aligned}\mathbf {x} &={\bar {x}}^{i}{\bar {\mathbf {e} }}_{i}\,,&\mathbf {x} &={\bar {x}}_{i}{\bar {\mathbf {e} }}^{i}\end{aligned}}$

それぞれの新しい座標はすべての古い座標の関数であり、逆関数の場合はその逆になります。

${\begin{aligned}{\bar {x}}{}^{i}={\bar {x}}{}^{i}\left(x^{1},x^{2},\ldots \right)\quad &\rightleftharpoons \quad x{}^{i}=x{}^{i}\left({\bar {x}}^{1},{\bar {x}}^{2},\ldots \right)\\{\bar {x}}{}_{i}={\bar {x}}{}_{i}\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\quad &\rightleftharpoons \quad x{}_{i}=x{}_{i}\left({\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2},\ldots \right)\end{aligned}}$

同様に、新しい基底ベクトルは古いものすべての関数であり、逆関数の場合はその逆になります。

${\begin{aligned}{\bar {\mathbf {e} }}{}_{j}={\bar {\mathbf {e} }}{}_{j}\left(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots \right)\quad &\rightleftharpoons \quad \mathbf {e} {}_{j}=\mathbf {e} {}_{j}\left({\bar {\mathbf {e} }}_{1},{\bar {\mathbf {e} }}_{2},\ldots \right)\\{\bar {\mathbf {e} }}{}^{j}={\bar {\mathbf {e} }}{}^{j}\left(\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\ldots \right)\quad &\rightleftharpoons \quad \mathbf {e} {}^{j}=\mathbf {e} {}^{j}\left({\bar {\mathbf {e} }}^{1},{\bar {\mathbf {e} }}^{2},\ldots \right)\end{aligned}}$

すべての $i$ 、 $j$ について。

ベクトルは基底のいかなる変化に対しても不変であるため、座標が変換行列 $L$ に従って変換される場合、基底は行列 $L -1$ の逆行列に従って変換され、逆に座標が逆行列 $L -1に従って変換される場合、基底は行列$ $L$ に従って変換されます。これらの変換の違いは、慣例的に、反変性を表す上付き文字と共変性を表す下付き文字の添え字によって示され、座標と基底は以下の規則に従って線形変換されます。

ベクトルの要素	反変変換則	共変変換則
座標	${\bar {x}}^{j}=x^{i}({\boldsymbol {\mathsf {L}}})_{i}{}^{j}=x^{i}{\mathsf {L}}_{i}{}^{j}$	${\bar {x}}_{j}=x_{k}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{j}{}^{k}$
基底	${\bar {\mathbf {e} }}_{j}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{j}{}^{k}\mathbf {e} _{k}$	${\bar {\mathbf {e} }}^{j}=({\boldsymbol {\mathsf {L}}})_{i}{}^{j}\mathbf {e} ^{i}={\mathsf {L}}_{i}{}^{j}\mathbf {e} ^{i}$
任意のベクトル	${\bar {x}}^{j}{\bar {\mathbf {e} }}_{j}=x^{i}{\mathsf {L}}_{i}{}^{j}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{j}{}^{k}\mathbf {e} _{k}=x^{i}\delta _{i}{}^{k}\mathbf {e} _{k}=x^{i}\mathbf {e} _{i}$	${\bar {x}}_{j}{\bar {\mathbf {e} }}^{j}=x_{i}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{j}{}^{i}{\mathsf {L}}_{k}{}^{j}\mathbf {e} ^{k}=x_{i}\delta ^{i}{}_{k}\mathbf {e} ^{k}=x_{i}\mathbf {e} ^{i}$

ここで、 $L i j は$ 変換行列の要素（行番号は $i$ 、列番号は $j$ ）を表し、 $(L -1) i k は$ 行列 $L$ $i$ $k$ の逆行列の要素を表します。

$L$ が直交変換（直交行列）である場合、それによって変換されるオブジェクトは直交テンソルとして定義されます。これは幾何学的には、直交座標系が別の直交座標系に写像され、その際ベクトル $x$ のノルムが保存される（および距離が保存される）という解釈になります。

$L$ の行列式は $det($ $L$ $) = \pm1$ であり、これは回転の場合は( $+1$ ) 、不正確な回転（反射を含む）の場合は( $-1$ )という2種類の直交変換に対応します。

代数的にはかなり簡略化されており、行列転置は直交変換の定義の逆になります。

${\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\textsf {T}}={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\Rightarrow \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{i}{}^{j}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\textsf {T}}\right)_{i}{}^{j}=({\boldsymbol {\mathsf {L}}})^{j}{}_{i}={\mathsf {L}}^{j}{}_{i}$

前の表から、共ベクトルと反ベクトルの直交変換は同一であることがわかります。指数を上げるか下げるかを区別する必要はありません。この文脈や物理学・工学への応用では、指数の混乱を避けるため、指数は通常すべて下付きで示されます。この記事の残りの部分では、すべての指数は下げられます。共ベクトルまたは反ベクトルである量と、関連する変換規則を考慮することで、実際の上げ下げされた指数と下げられた指数を決定できます。

位置ベクトルだけでなく、あらゆるベクトル $a$ に全く同じ変換規則が適用されます。その成分 $a i が$ 規則に従って変換されない場合、 $a$ はベクトルではありません。

$上記の式は類似しているものの、 x j = L i j x i$ のような座標変換や、 $b i = T ij a j$ のようなテンソルのベクトルへの作用においては、 $L$ はテンソルではなく、 $T$ がテンソルです。座標変換において、 $L$ は行列であり、直交基底を持つ2つの直交座標系を関連付けるために使用されます。ベクトルをベクトルに関連付けるテンソルの場合、方程式全体のベクトルとテンソルはすべて同じ座標系と基底に属します。

微分とヤコビ行列要素

$L$ の要素は、それぞれ、新しい座標または古い座標に対する新しい座標または古い座標の偏微分です。

$x i を$ $x k$ に関して微分すると、

${\frac {\partial {\bar {x}}_{i}}{\partial x_{k}}}={\frac {\partial }{\partial x_{k}}}(x_{j}{\mathsf {L}}_{ji})={\mathsf {L}}_{ji}{\frac {\partial x_{j}}{\partial x_{k}}}=\delta _{kj}{\mathsf {L}}_{ji}={\mathsf {L}}_{ki}$

つまり

${{\mathsf {L}}_{i}}^{j}\equiv {\mathsf {L}}_{ij}={\frac {\partial {\bar {x}}_{j}}{\partial x_{i}}}$

はヤコビ行列の要素です。Lと偏微分における添字の位置の間には（部分的に記憶術的な）対応関係があります。それぞれの場合、 iが上、jが下ですが、直交テンソルの場合は添字を下げることができます

逆に、 $x j を$ $x i$ に関して微分すると、

${\frac {\partial x_{j}}{\partial {\bar {x}}_{k}}}={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}_{k}}}\left({\bar {x}}_{i}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}\right)={\frac {\partial {\bar {x}}_{i}}{\partial {\bar {x}}_{k}}}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}=\delta _{ki}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{kj}$

つまり

$\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{i}{}^{j}\equiv \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}={\frac {\partial x_{j}}{\partial {\bar {x}}_{i}}}$

は、同様のインデックス対応を持つ逆ヤコビ行列の要素です。

多くの情報源では、偏微分による変換について述べています。

${\begin{array}{c}\displaystyle {\bar {x}}_{j}=x_{i}{\frac {\partial {\bar {x}}_{j}}{\partial x_{i}}}\\[3pt]\upharpoonleft \downharpoonright \\[3pt]\displaystyle x_{j}={\bar {x}}_{i}{\frac {\partial x_{j}}{\partial {\bar {x}}_{i}}}\end{array}}$

3D の明示的な行列方程式は次のようになります。

${\begin{aligned}{\bar {\mathbf {x} }}&={\boldsymbol {\mathsf {L}}}\mathbf {x} \\{\begin{pmatrix}{\bar {x}}_{1}\\{\bar {x}}_{2}\\{\bar {x}}_{3}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}{\frac {\partial {\bar {x}}_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{1}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{1}}{\partial x_{3}}}\\{\frac {\partial {\bar {x}}_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{2}}{\partial x_{3}}}\\{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}}{\partial x_{3}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

同様に

$\mathbf {x} ={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}{\bar {\mathbf {x} }}={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\textsf {T}}{\bar {\mathbf {x} }}$

座標軸に沿った投影

すべての線形変換と同様に、 $Lは$ 選択された基底に依存します。2つの直交基底の場合、

${\begin{aligned}{\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\bar {\mathbf {e} }}_{j}&=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}\,,&\left|\mathbf {e} _{i}\right|&=\left|{\bar {\mathbf {e} }}_{i}\right|=1\,,\end{aligned}}$

$xを$ $x$ 軸に投影する: ${\bar {x}}_{i}={\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \mathbf {x} ={\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot x_{j}\mathbf {e} _{j}=x_{i}{\mathsf {L}}_{ij}\,,$
$xを$ $x$ 軸に投影する: $x_{i}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {x} =\mathbf {e} _{i}\cdot {\bar {x}}_{j}{\bar {\mathbf {e} }}_{j}={\bar {x}}_{j}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ji}\,.$

したがって、成分は $x$ $i 軸$ と $x$ $j$ 軸間の方向余弦になります。 ${\begin{aligned}{\mathsf {L}}_{ij}&={\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\cos \theta _{ij}\\\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}&=\mathbf {e} _{i}\cdot {\bar {\mathbf {e} }}_{j}=\cos \theta _{ji}\end{aligned}}$

ここで $、θ ij$ と $θ jiはそれぞれ$ $x i$ 軸と $x j$ 軸の間の角度です。一般に、 $θ ij$ $はθ ji$ と等しくありません。例えば、 $θ 12$ と $θ 21$ は異なる角度だからです。

座標の変換は次のように記述できます。

${\begin{array}{c}{\bar {x}}_{j}=x_{i}\left({\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \mathbf {e} _{j}\right)=x_{i}\cos \theta _{ij}\\[3pt]\upharpoonleft \downharpoonright \\[3pt]x_{j}={\bar {x}}_{i}\left(\mathbf {e} _{i}\cdot {\bar {\mathbf {e} }}_{j}\right)={\bar {x}}_{i}\cos \theta _{ji}\end{array}}$

3D の明示的な行列方程式は次のようになります。

${\begin{aligned}{\bar {\mathbf {x} }}&={\boldsymbol {\mathsf {L}}}\mathbf {x} \\{\begin{pmatrix}{\bar {x}}_{1}\\{\bar {x}}_{2}\\{\bar {x}}_{3}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{1}&{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{2}&{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{3}\\{\bar {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{1}&{\bar {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{2}&{\bar {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\\{\bar {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{1}&{\bar {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{2}&{\bar {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{11}&\cos \theta _{12}&\cos \theta _{13}\\\cos \theta _{21}&\cos \theta _{22}&\cos \theta _{23}\\\cos \theta _{31}&\cos \theta _{32}&\cos \theta _{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

同様に

$\mathbf {x} ={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}{\bar {\mathbf {x} }}={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\textsf {T}}{\bar {\mathbf {x} }}$

幾何学的な解釈は、 $x i$ $成分がx j成分を$ $x j$ 軸に投影した合計に等しいというものです。

$e i \cdot e j$ を行列に並べると、ドット積の対称性により対称行列（自身の転置行列に等しい行列）を形成します。これは実際には計量テンソル $g$ です。対照的に、 $e i \cdot e j$ や $e i \cdot e j は$ 、上に示したように、一般に対称行列を形成しません。したがって、L 行列は直交行列ではありますが、対称 $行列$ ではありません。

$いずれかのiについて$ $x i$ と $x i$ が一致する任意の1 つの軸の周りの回転を除き、角度はオイラー角と同じではないため、 $L$ 行列は回転行列と同じではありません。

内積と外積の変換（3次元のみ）

内積と外積は、物理学や工学におけるベクトル解析の応用において非常に頻繁に発生します。例としては、次のものがあります。

直線経路に沿って速度 $v$ の力 $F$ を及ぼす物体によって伝達される電力 $P ：$ $P=\mathbf {v} \cdot \mathbf {F}$
角速度 $ω$ で回転する剛体の点 $x$ における接線速度 $v$ ： $\mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {x}$
均一な外部磁場 $B$ における磁気モーメント $m$ の磁気双極子の位置エネルギー $U$ ： $U=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B}$
位置ベクトル $r$ と運動量 $p$ を持つ粒子の角運動量 $J$ ： $\mathbf {J} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$
均一な外部電場 $E$ 中の電気双極子モーメント $p$ の電気双極子に作用するトルク $τ$ : ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E}$
単位法線 $n$ の表面上の磁化 $M$ の磁性材料における誘導表面電流密度 $j S$ ： $\mathbf {j} _{\mathrm {S} }=\mathbf {M} \times \mathbf {n}$

これらの積が直交変換によってどのように変換されるかを以下に示します。

ドット積、クロネッカーのデルタ、計量テンソル

基底ベクトルの各可能なペアのドット積⋅は、基底が直交していることから導かれる。直交するペアについては、

${\begin{array}{llll}\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&=\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}&=\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&=\\\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&=\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&=\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}&=0\end{array}}$

一方、平行ペアの場合は

$\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}=\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}=\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}=1.$

上に示したように、カルティシアンラベルをインデックス表記に置き換えると、これらの結果は次のように要約できる。

$\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}$

ここで、 $δ ij$ はクロネッカーのデルタの成分である。このように、直交座標基底を用いて $δを表すことができる。$

さらに、任意の基底に関する各計量テンソル成分 $g ijは、基底ベクトルのペアのドット積である。$

$g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}.$

デカルト基底の場合、行列に配置されるコンポーネントは次のようになります。

$\mathbf {g} ={\begin{pmatrix}g_{\text{xx}}&g_{\text{xy}}&g_{\text{xz}}\\g_{\text{yx}}&g_{\text{yy}}&g_{\text{yz}}\\g_{\text{zx}}&g_{\text{zy}}&g_{\text{zz}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}\\\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}\\\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$

計量テンソル、すなわち $δ$ については、最も単純なものは次のとおりです。

$g_{ij}=\delta _{ij}$

これは一般基底には当てはまりません。直交座標にはさまざまなスケール係数 (必ずしも 1 ではない) を含む対角メトリックがありますが、一般曲線座標には非対角成分に対してゼロ以外のエントリが含まれることもあります。

$2つのベクトルa$ と $b$ のドット積は次のように変換される。

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{j}=a_{i}{\mathsf {L}}_{ij}b_{k}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{jk}=a_{i}\delta _{i}{}_{k}b_{k}=a_{i}b_{i}$

これは直感的です。2つのベクトルの内積は、どの座標系にも依存しない単一のスカラー値となるからです。これは、直交座標系だけでなく、より一般的にあらゆる座標系に当てはまります。ある座標系における内積は、他のどの座標系でも同じです。

外積、レヴィ・チヴィタ記号、擬ベクトル

3次元直交基底によって張られる立方体の体積e _i ⋅ e _j × e _kとしてのレヴィ・チヴィタ記号 ε _ijkの非ゼロ値。

2つのベクトルの外積( $\times$ )の場合、結果は（ほぼ）逆になります。ここでも、右手系3次元直交座標系を仮定すると、直交方向の巡回置換は、ベクトルの巡回集合における次のベクトルを生成します。

${\begin{aligned}\mathbf {e} _{\text{x}}\times \mathbf {e} _{\text{y}}&=\mathbf {e} _{\text{z}}&\mathbf {e} _{\text{y}}\times \mathbf {e} _{\text{z}}&=\mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\times \mathbf {e} _{\text{x}}&=\mathbf {e} _{\text{y}}\\[1ex]\mathbf {e} _{\text{y}}\times \mathbf {e} _{\text{x}}&=-\mathbf {e} _{\text{z}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\times \mathbf {e} _{\text{y}}&=-\mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{x}}\times \mathbf {e} _{\text{z}}&=-\mathbf {e} _{\text{y}}\end{aligned}}$

一方、平行ベクトルは明らかに消えます。

$\mathbf {e} _{\text{x}}\times \mathbf {e} _{\text{x}}=\mathbf {e} _{\text{y}}\times \mathbf {e} _{\text{y}}=\mathbf {e} _{\text{z}}\times \mathbf {e} _{\text{z}}={\boldsymbol {0}}$

そして、上記のようにカルティシアンラベルをインデックス表記に置き換えると、次のように要約できます。

$\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{j}={\begin{cases}+\mathbf {e} _{k}&{\text{cyclic permutations: }}(i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\\[2pt]-\mathbf {e} _{k}&{\text{anticyclic permutations: }}(i,j,k)=(2,1,3),(3,2,1),(1,3,2)\\[2pt]{\boldsymbol {0}}&i=j\end{cases}}$

ここで、 $i$ 、 $j$ 、 $kはそれぞれ$ $1、2、3の$ 値を取るインデックスです。したがって、次の式が成り立ちます。

${\mathbf {e} _{k}\cdot \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{j}}={\begin{cases}+1&{\text{cyclic permutations: }}(i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\\[2pt]-1&{\text{anticyclic permutations: }}(i,j,k)=(2,1,3),(3,2,1),(1,3,2)\\[2pt]0&i=j{\text{ or }}j=k{\text{ or }}k=i\end{cases}}$

$これらの順列関係とそれに対応する値は重要であり、この性質と一致するオブジェクトとして、 ε$ で表されるレヴィ・チヴィタ記号がある。レヴィ・チヴィタ記号の要素は、直交座標基底によって表すことができる。

$\varepsilon _{ijk}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k}$

これは幾何学的には、直交基底ベクトルが張る立方体の体積に対応し、符号は向きを示す（「正または負の体積」ではない）。ここで、向きは右手系の場合、 $ε$ $123$ $= +1$ で固定される。左手系の場合、 $ε$ $123$ $= -1$ 、つまり $ε$ $321$ $= +1$ で固定される。

スカラー三重積は次のように書けます。

$\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} \times \mathbf {b} =c_{i}\mathbf {e} _{i}\cdot a_{j}\mathbf {e} _{j}\times b_{k}\mathbf {e} _{k}=\varepsilon _{ijk}c_{i}a_{j}b_{k}$

$（a$ 、 $b$ 、 $c$ で張られる平行六面体の）体積の幾何学的解釈と代数的には行列式である：^[3]^：23

$\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}c_{\text{x}}&a_{\text{x}}&b_{\text{x}}\\c_{\text{y}}&a_{\text{y}}&b_{\text{y}}\\c_{\text{z}}&a_{\text{z}}&b_{\text{z}}\end{vmatrix}}$

これを使用して、2 つのベクトルの外積を次のように書き換えることができます。

${\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{i}={\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {a} \times \mathbf {b} }&=\varepsilon _{\ell jk}{(\mathbf {e} _{i})}_{\ell }a_{j}b_{k}=\varepsilon _{\ell jk}\delta _{i\ell }a_{j}b_{k}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\\\Rightarrow \quad {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{i}\mathbf {e} _{i}&=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\mathbf {e} _{i}\end{aligned}}$

見た目とは異なり、レヴィ・チヴィタ記号はテンソルではなく擬似テンソルであり、その成分は次のように変換されます。

${\bar {\varepsilon }}_{pqr}=\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\varepsilon _{ijk}{\mathsf {L}}_{ip}{\mathsf {L}}_{jq}{\mathsf {L}}_{kr}\,.$

$したがって、 a$ と $b$ の外積の変換は次のようになります。 ${\begin{aligned}&\left({\bar {\mathbf {a} }}\times {\bar {\mathbf {b} }}\right)_{i}\\[1ex]{}={}&{\bar {\varepsilon }}_{ijk}{\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{k}\\[1ex]{}={}&\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;\varepsilon _{pqr}\;\;{\mathsf {L}}_{pi}{\mathsf {L}}_{qj}{\mathsf {L}}_{rk}\;\;a_{m}{\mathsf {L}}_{mj}\;\;b_{n}{\mathsf {L}}_{nk}\\[1ex]{}={}&\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;\varepsilon _{pqr}\;\;{\mathsf {L}}_{pi}\;\;{\mathsf {L}}_{qj}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{jm}\;\;{\mathsf {L}}_{rk}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{kn}\;\;a_{m}\;\;b_{n}\\[1ex]{}={}&\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;\varepsilon _{pqr}\;\;{\mathsf {L}}_{pi}\;\;\delta _{qm}\;\;\delta _{rn}\;\;a_{m}\;\;b_{n}\\[1ex]{}={}&\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;{\mathsf {L}}_{pi}\;\;\varepsilon _{pqr}a_{q}b_{r}\\[1ex]{}={}&\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{p}{\mathsf {L}}_{pi}\end{aligned}}$

そして、行列式の因子により、 $a \times b$ は擬似ベクトルとして変換されます。

テンソルのインデックス表記は、多次元配列を形成するエンティティを持つあらゆるオブジェクトに適用されます。インデックスを持つものすべてがデフォルトでテンソルであるわけではありません。テンソルは、ある座標系から別の座標系への変換において、その座標と基底要素がどのように変化するかによって定義されます。

2 つのベクトルの外積は擬似ベクトルであり、擬似ベクトルとベクトルの外積は別のベクトルであることに注意してください。

の応用 $δ$ テンソルと $ε$ 擬テンソル

$δ$ テンソルと $ε$ 擬テンソルからは他の恒等式も形成されますが、注目に値する非常に有用な恒等式は、2 つのインデックスにわたって隣接して縮約された 2 つのレヴィ-チヴィタ記号をクロネッカーデルタの反対称化された組み合わせに変換する恒等式です。

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{pqk}=\delta _{ip}\delta _{jq}-\delta _{iq}\delta _{jp}$

内積と外積の指数形式は、この恒等式と相まって、ベクトル解析やベクトル代数における他の恒等式の操作と導出を非常に容易にし、物理学や工学の分野で広く用いられています。例えば、内積と外積はベクトルの加法に対して分配的であることは明らかです。

${\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )&=a_{i}(b_{i}+c_{i})=a_{i}b_{i}+a_{i}c_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\[1ex]\mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )&=\mathbf {e} _{i}\varepsilon _{ijk}a_{j}(b_{k}+c_{k})=\mathbf {e} _{i}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}+\mathbf {e} _{i}\varepsilon _{ijk}a_{j}c_{k}=\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times \mathbf {c} \end{aligned}}$

幾何学的な構成に頼ることなく、いずれの場合も導出は簡単な代数行で済みます。手順はやや分かりにくいものの、ベクトルの三重積も導出可能です。指数表記で書き直すと、

$\left[\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right]_{i}=\varepsilon _{ijk}a_{j}(\varepsilon _{k\ell m}b_{\ell }c_{m})=(\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{k\ell m})a_{j}b_{\ell }c_{m}$

$ε$ シンボルのインデックスを巡回置換しても値は変わらないため、 $ε kℓm$ $のインデックスを巡回置換してε ℓmk$ を得ることで、上記の $δ$ - $ε$ 恒等式を用いて $εシンボルを$ $δ$ テンソルに変換することができる。

${\begin{aligned}\left[\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right]_{i}{}={}&\left(\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{j\ell }\right)a_{j}b_{\ell }c_{m}\\{}={}&\delta _{i\ell }\delta _{jm}a_{j}b_{\ell }c_{m}-\delta _{im}\delta _{j\ell }a_{j}b_{\ell }c_{m}\\{}={}&a_{j}b_{i}c_{j}-a_{j}b_{j}c_{i}\\{}={}&\left[(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} \right]_{i}\end{aligned}}$

したがって：

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c}$

左辺から予想されるように、これは $b$ と $cに関して反対称であることに注意してください。同様に、添字表記、あるいは前の結果の$ $a$ 、 $b$ 、 $c$ を循環的にラベル付けし、負の値を取るだけでも：

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} -(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a}$

結果の差は、外積が結合則を満たしていないことを示しています。四重積のようなより複雑な恒等式は、

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} ),\quad (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {c} \times \mathbf {d} ),\quad \ldots$

なども同様な方法で導き出すことができます。

直交テンソルの変換（任意の次元）

テンソルは、座標の線形変換によって特定の方法で変換される量として定義されます。

2次

$a = a i e i$ と $b = b i e i$ を 2つのベクトルとし、 $a j = a i L ij$ 、 $b j = b i L ij$ に従って変換します

テンソル積をとると次のようになります。

$\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =a_{i}\mathbf {e} _{i}\otimes b_{j}\mathbf {e} _{j}=a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}$

次に、コンポーネントに変換を適用する

${\bar {a}}_{p}{\bar {b}}_{q}=a_{i}{\mathsf {L}}_{i}{}_{p}b_{j}{\mathsf {L}}_{j}{}_{q}={\mathsf {L}}_{i}{}_{p}{\mathsf {L}}_{j}{}_{q}a_{i}b_{j}$

そして基地へ

${\bar {\mathbf {e} }}_{p}\otimes {\bar {\mathbf {e} }}_{q}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{pi}\mathbf {e} _{i}\otimes \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{qj}\mathbf {e} _{j}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{pi}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{qj}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}={\mathsf {L}}_{ip}^{-1}{\mathsf {L}}_{jq}^{-1}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}$

$は$ 2次テンソルの変換則を与える。テンソル $a\otimesb は$ この変換に対して不変である。

${\begin{aligned}{\bar {a}}_{p}{\bar {b}}_{q}{\bar {\mathbf {e} }}_{p}\otimes {\bar {\mathbf {e} }}_{q}{}={}&{\mathsf {L}}_{kp}{\mathsf {L}}_{\ell q}a_{k}b_{\ell }\,\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{pi}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{qj}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\\[1ex]{}={}&{\mathsf {L}}_{kp}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{pi}{\mathsf {L}}_{\ell q}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{qj}\,a_{k}b_{\ell }\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\\[1ex]{}={}&\delta _{k}{}_{i}\delta _{\ell j}\,a_{k}b_{\ell }\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\\[1ex]{}={}&a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\end{aligned}}$

より一般的には、任意の2次テンソル

$\mathbf {R} =R_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,,$

コンポーネントは以下に従って変換されます。

${\bar {R}}_{pq}={\mathsf {L}}_{i}{}_{p}{\mathsf {L}}_{j}{}_{q}R_{ij},$

そして基底は次のように変換されます。

${\bar {\mathbf {e} }}_{p}\otimes {\bar {\mathbf {e} }}_{q}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ip}\mathbf {e} _{i}\otimes \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{jq}\mathbf {e} _{j}$

$R が$ この規則に従って変換しない場合は、 $R が$ どのような量であっても、それは 2 次テンソルではありません。

任意の次数

より一般的には、任意の次数 $p$ テンソルに対して

$\mathbf {T} =T_{j_{1}j_{2}\cdots j_{p}}\mathbf {e} _{j_{1}}\otimes \mathbf {e} _{j_{2}}\otimes \cdots \mathbf {e} _{j_{p}}$

コンポーネントは以下に従って変換されます。

${\bar {T}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{p}}={\mathsf {L}}_{i_{1}j_{1}}{\mathsf {L}}_{i_{2}j_{2}}\cdots {\mathsf {L}}_{i_{p}j_{p}}T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}}$

そして基底は次のように変換されます。

${\bar {\mathbf {e} }}_{j_{1}}\otimes {\bar {\mathbf {e} }}_{j_{2}}\cdots \otimes {\bar {\mathbf {e} }}_{j_{p}}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{j_{1}i_{1}}\mathbf {e} _{i_{1}}\otimes \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{j_{2}i_{2}}\mathbf {e} _{i_{2}}\cdots \otimes \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{j_{p}i_{p}}\mathbf {e} _{i_{p}}$

$p$ 位の擬似テンソル $S$ の場合、成分は次のように変換されます。

${\bar {S}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{p}}=\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}}){\mathsf {L}}_{i_{1}j_{1}}{\mathsf {L}}_{i_{2}j_{2}}\cdots {\mathsf {L}}_{i_{p}j_{p}}S_{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}}\,.$

反対称2階テンソルとしての擬ベクトル

外積の反対称性は、次のようにテンソル形式に書き直すことができる。[ ^2] $c$ をベクトル、 $aを$ 擬似ベクトル、 $bを$ 別のベクトルとし、 $Tを$ 次の式で表される2次テンソルとする。

$\mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {T} \cdot \mathbf {b}$

外積は $a$ と $bについて線形なので、$ $T$ の成分は検査によって見つけることができ、次のようになります。

$\mathbf {T} ={\begin{pmatrix}0&-a_{\text{z}}&a_{\text{y}}\\a_{\text{z}}&0&-a_{\text{x}}\\-a_{\text{y}}&a_{\text{x}}&0\\\end{pmatrix}}$

したがって、擬ベクトル $a は$ 反対称テンソルとして表すことができます。これは擬テンソルではなく、テンソルとして変換されます。上記の力学的な例において、剛体の接線速度 $v = ω \times xは、$ $v = Ω \cdot x$ と書き直すことができます。ここで $、Ωは擬ベクトル$ $ω$ に対応するテンソルです。

${\boldsymbol {\Omega }}={\begin{pmatrix}0&-\omega _{\text{z}}&\omega _{\text{y}}\\\omega _{\text{z}}&0&-\omega _{\text{x}}\\-\omega _{\text{y}}&\omega _{\text{x}}&0\\\end{pmatrix}}$

電磁気学の例では、電場 $E$ はベクトル場ですが、磁場 $B$ は擬ベクトル場です。これらの場は、速度 $v$ で移動する電荷 $q$ の粒子に働くローレンツ力から定義されます。

$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )=q(\mathbf {E} -\mathbf {B} \times \mathbf {v} )$

$そして、擬似ベクトルB$ と速度ベクトル $v$ の外積を含む第 2 項を考慮すると、 $F$ 、 $E$ 、 $v$ を列ベクトル、 $B$ を反対称行列として行列形式で表すことができます。

${\begin{pmatrix}F_{\text{x}}\\F_{\text{y}}\\F_{\text{z}}\\\end{pmatrix}}=q{\begin{pmatrix}E_{\text{x}}\\E_{\text{y}}\\E_{\text{z}}\\\end{pmatrix}}-q{\begin{pmatrix}0&-B_{\text{z}}&B_{\text{y}}\\B_{\text{z}}&0&-B_{\text{x}}\\-B_{\text{y}}&B_{\text{x}}&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{\text{x}}\\v_{\text{y}}\\v_{\text{z}}\\\end{pmatrix}}$

擬ベクトルが2つのベクトルの外積によって明示的に与えられる場合（別のベクトルの外積をそのベクトルに代入するのではなく）、そのような擬ベクトルは、各要素が外積の成分となる2階の反対称テンソルとして表すこともできる。J $=$ $x$ $\times$ $pで定義される軸の周りを周回する古典的な点状粒子の角運動量は、$ $擬$ ベクトルの別の例であり、対応する反対称テンソルは次のように表される。

$\mathbf {J} ={\begin{pmatrix}0&-J_{\text{z}}&J_{\text{y}}\\J_{\text{z}}&0&-J_{\text{x}}\\-J_{\text{y}}&J_{\text{x}}&0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-(xp_{\text{y}}-yp_{\text{x}})&(zp_{\text{x}}-xp_{\text{z}})\\(xp_{\text{y}}-yp_{\text{x}})&0&-(yp_{\text{z}}-zp_{\text{y}})\\-(zp_{\text{x}}-xp_{\text{z}})&(yp_{\text{z}}-zp_{\text{y}})&0\\\end{pmatrix}}$

相対性理論ではデカルトテンソルは出現しないが、軌道角運動量 $J$ のテンソル形式は相対論的角運動量テンソルの空間的部分に入り、磁場 $B$ の上記のテンソル形式は電磁テンソルの空間的部分に入る。

ベクトルとテンソルの計算

以下の式は、直交座標ではそれほど単純ではありません。一般的な曲線座標では、計量の因子とその行列式が存在します。より一般的な分析については、曲線座標のテンソルを参照してください。

ベクトル解析

以下はベクトル解析の微分作用素である。全体を通して、 $Φ(r, t)を$ スカラー体とし、

${\begin{aligned}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)&=A_{\text{x}}(\mathbf {r} ,t)\mathbf {e} _{\text{x}}+A_{\text{y}}(\mathbf {r} ,t)\mathbf {e} _{\text{y}}+A_{\text{z}}(\mathbf {r} ,t)\mathbf {e} _{\text{z}}\\[1ex]\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=B_{\text{x}}(\mathbf {r} ,t)\mathbf {e} _{\text{x}}+B_{\text{y}}(\mathbf {r} ,t)\mathbf {e} _{\text{y}}+B_{\text{z}}(\mathbf {r} ,t)\mathbf {e} _{\text{z}}\end{aligned}}$

ベクトル場であり、すべてのスカラー場とベクトル場は位置ベクトル $r$ と時間 $t$ の関数です。

デカルト座標における勾配演算子は次のように与えられます。

$\nabla =\mathbf {e} _{\text{x}}{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} _{\text{y}}{\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {e} _{\text{z}}{\frac {\partial }{\partial z}}$

インデックス表記では、これは通常、さまざまな方法で省略されます。

$\nabla _{i}\equiv \partial _{i}\equiv {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$

この演算子はスカラー場 Φ に作用して、 Φ の最大増加率に向けられたベクトル場を取得します。

$\left(\nabla \Phi \right)_{i}=\nabla _{i}\Phi$

点積と外積のインデックス表記はベクトル計算の微分演算子にも引き継がれる。^[3]^{: 197}

スカラー場 $Φ$ の方向微分は、ある方向ベクトル $a$ (必ずしも単位ベクトルではない) に沿った $Φ$ の変化率であり、 $a$ の成分と勾配から形成されます。

$\mathbf {a} \cdot (\nabla \Phi )=a_{j}(\nabla \Phi )_{j}$

ベクトル場 $A$ の発散は次のようになります。

$\nabla \cdot \mathbf {A} =\nabla _{i}A_{i}$

勾配とベクトル場の成分の入れ替えにより、異なる微分演算子が得られることに注意する。

$\mathbf {A} \cdot \nabla =A_{i}\nabla _{i}$

これはスカラー場またはベクトル場に作用する可能性があります。実際、Aを流体の速度場 $u (r, t)$ に置き換えると、これは連続体力学における物質微分（他の多くの名称を持つ）の項となり、別の項として部分時間微分が挙げられます。

${\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla$

これは通常、速度場に対して作用し、ナビエ・ストークス方程式の非線形性につながります。

ベクトル場 $A$ の回転に関しては、 $ε$ 記号を用いて擬似ベクトル場として定義することができます。

$\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)_{i}=\varepsilon _{ijk}\nabla _{j}A_{k}$

これは3次元でのみ有効であり、またはインデックスの反対称化による2次の反対称テンソル場で、反対称化されたインデックスを角括弧で区切ることで示されます（リッチ計算を参照）。

$\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)_{ij}=\nabla _{i}A_{j}-\nabla _{j}A_{i}=2\nabla _{[i}A_{j]}$

これは任意の次元数で有効です。いずれの場合も、勾配とベクトル場の成分の順序を入れ替えてはいけません。入れ替えると異なる微分演算子が生成されます。

$\varepsilon _{ijk}A_{j}\nabla _{k}=A_{i}\nabla _{j}-A_{j}\nabla _{i}=2A_{[i}\nabla _{j]}$

スカラー場またはベクトル場に対して作用する可能性があります。

最後に、ラプラシアン演算子は、スカラー場 $Φ$ の勾配の発散という2つの方法で定義されます。

$\nabla \cdot (\nabla \Phi )=\nabla _{i}(\nabla _{i}\Phi )$

またはスカラー場 $Φ$ またはベクトル場 $A$ に作用する勾配演算子の2乗：

${\begin{aligned}(\nabla \cdot \nabla )\Phi &=(\nabla _{i}\nabla _{i})\Phi \\(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {A} &=(\nabla _{i}\nabla _{i})\mathbf {A} \end{aligned}}$

物理学と工学では、勾配、発散、回転、ラプラシアン演算子は、流体力学、ニュートンの重力、電磁気学、熱伝導、さらには量子力学でも必然的に生じます。

$ベクトル計算の恒等式は、ベクトルの内積・外積・組み合わせの恒等式と同様の方法で導出できます。例えば、3次元では、2つのベクトル場A$ と $B$ の外積の回転は次のようになります。

${\begin{aligned}&\left[\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\right]_{i}\\{}={}&\varepsilon _{ijk}\nabla _{j}(\varepsilon _{k\ell m}A_{\ell }B_{m})\\{}={}&(\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{\ell mk})\nabla _{j}(A_{\ell }B_{m})\\{}={}&(\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{j\ell })(B_{m}\nabla _{j}A_{\ell }+A_{\ell }\nabla _{j}B_{m})\\{}={}&(B_{j}\nabla _{j}A_{i}+A_{i}\nabla _{j}B_{j})-(B_{i}\nabla _{j}A_{j}+A_{j}\nabla _{j}B_{i})\\{}={}&(B_{j}\nabla _{j})A_{i}+A_{i}(\nabla _{j}B_{j})-B_{i}(\nabla _{j}A_{j})-(A_{j}\nabla _{j})B_{i}\\{}={}&\left[(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )-(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} \right]_{i}\\\end{aligned}}$

ここでは積の法則が用いられ、微分演算子は $A$ または $B$ と入れ替わっていません。つまり、

$\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )-(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B}$

テンソル微積分

高次のテンソルに対しても演算を続けることができます。T $= T$ $($ $r, t) を、位置ベクトル$ $r$ と時間 $t$ に依存する2階テンソル場とします

たとえば、2 つの同等の表記法 (それぞれ「2 項」と「テンソル」) におけるベクトル場の勾配は次のようになります。

$(\nabla \mathbf {A} )_{ij}\equiv (\nabla \otimes \mathbf {A} )_{ij}=\nabla _{i}A_{j}$

これは2次のテンソル場です。

テンソルの発散は次のようになります。

$(\nabla \cdot \mathbf {T} )_{j}=\nabla _{i}T_{ij}$

これはベクトル場です。これは連続体力学におけるコーシーの運動法則に現れます。コーシー応力テンソル $σ$ の発散はベクトル場であり、流体に作用する体積力と関連しています。

標準的なテンソル計算との違い

デカルトテンソルはテンソル代数と同様ですが、のユークリッド構造と基底の制限により、一般理論に比べていくつかの単純化がもたらされます。

一般テンソル代数は、 $($ $p$ $,$ $q$ $)$ 型の一般混合テンソルから構成されます。

$\mathbf {T} =T_{j_{1}j_{2}\cdots j_{q}}^{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}}\mathbf {e} _{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}}^{j_{1}j_{2}\cdots j_{q}}$

基底元を持つ：

$\mathbf {e} _{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}}^{j_{1}j_{2}\cdots j_{q}}=\mathbf {e} _{i_{1}}\otimes \mathbf {e} _{i_{2}}\otimes \cdots \mathbf {e} _{i_{p}}\otimes \mathbf {e} ^{j_{1}}\otimes \mathbf {e} ^{j_{2}}\otimes \cdots \mathbf {e} ^{j_{q}}$

成分は次のように変換されます：

${\bar {T}}_{\ell _{1}\ell _{2}\cdots \ell _{q}}^{k_{1}k_{2}\cdots k_{p}}={\mathsf {L}}_{i_{1}}{}^{k_{1}}{\mathsf {L}}_{i_{2}}{}^{k_{2}}\cdots {\mathsf {L}}_{i_{p}}{}^{k_{p}}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{\ell _{1}}{}^{j_{1}}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{\ell _{2}}{}^{j_{2}}\cdots \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{\ell _{q}}{}^{j_{q}}T_{j_{1}j_{2}\cdots j_{q}}^{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}}$

基底については：

${\bar {\mathbf {e} }}_{k_{1}k_{2}\cdots k_{p}}^{\ell _{1}\ell _{2}\cdots \ell _{q}}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{k_{1}}{}^{i_{1}}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{k_{2}}{}^{i_{2}}\cdots \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{k_{p}}{}^{i_{p}}{\mathsf {L}}_{j_{1}}{}^{\ell _{1}}{\mathsf {L}}_{j_{2}}{}^{\ell _{2}}\cdots {\mathsf {L}}_{j_{q}}{}^{\ell _{q}}\mathbf {e} _{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}}^{j_{1}j_{2}\cdots j_{q}}$

直交基底を持つユークリッド空間では、デカルトテンソルの位数 $p + q$ のみが重要であり、すべての $p + q$ 添字は下げることができる。ベクトル空間が正定値計量を持たない限り、デカルト基底は存在しないため、相対論的な文脈では使用できない。

歴史

歴史的に、二項テンソルは二階テンソルを定式化する最初のアプローチであり、同様に三項テンソルは三階テンソルを定式化する最初のアプローチでした。直交座標テンソルはテンソルのインデックス表記法を使用しますが、インデックスを上げ下げしても成分は変化しないため、分散は無視されることが多く、しばしば無視されます。

参照

参考文献

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^ ab MR Spiegel; S. Lipcshutz; D. Spellman (2009).ベクトル解析. Schaum's Outlines (第2版). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7。

一般参考文献

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MRシュピーゲル、S.リップシュッツ、D.スペルマン（2009年）。ベクトル解析。シャウムズ・アウトライン（第2版）。マグロウヒル。227ページ。ISBN 978-0-07-161545-7。
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参考文献と応用

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外部リンク

デカルトテンソル
VN Kaliakin著『テンソルの簡潔なレビュー』、デラウェア大学
RE Hunt、デカルトテンソル、ケンブリッジ大学

[MTW_notation-1] CW Misner、KS Thorne、JA Wheeler（1973年9月15日）。『重力』、マクミラン、ISBN 0-7167-0344-0。、全編を通して使用

[Kibble_notation-2] TWB Kibble (1973).古典力学. ヨーロッパ物理学シリーズ（第2版）. マグロウヒル. ISBN 978-0-07-084018-8。付録Cを参照してください。

[Spiegel-3] MR Spiegel; S. Lipcshutz; D. Spellman (2009).ベクトル解析. Schaum's Outlines (第2版). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7。