カルティエ同型性

代数幾何学において、カルティエ同型とは、正標数の体上の滑らかな代数多様体のド・ラーム複体のコホモロジー層と、その多様体のフロベニウスねじれ上の微分形式の層との間の同型である。ピエール・カルティエにちなんで名付けられている。直観的には、これは正標数におけるド・ラームコホモロジーが予想よりもはるかに大きな対象であることを示す。これは、ドリーニュとイリュージーによるホッジ–ド・ラームスペクトル列の退化へのアプローチにおいて重要な役割を果たす。^[1]

声明

k を特性p > 0の体とし、をk -スキームの射とする。をフロベニウスツイストとし、を相対フロベニウスとする。カルティエ写像は、の任意の局所断面xに対してとなる次数付き -代数の唯一の射として定義される。（ここで、カルティエ写像が一般に明確に定義されるためには、余域に対してコホモロジー層を取ることが不可欠である。）カルティエ同型とは、が滑らかな射である場合に写像が同型であるという主張である。 ${\textstyle f:X\to S}$ $X^{(p)}=X\times _{S,\varphi }S$ $F:X\to X^{(p)}$ $C^{-1}:\bigoplus _{i\geq 0}\Omega _{X^{(p)}/S}^{i}\to \bigoplus _{i\geq 0}{\mathcal {H}}^{i}(F_{*}\Omega _{X/S}^{\bullet })$ ${\textstyle {\mathcal {O}}_{X^{(p)}}}$ $C^{-1}(d(x\otimes 1))=[x^{p-1}dx]$ ${\mathcal {O}}_{X}$ $C^{-1}$ $f$

上記では、カルティエ同型性を最も一般的に見られる形式（例えば、1970年のカッツの論文）で定式化した。^[2]カルティエは原論文において、逆写像をより限定的な設定で考察しており、これがカルティエ写像の表記法の由来である。 ^[3] $C^{-1}$

カルティエ写像が同型となるためには、滑らかさの仮定は本質的ではない。例えば、カルティエ写像の両辺がフィルター付き余極限と可換なので、ind-滑らかな射に対しては滑らかさの仮定が成り立つ。ポペスクの定理により、ノイザンkスキームの正則射に対してカルティエ同型が得られる。^[4]オフェル・ガッバーもまた、付値環に対してカルティエ同型を証明している。^{[5]別の観点から言えば、導来ド・ラームコホモロジー（共役フィルターの関連する次数をとる）とコ}タンジェント複体の外冪を代わりに用いることで、このような仮定を完全に省くことができる。^[6]

参考文献

^ ピエール・ドリーニュ;リュック・イリュージー (1987)。「Relèvements modulo p ² et décomposition du complexe de de Rham」。数学の発明。89 (2): 247–270。書誌コード:1987InMat..89..247D。土井：10.1007/BF01389078。S2CID 119635574。
^ ニコラス・M・カッツ (1970 年 1 月)。「虚無能結合とモノドロミー定理: Turrittin の結果の応用」。出版物 Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques。39 : 175–232。土井:10.1007/BF02684688。S2CID 16261793。
^ カルティエ、ピエール (1957)。「異なる形式の新しい操作」。CRアカデミー。科学。パリ。244 : 426–428 .
^ Kelly, Shane; Morrow, Matthew (2021-05-20). 「K-評価環の理論」 . Compositio Mathematica . 157 (6): 1121– 1142. doi :10.1112/S0010437X21007119. ISSN 0010-437X. S2CID 119721861.§2の議論を参照。
^ Kerz, Moritz; Strunk, Florian; Tamme, Georg (2021-05-20). 「正特性におけるVorstの予想に向けて」. Compositio Mathematica . 157 (6): 1143– 1171. arXiv : 1812.05342 . doi :10.1112/S0010437X21007120. ISSN 0010-437X. S2CID 119755507.付録Aを参照。
^ Kedlaya, Kiran S. 「Derived de Rham cohomology」. kskedlaya.org . Prop. 17.2.4. 2022年9月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。

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[1] ピエール・ドリーニュ;リュック・イリュージー (1987)。「Relèvements modulo p ² et décomposition du complexe de de Rham」。数学の発明。89 (2): 247–270。書誌コード:1987InMat..89..247D。土井：10.1007/BF01389078。S2CID 119635574。

[2] ニコラス・M・カッツ (1970 年 1 月)。「虚無能結合とモノドロミー定理: Turrittin の結果の応用」。出版物 Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques。39 : 175–232。土井:10.1007/BF02684688。S2CID 16261793。

[3] カルティエ、ピエール (1957)。「異なる形式の新しい操作」。CRアカデミー。科学。パリ。244 : 426–428 .

[4] Kelly, Shane; Morrow, Matthew (2021-05-20). 「K-評価環の理論」 . Compositio Mathematica . 157 (6): 1121– 1142. doi :10.1112/S0010437X21007119. ISSN 0010-437X. S2CID 119721861.§2の議論を参照。

[5] Kerz, Moritz; Strunk, Florian; Tamme, Georg (2021-05-20). 「正特性におけるVorstの予想に向けて」. Compositio Mathematica . 157 (6): 1143– 1171. arXiv : 1812.05342 . doi :10.1112/S0010437X21007120. ISSN 0010-437X. S2CID 119755507.付録Aを参照。

[6] Kedlaya, Kiran S. 「Derived de Rham cohomology」. kskedlaya.org . Prop. 17.2.4. 2022年9月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。