コーシーの収束テスト

コーシー収束判定法は、無限級数の収束性を判定するために使用される手法である。級数の各項の上限和に基づいて判定する。この収束判定基準は、1821年に出版された教科書『Cours d'Analyse 』に掲載されたオーギュスタン＝ルイ・コーシーにちなんで名付けられた。 ^{[ 1 ]}

声明

級数が収束するとは、任意の自然数に対して、 ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon }$

すべてに当てはまる。^{[ 2 ]}${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

説明

(a)青で示されたコーシー列 のプロット。列を含む空間が完備であれば、この列の「最終的な到達点」（つまり極限）が存在する。${\displaystyle (x_{n}),}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle n}$

(b) コーシー列ではない列。列が進むにつれて、列の要素が互いに任意に近づくことができない。

この定理は、無限級数の収束判定において、初期値付近の値は無視できるということを述べている。初期値が非常に大きい場合でも、級数の収束は、無限大に近づくにつれての最終的な挙動に大きく依存する。^{[ 3 ]}${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle n}$

このテストは、実数空間と複素数空間（計量は絶対値 で与えられる）が両方とも完備 であるため成立する。ここから、級数が収束するためには、部分和が${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle s_{n}:=\sum _{i=0}^{n}a_{i}}$

はコーシー列である。

コーシーの収束判定は、すべてのコーシー列が収束する空間である完備計量空間（ や など）においてのみ適用できます。これは、列の有限な進行の後に、その元が互いに任意に近づくことを示すだけで、級数が収束することを証明できるからです。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

証拠

無限級数の部分和の列の収束に関する結果を、無限級数自体の収束に適用することができる。コーシー判定基準はそのような応用の一つである。任意の実数列に対して、上記の収束に関する結果は、無限級数が${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$

収束は、任意の 数Nに対して、m ≥ n ≥ Nとなるような数Nが存在するときのみ成立する。${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle |s_{m}-s_{n}|=\left|\sum _{k=n+1}^{m}a_{k}\right|<\varepsilon .}$ ^{[ 4 ] : 188}

この定理の最も興味深い点は、コーシー条件が極限の存在を意味するという点でしょう。これは実数直線の完全性と密接に関連しています。コーシーの基準は様々な状況に一般化することができ、それらはすべて「振動条件が消滅することは収束と同値である」と大まかに要約できます。^{[ 5 ]}

この記事にはPlanetMathの Cauchy 収束基準からの資料が組み込まれており、これはCreative Commons Attribution/Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされています。

参考文献

1. アレグランザ、マウロ。「『コーシー収束テストの起源』への回答」「科学と数学の歴史」。StackExchange。2021年9月10日閲覧。
2. アボット、スティーブン (2001). 『解析を理解する』 数学の学部テキスト. ニューヨーク:シュプリンガー出版. p. 63. ISBN 978-0-387-21506-8。
3. パルジンスキー, ウィリアム・R.; ジプセ, フィリップ・W. (1982).数学解析入門. 純粋数学と応用数学の国際シリーズ. ニューヨーク: マグロウヒル. p. 186. ISBN 978-0-07-048845-8。
4. ウェイド、ウィリアム (2010). 『解析入門』 アッパーサドルリバー、ニュージャージー州: プレンティスホール. ISBN 9780132296380。
5. Kudryavtsev, Lev D.; De Lellis, Camillo; Artemisfowl3rd (2013). 「コーシー基準」 . Rehmann, Ulf (編).数学百科事典. Springer,ヨーロッパ数学協会.