カオス的散乱

カオス散乱は、初期条件に対して強い感受性を示す散乱系を扱うカオス理論の一分野です。古典的な散乱系では、粒子が散乱体に送り込まれる際に、1つ以上の衝突パラメータbが存在します。これにより、粒子が無限遠に向かって出ていく際に、1つ以上の出射パラメータyが生じます。粒子が系を横断する間、移動距離sに加えて、粒子が系を出ていくのにかかる時間である遅延時間Tも存在する場合があります。特定の系（例えば、粒子が硬い固定物体と損失なく衝突する「ビリヤードのような」系）では、この2つは等価になります（下記参照）。カオス散乱系では、衝突パラメータのわずかな変化が、出射パラメータに大きな変化をもたらすことがあります。

ガスパール・ライスシステム

ガスパール・ライス散乱系
図1: ガスパール・ライス散乱システムの主なパラメータを示す図。

優れた例として「ガスパール・ライス」（GR）散乱系 [1] （単に「3円板」系とも呼ばれる）が挙げられます。この系はカオス散乱における重要な概念の多くを体現しているだけでなく、シンプルで理解しやすく、シミュレーションも容易です。その概念は非常にシンプルです。3つの硬い円板が三角形状に配置されており、点粒子が入射すると、無限遠に向かって飛び出すまで完全な弾性衝突が起こります。本稿では、正三角形の頂点の周りに等間隔に配置された、同じ大きさの円板を持つGR系のみを考察します。

図1はこのシステムを示し、図2は2つの軌道の例を示しています。まず、軌道は最終的にシステムから脱出する前に、しばらくシステム内を跳ね回っていることに注目してください。また、衝突パラメータを左側の2本の完全に水平な線の始点と見なすと（システムは完全に可逆であり、脱出点は進入点にもなり得ます）、2つの軌道は最初は非常に近く、ほぼ同一です。脱出時には完全に異なる軌道になり、初期条件に対する強い感受性を示しています。このシステムは、この記事全体を通して例として使用されます。

ガスパール・ライス系の初期条件に対する感度
図2: 初期条件に対する感度を示すガスパール・ライス散乱システム。

減衰率

均一に分布した衝突パラメータを持つ多数の粒子を導入した場合、それらがシステムから退出する速度は減衰率と呼ばれます。減衰率は、システムを多数の試行にわたってシミュレートし、遅延時間Tのヒストグラムを作成することで計算できます。GRシステムの場合、遅延時間と粒子の軌道の長さは乗算係数を除いて等しいことが容易にわかります。衝突パラメータの典型的な選択はy座標であり、軌道角度は0度（水平）で一定に保たれます。一方、粒子がシステムの中心から任意の、しかし十分に大きな距離にある境界を通過すると、粒子は「システムから退出した」と言えます。

系内に残っている粒子の数N(T)は次のように変化すると予想されます。

北 （ T ） 〜 e − γ T {\displaystyle N(T)\sim e^{-\gamma T}}

したがって、減衰率、は次のように与えられます。 γ {\displaystyle \gamma}

γ ＝ リム n → ∞ − ln ⁡ 北 （ T ） T {\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }-{\frac {\ln N(T)}{T}}}

ここでnは粒子の総数である。 [2]

図3は、ランダムな衝突パラメータbから開始した100万個（1e6）の粒子のシミュレーションにおける、経路長と粒子数のプロットを示しています。負の傾きを持つフィッティング直線が重ねて表示されています。経路長sは、（一定の）速度を適切にスケーリングすれば、減衰時間Tに等しくなります。指数関数的な減衰率は、双曲型カオス散乱に特有の特性であることに注意してください。非双曲型散乱体は、算術的な減衰率を持つ場合があります。 [3] γ ＝ 0.739 {\displaystyle \gamma =0.739}

GRシステムの減衰率
図3: ガスパール・ライス散乱系の減衰率。

実験システムと安定多様体

図4: 実験的なガスパール・ライス散乱システム。[4]

図4は、点粒子の代わりにレーザーを用いたガスパール・ライス系の実験的実現例を示しています。実際に試した人なら誰でも知っているように、これは系を試験する方法としてはあまり効果的ではありません。レーザービームはあらゆる方向に散乱してしまうからです。Sweet、Ott、Yorke [5]が示し​​たように 、より効果的な方法は、円盤間の隙間に色光を照射し（またはこの場合は、一対の円筒の間に色付きの紙片をテープで貼り付け）、開いた隙間を通して反射光を観察することです。その結果、以下に示すように、交互に色が変化する複雑な縞模様が得られます。これは、その下のシミュレーション版でより鮮明に確認できます。

図5と図6は、各衝突パラメータbの吸引域を示しています。つまり、bの特定の値に対して、粒子はどの隙間から出るのでしょうか。吸引域の境界はカントール集合を​​形成し、安定多様体のメンバー、つまり一度開始されるとシステムから出ることのない軌道を表します。

図5: 吸引域を示す実験的なガスパール・ライス散乱システム。[4]
図6：ガスパール・ライス散乱系のシミュレーション。吸引域を示している。[4]

不変集合と記号力学

図7: ガスパール・ライス系を反復関数マップとして表現するための可能な変数。[6]

対称である限り、システムを反復関数マップとして簡単に考えることができます。これは、カオス的で動的システムを表現する一般的な方法です。 [7] 図 7 は、変数の 1 つの表現を示しています。最初の変数 は、 跳ね返り時にディスクの周りの角度を表し、2 番目の変数 は、ディスクに対する衝突/跳ね返りの角度を表します。不変セットと呼ばれるこれらの 2 つの変数のサブセットは、それ自体にマップされます。このセット (図 8 と 9 に 4 つのメンバーが示されています) は、フラクタル で、完全に非吸引性であり、測度は0 です。これは、フラクタル不変セットが吸引性であり、実際に吸引域を構成する、より一般的に議論されるカオス システムの興味深い反転です。不変セットの完全に非吸引性の性質は、双曲型カオス散乱体のもう 1 つの特性であることに注意してください。 θ ∈ [ − π 、 π ] {\displaystyle \theta \in [-\pi ,\pi ]} ϕ ∈ [ − π / 2 、 π / 2 ] {\displaystyle \phi \in [-\pi /2,\pi /2]}

図8: ガスパール・ライス系の不変集合の4つのメンバー。
図 9: ガスパール・ライス系の不変集合の 4 つのメンバーを時間的に前方に反復した図。

不変集合の各要素は、記号力学を用いてモデル化できる。すなわち、軌道は、それが跳ね返る各円板に基づいてラベル付けされる。このようなシーケンス全体の集合は、無数集合を形成する。[8] 図8と図9に示されている4つの要素について、記号力学は以下のようになる。 [3] 

...121212121212...
...232323232323...
...313131313131...
...123123123123...

安定多様体のメンバーも同様に表現できますが、各列には開始点があります。不変集合のメンバーは2つの引力域の境界に「収まる」必要があることを考えると、摂動を受けた場合、軌道は列のどの位置からでも出ることができることは明らかです。したがって、任意の境界間には、3つの「色」すべてが交互に現れる無限個の引力域が存在することも明らかです。 [2] [3] [8]

不安定な性質のため、不変集合や安定多様体のメンバーに直接アクセスすることは困難です。不確実性指数は、この種のシステムのフラクタル次元を測定するのに最適です。もう一度、単一の衝撃パラメータbを使用し、ランダムな衝撃パラメータで複数回の試行を実行し、微小量 で摂動を与えて、ディスクからの跳ね返りの数が変化する頻度、つまり不確実性の割合を数えます。システムが 2 次元であっても、安定多様体のフラクタル次元を測定するには単一の衝撃パラメータで十分であることに注意してください。これは、図 10 に示されています。図には、デュアル衝撃パラメータおよびの関数としてプロットされた吸引域が表示されています。域間の境界に見られる安定多様体は、1 つの次元に沿ってのみフラクタルです。 ϵ {\displaystyle \epsilon } θ {\displaystyle \theta} ϕ {\displaystyle \phi }

図10：二重衝突パラメータの関数としての吸引域、および[ 6] θ {\displaystyle \theta} ϕ {\displaystyle \phi }

図11は、ガスパール・ライス系のシミュレーションにおける不確実性の割合fを不確実性の関数としてプロットしたものである。近似曲線の傾きは不確実性指数fを返すため、安定多様体のボックスカウンティング次元はfとなる。不変集合は、安定多様体と不安定多様体の交点である。 [9] ϵ {\displaystyle \epsilon } γ ＝ 0.380 {\displaystyle \gamma =0.380} D 0 ＝ 北 − γ ＝ 2 − 0.380 ＝ 1.62 {\displaystyle D_{0}=N-\gamma =2-0.380=1.62}

システムは順方向に実行しても逆方向に実行しても同じなので、不安定多様体は単に安定多様体の鏡像であり、それらのフラクタル次元は等しくなります。 [8] これに基づいて、不変集合のフラクタル次元を計算できます。[2]

D ＝ D s + D あなた − 北 ＝ 2 D s − 北 ＝ 北 − 2 γ {\displaystyle D=D_{s}+D_{u}-N=2D_{s}-N=N-2\gamma }

ここで、D_sとD_uはそれぞれ安定多様体と不安定多様体のフラクタル次元であり、N =2は系の次元数である。不変集合のフラクタル次元はD =1.24である。

図10: ガスパール・ライス散乱システムの不確実性の割合を直線近似でプロットし、不確実性指数を示しています。

フラクタル次元、減衰率、リアプノフ指数の関係

これまでの議論から、減衰率、フラクタル次元、そしてリアプノフ指数はすべて関連していることは明らかである。例えば、大きなリアプノフ指数は、不変集合内の軌道が摂動を受けた場合にどれだけ速く発散するかを示している。同様に、フラクタル次元は不変集合内の軌道の密度に関する情報を与えてくれる。したがって、2次元散乱系に対する以下の予想に見られるように、これら2つが減衰率に影響を与えることがわかる。[2]

D 1 ＝ （ h 1 − 1 γ ） （ 1 h 1 − 1 h 2 ） {\displaystyle D_{1}=\left(h_{1}-{\frac {1}{\gamma }}\right)\left({\frac {1}{h_{1}}}-{\frac {1}{h_{2}}}\right)}

ここで、D 1は情報次元、h 1とh 2はそれぞれ小さいリャプノフ指数と大きいリャプノフ指数である。アトラクターの場合、そしてはカプラン・ヨーク予想に帰着する。[2] γ ＝ ∞ {\displaystyle \gamma =\infty }

参照

参考文献

  1. ^ ガスパール, ピエール; ライス, スチュアート A. (1989-02-15). 「古典的カオスリペラーからの散乱」. The Journal of Chemical Physics . 90 (4). AIP Publishing: 2225– 2241. Bibcode :1989JChPh..90.2225G. doi :10.1063/1.456017. ISSN  0021-9606.
  2. ^ abcde Edward Ott (1993). Chaos in Dynamical Systems . Cambridge University Press .
  3. ^ abc Yalçinkaya, Tolga; Lai, Ying-Cheng (1995). 「カオス散乱」. Computers in Physics . 9 (5). AIP Publishing: 511– 518. Bibcode :1995ComPh...9..511Y. doi : 10.1063/1.168549 . ISSN  0894-1866.
  4. ^ abc Peter Mills (2000).実験的古典カオス散乱システムの研究（技術レポート）. ウォータールー大学.
  5. ^ David Sweet、Edward Ott、James A. Yorke. 「カオス散乱における複雑なトポロジー：実験室観測」Nature 399 :313 .
  6. ^ ab Peter Mills (1998).ノイジーカオス散乱（論文）. ウォータールー大学.
  7. ^ デニー・ギュリック (1992). 『混沌との遭遇』マグロウヒル.
  8. ^ abc Bleher, Siegfried; Grebogi, Celso ; Ott, Edward (1990). 「分岐からカオス散乱へ」. Physica D: 非線形現象. 46 (1). Elsevier BV: 87– 121. Bibcode :1990PhyD...46...87B. doi :10.1016/0167-2789(90)90114-5. ISSN  0167-2789.
  9. ^ Ott, Edward; Tél, Tamás (1993). 「カオス散乱：入門」(PDF) . Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science . 3 (4). AIP Publishing: 417– 426. Bibcode :1993Chaos...3..417O. doi :10.1063/1.165949. ISSN  1054-1500. PMID  12780049.
  • ガスパール・ライス系をシミュレートするソフトウェア
  • ガスパール・ライスシステムとその象徴的ダイナミクスのシミュレーション（カオスV：デュエムの雄牛より）
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