チュー空間は、開集合の集合が和集合と有限交差に関して閉じていること、開集合が外延的であること、そして（開集合内の点の）帰属述語が二値であることという要件を削除することで、位相空間の概念を一般化します。連続関数の定義は、これらの一般化後も意味を成すように注意深く表現する必要があることを除いて、変更はありません。
この名前は、 1979年にマイケル・バーの指導の下で大学院生として自律カテゴリーの検証を最初に構築したポーシャン・チューに由来しています。[1]
意味
静的に理解すると、集合K上のChu 空間 ( A , r , X ) は、点の集合A、状態の集合X、および関数r : A × X → Kから構成されます。これは、Kから要素が抽出されたA × X行列、つまりAとXの間のK値の二項関係（通常の二項関係は2値です）となります。
動的に理解すると、Chu 空間は位相空間のように変換され、Aは点の集合、Xは開集合の集合、r はそれらの間の所属関係であり、Kは開集合における点の所属のすべての可能な次数の集合である。 ( A , r , X ) から ( B , s , Y )への連続関数に対応するものは、すべての a ∈ A およびy ∈ Y に対して随伴条件s ( f ( a ), y ) = r ( a , g ( y ))を満たす関数f : A → B、g : Y → Xのペア( f , g ) である。つまり、f は点を前方に写像するのと同時に、gは状態を後方に写像する。随伴条件によってg は逆像関数f −1となり、 gの余域としてXを選択することは、連続関数に対して開集合の逆像が開集合であるという要件に対応する。このようなペアは、Chu 変換または Chu 空間のモルフィズムと呼ばれます。
位相空間 ( X , T ) は、Xが点の集合でT が開集合の集合である場合、{0, 1} 上の Chu 空間 ( X ,∈, T ) として理解できます。つまり、位相空間の点は Chu 空間の点になり、開集合は状態になり、点と開集合の間の所属関係 " ∈ " は Chu 空間で明示的に示されます。開集合の集合が任意の (空を含む) 和と有限の (空を含む) 交差の下で閉じているという条件は、行列の列の対応する条件になります。2 つの位相空間間の連続関数f : X → X'は随伴対 ( f , g ) になり、 fは、 fのドメインで必要な開集合を示す明示的な証拠関数gとして構成される連続条件の実現と対になります。
カテゴリ構造
K上の Chu 空間とその写像の圏は、Chu ( Set , K )と表記される。定義の対称性から明らかなように、これは自己双対圏である。すなわち、すべての写像を反転して得られる圏であるその双対圏と同値（実際には同型）である。さらに、これは双対化対象 ( K , λ, {*})を持つ*-自律圏であり、λ : K × {*} → Kは λ( k , *) = k (Barr 1979)によって定義される。したがって、これはJean-Yves Girardの線型論理(Girard 1987) のモデルである。
変種
より一般的なエンリッチドカテゴリ Chu ( V , k )は、もともとBarr (1979)の付録に登場しました。Chu空間の概念はMichael Barrが考案し、詳細は彼の学生であるPo-Hsiang Chuによって展開され、彼の修士論文が付録となっています。通常のChu空間は、V = Setの場合、つまりモノイドカテゴリ Vが集合とその関数のデカルト閉カテゴリ Setに特殊化された場合に発生しますが、より一般的なエンリッチド概念が登場してから10年以上経つまで、それ自体は研究されていませんでした。de Paiva (1989)によるDialectica spacesと呼ばれるChu空間の変種は、写像条件(1)を写像条件(2)に置き換えます。
- s ( f ( a ), y ) = r ( a , g ( y ) )。
- s ( f ( a ), y ) ≤ r ( a , g ( y ) )。
普遍
位相空間とその連続関数のカテゴリTop は、各位相空間 ( X , T ) に対して、上述のようにその表現 F (( X , T )) = ( X , ∈, T ) を与える完全かつ忠実な関手 F : Top → Chu ( Set , 2 ) が存在するという意味で、Chu ( Set , 2 ) に埋め込まれる。この表現はさらに、Pultr and Trnková ( 1980 )の意味で の実現であり、すなわち、表現されるChu空間は表現される位相空間と同じ点集合を持ち、同じ関数を介して同じように変換される。
Chu 空間は、それが実現するさまざまなよく知られた構造で注目に値します。Lafont と Streicher (1991) は、 2 上の Chu 空間は位相空間とコヒーレント空間(J.-Y. Girard (1987) が線型論理をモデル化するために導入) の両方を実現するのに対し、K上の Chu 空間は、濃度が最大でもKである体上のベクトル空間の任意のカテゴリを実現すると指摘しています。これは、 Vaughan Pratt (1995) によって、 2 k上の Chu 空間によるk項関係構造の実現に拡張されました。たとえば、群の乗法を3 項関係として整理できるため、群とその準同型性のカテゴリGrp は、 Chu ( Set、 8 )によって実現されます。 Chu ( Set , 2) は、半格子、分配格子、完全および完全分配格子、ブール代数、完全原子ブール代数などの幅広い「論理」構造を実現します。これに関する詳細情報や、並行動作のモデリングへの応用を含む、Chu 空間のその他の側面については、「Chu Spaces」を参照してください。
アプリケーション
オートマタ
チュー空間は、オートマトン理論における並行計算のモデルとして、分岐時間と真の並行性を表現するのに利用できる。チュー空間は、相補性と不確実性という量子力学的現象を示す。相補性は、情報と時間、オートマトンとスケジュール、状態とイベントの双対性として生じる。不確実性は、測定が射影として定義され、観測対象における構造の増加が観測の明瞭性を低減する場合に生じる。この不確実性は、その形状因子から数値的に計算することができ、通常のハイゼンベルクの不確定性関係が得られる。チュー空間は、ヒルベルト空間のベクトルとしての波動関数に対応する。[2]
参考文献
- ^ チュー建設：ある思想の歴史、マイケル・バー・マギル大学
- ^ Pratt, VR (1994). 「Chu空間：量子的側面を持つオートマトン」.物理学と計算に関するワークショップ論文集. PhysComp '94 . pp. 186– 195. doi :10.1109/PHYCMP.1994.363682. ISBN 978-0-8186-6715-2. S2CID 14895721。
さらに読む
- Barr, M. (1979). *-自律圏. 数学講義ノート. 第752巻. ベルリン: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09563-7。
- Barr, M. (1996). 「Chu 構成」.カテゴリーの理論と応用. 2 (2): 17–35 .
- Girard, J.-Y. (1987). 「線形論理」.理論計算機科学. 50 : 1–102 . doi :10.1016/0304-3975(87)90045-4. hdl : 10338.dmlcz/120513 .
- Lafont, Y. & Streicher, T. (1991). 「線形論理のためのゲームセマンティクス」. Proc. 6th Annual IEEE Symp. On Logic in Computer Science, Amsterdam, 1991年7月. Los Alamitos: IEEE Computer Society Press : 43–49 .
- de Paiva, V. (1989). 「線形論理の弁証法的なモデル」. Proc. Conf. on Category Theory and Computer Science, Springer-Verlag Lecture Notes in Computer Science, Manchester, 1989年9月. 第389巻. pp. 341– 356.
- Pratt, VR「ストーン・ガマット：数学の座標化」第10回IEEEコンピュータサイエンスにおける論理シンポジウム、モントリオール、1995年6月、 pp. 444– 454。
- Pultr, A. & Trnková, V. (1980).群、半群、圏の組合せ論的、代数的、位相的表現. North-Holland .
外部リンク
- Chu Spaces に関する論文ガイド、Web ページ。
