クリフォードゲート
量子回路の定義

量子コンピューティングと量子情報理論において、クリフォードゲートはクリフォード群 の要素であり、 n量子ビットのパウリ群を正規化する一連の数学的変換、すなわち共役を通してパウリ行列のテンソル積をパウリ行列のテンソル積に写像するものである。この概念はダニエル・ゴッテスマンによって提唱され、数学者ウィリアム・キングドン・クリフォードにちなんで名付けられた。[1]ゴッテスマン・クニル定理により、クリフォードゲートのみで構成される量子回路は古典コンピュータで効率的にシミュレートできる。

クリフォード群は、アダマールゲート、位相ゲートS、およびCNOT の3 つのゲートによって生成されます。[2] [3] [4]このゲート セットは、いずれか 1 つのゲートを削除すると一部のクリフォード演算を実装できなくなるという意味で最小です。アダマールゲートを削除すると、ユニタリ行列表現での の累乗が不可能になり、位相ゲートSを削除すると、ユニタリ行列での の累乗が不可能になり、CNOT ゲートを削除すると、 からへの実装可能な演算のセットが削減されます。すべてのパウリ行列は位相ゲートとアダマールゲートから構成できるため、各パウリゲートはクリフォード群の要素でもあります。 1 / 2 {\displaystyle {1}/{\sqrt {2}}} 私 {\displaystyle i} C n {\displaystyle \mathbf {C} _{n}} C 1 n {\displaystyle \mathbf {C} _{1}^{n}}

ゲートはとゲートの積に等しい。ユニタリがクリフォード群の元であることを示すには、とのテンソル積のみからなるすべての に対して が成り立つことを示すだけで十分である。 はい {\displaystyle Y} X {\displaystyle X} Z {\displaystyle Z} あなた {\displaystyle U} P ∈ P n {\displaystyle P\in \mathbf {P} _{n}} X {\displaystyle X} Z {\displaystyle Z} あなた P あなた † ∈ P n {\displaystyle UPU^{\dagger }\in \mathbf {P} _{n}}

共通生成ゲート

アダマール門

アダマール門

H ＝ 1 2 [ 1 1 1 − 1 ] {\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}}

は、およびとしてクリフォードグループのメンバーです 。 H X H † ＝ Z {\displaystyle HXH^{\ダガー }=Z} H Z H † ＝ X {\displaystyle HZH^{\dagger }=X}

Sゲート

位相ゲート

S ＝ [ 1 0 0 e 私 π 2 ] ＝ [ 1 0 0 私 ] ＝ Z {\displaystyle S={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{bmatrix}}={\sqrt {Z}}}

は、およびとしてクリフォード ゲートです。 S X S † ＝ はい {\displaystyle SXS^{\dagger }=Y} S Z S † ＝ Z {\displaystyle SZS^{\ダガー }=Z}

CNOTゲート

CNOTゲートは2つの量子ビットに適用されます。これは制御されたNOTゲートであり、量子ビット1が1の状態にある場合にのみ、量子ビット2に対してNOTゲートが実行されます。

C 北 お T ＝ [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 ] 。 {\displaystyle \mathrm {CNOT} ={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}


との間には4 つのオプションがあります。 X {\displaystyle X} Z {\displaystyle Z}

CNOTの組み合わせ
P {\displaystyle P} いいえいいえ P {\displaystyle P} † {\displaystyle ^{\dagger}}
X ⊗ 私 {\displaystyle X\otimes I} X ⊗ X {\displaystyle X\otimes X}
私 ⊗ X {\displaystyle I\otimes X} 私 ⊗ X {\displaystyle I\otimes X}
Z ⊗ 私 {\displaystyle Z\otimes I} Z ⊗ 私 {\displaystyle Z\otimes I}
私 ⊗ Z {\displaystyle I\otimes Z} Z ⊗ Z {\displaystyle Z\otimes Z}

量子ゲートの普遍的なセットの構築

クリフォードゲートは量子ゲートの普遍的な集合を形成しません。クリフォード群に属さないゲートの中には、有限の演算集合で任意に近似できないものもあるためです。一例として、位相シフトゲート（歴史的にはゲートとして知られていました）が挙げられます。 π / 8 {\displaystyle \pi /8}

T ＝ [ 1 0 0 e 私 π 4 ] ＝ S ＝ Z 4 {\displaystyle T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}} 。

以下は、ゲートによってパウリゲートが別のパウリ マトリックスに マッピングされないことを示しています。 T {\displaystyle T} X {\displaystyle X}

T X T † ＝ [ 1 0 0 e 私 π 4 ] [ 0 1 1 0 ] [ 1 0 0 e − 私 π 4 ] ＝ [ 0 e − 私 π 4 e 私 π 4 0 ] ∉ P 1 {\displaystyle TX{T^{\dagger}}=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{e^{i{\frac {\pi }{4}}}}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{e^{-i{\frac {\pi }{4}}}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}0&{e^{-i{\frac {\pi }{4}}}}\\{e^{i{\frac {\pi }{4}}}}&0\end{array}}\right]\not \in {{\mathbf {P} }_{1}}}

しかし、クリフォード群にゲートを追加すると、量子計算のための汎用的な量子ゲートセットが形成される。[5]さらに、単一量子ビットの角度回転の正確で最適な回路実装が知られている。[6] [7] T {\displaystyle T} Z {\displaystyle Z}

参照

参考文献

  1. ^ ゴッテスマン, ダニエル (1998-01-01). 「フォールトトレラント量子計算の理論」(PDF) . Physical Review A. 57 ( 1): 127– 137. arXiv : quant-ph/9702029 . Bibcode :1998PhRvA..57..127G. doi :10.1103/physreva.57.1​​27. ISSN  1050-2947. S2CID  8391036.
  2. ^ ニールセン, マイケル・A.; チュアン, アイザック・L. (2010-12-09). 『量子計算と量子情報：10周年記念版』ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1-107-00217-3。
  3. ^ ゴッテスマン, ダニエル (1998-01-01). 「フォールトトレラント量子計算の理論」. Physical Review A. 57 ( 1): 127– 137. arXiv : quant-ph/9702029 . Bibcode :1998PhRvA..57..127G. doi :10.1103/PhysRevA.57.1​​27. ISSN  1050-2947. S2CID  8391036.
  4. ^ Gottesman, Daniel (1997-05-28).安定化コードと量子誤り訂正(博士論文). Caltech. arXiv : quant-ph/9705052 . Bibcode :1997PhDT.......232G.
  5. ^ Forest, Simon; Gosset, David; Kliuchnikov, Vadym; McKinnon, David (2015). 「クリフォード・サイクロトミック・ゲート集合上の単一量子ビット・ユニタリーの正確な合成」. Journal of Mathematical Physics . 56 (8) 082201. arXiv : 1501.04944 . Bibcode :2015JMP....56h2201F. doi :10.1063/1.4927100.
  6. ^ Ross, Neil J.; Selinger, Peter (2014). 「Z回転の補助関数なしの最適Clifford+ T近似」arXiv : 1403.2975 [quant-ph].
  7. ^ Kliuchnikov, Vadym; Maslov, Dmitri; Mosca, Michele (2013). 「CliffordゲートとTゲートによって生成される単一量子ビットユニタリーの高速かつ効率的な厳密合成」.量子情報計算. 13 ( 7–8 ): 607–630 . arXiv : 1206.5236 . doi :10.26421/QIC13.7-8-4. S2CID  12885769.
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