コーデンシティモナド

数学、特に圏理論において、コデンシティ モナドは、モナドを幅広いクラスの関数に関連付ける基本的な構成です。

意味

関数の共密度モナドは、そのカン拡大が存在する限り、それ自身に沿った右カン拡大であると定義される。したがって、定義により、それは特に関数である 。 上のモナド構造は、右カン拡大の 普遍性に由来する。${\displaystyle G:D\to C}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle T^{G}:C\to C.}$$ ${\displaystyle T^{G}}$

共線性モナドは、が小さなカテゴリ（射の適切なクラスではなく集合のみを持つ）であり、すべての（小さな、つまり集合インデックス付きの）極限 を持つ場合に存在します。また、 が左随伴 を持つ場合にも存在します。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G}$

端に関する右カン拡大を計算する一般式により、コデンシティモナドは次の式で与えられる： ここで、は指定されたオブジェクト間の射の集合を表し、積分 は端を表す。したがって、コデンシティモナドは、 から の像にあるオブジェクトへの写像を考え、そのような射の集合から への写像を考えることに等しい。これらの写像は、すべての可能な に対して適合する。したがって、Avery ^[1]が指摘するように、コデンシティモナドは積分や二重双対化の概念とある程度の類似性を持っている。 $${\displaystyle T^{G}(c)=\int _{d\in D}G(d)^{C(c,G(d))},}$$ ${\displaystyle C(c,G(d))}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G(d),}$ ${\displaystyle d.}$

例

右随伴の共密度モナド

関数が左随伴関数を許容する場合、コード密度モナドは、標準の単位および乗算マップとともに複合体によって与えられます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle G\circ F,}$

左随伴関数を許容しない関数の具体的な例

いくつかの興味深いケースでは、関手は左随伴を許容しない完全な部分圏の包含となる。例えば、FinSetをSetに包含するコデンシティモナドは、任意の集合に超フィルタの集合を関連付ける超フィルタモナドである。これはケニソンとギルデンハイスによって証明されたが^[2] 、 「コデンシティ」という用語は用いられていない。この定式化において、この主張はレンスターによって再検証されている^[3]。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M.}$

関連する例はレンスターによって議論されている：^[4]有限次元 ベクトル空間（固定体 上）をすべてのベクトル空間に含める共密度モナドは、ベクトル空間をその二重双対に送ることによって与えられる二重双対化モナドである。${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle V^{**}=\operatorname {Hom} (\operatorname {Hom} (V,k),k).}$$

したがって、この例では、上記の最終的な式は、（上記の表記法では）1つのオブジェクト、つまり1次元ベクトル空間のみを考慮するように簡略化されます。AdámekとSousa ^[5]は、多くの状況で、 有限に提示されたオブジェクト（コンパクトオブジェクト とも呼ばれる）の包含の共密度モナドは、十分に良い共生成オブジェクトに関する二重双対化モナドであることを示しています。これにより、有限セットを集合に包含すること（共生成子は2つの要素の集合）と、有限次元ベクトル空間をベクトル空間に包含すること（共生成子は基底体）の両方が回復されます。 ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle D.}$ $${\displaystyle D:=C^{fp}\subseteq C}$$

シポシュは、有限集合（離散位相空間とみなされる）を位相空間に含めるコデンシティモナド上の代数はストーン空間と同値であることを示した。^{[6]エイブリーは、}ジリーモナドが凸ベクトル空間の特定のカテゴリから測定可能な空間への自然な忘却関手のコデンシティモナドとして生じること を示した。^[1]

イズベル双対性との関係

ディ・リベルティ^[7]は、コデンシティモナドがイスベル双対性と密接に関連していることを示しています。与えられた小さなカテゴリに対して、イスベル双対性は、 上の前層 カテゴリ（つまり、の反対カテゴリから集合への関数）と、上の共前層カテゴリの反対カテゴリとの間の随伴性 を指します。この随伴性によって誘導されるモナドは 、ヨネダ埋め込みのコデンシティモナドであることが示されています。逆に、ココンプリートカテゴリの 完全な小さな稠密サブカテゴリのコデンシティモナドは、イスベル双対性によって誘導されることが示されています。^[8]${\displaystyle C,}$ $${\displaystyle {\mathcal {O}}:Set^{C^{op}}\rightleftarrows (Set^{C})^{op}:Spec}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C.}$ $${\displaystyle Spec\circ {\mathcal {O}}}$$ $${\displaystyle y:C\to Set^{C^{op}}.}$$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C}$

参照

• モナド関数 – 代数と数学における演算Pages displaying short descriptions of redirect targets

参考文献

• Di Liberti, Ivan (2019), Codensity: Isbell duality, pro-objects, compactness and accessibility , arXiv : 1910.01014
• レンスター、トム (2013). 「コデンシティとウルトラフィルタモナド」(PDF) .カテゴリーの理論と応用. 28 : 332–370 . arXiv : 1209.3606 . Bibcode :2012arXiv1209.3606L.

脚注

1. Avery, Tom (2016). 「CodensityとGiryモナド」. Journal of Pure and Applied Algebra . 220 (3): 1229– 1251. arXiv : 1410.4432 . doi :10.1016/j.jpaa.2015.08.017.
2. Kennison, JF; Gildenhuys, Dion (1971). 「等式完成、モデル誘導トリプル、そしてプロオブジェクト」. Journal of Pure and Applied Algebra . 1 (4): 317– 346. doi : 10.1016/0022-4049(71)90001-6 .
3. レンスター 2013、§3。
4. レンスター 2013、§7。
5. アダメク、イリ;ソウザ、ルルド（2019）。D-ウルトラフィルターとそのモナド。arXiv : 1909.04950。
6. Sipoş, Andrei (2018). 「コデンシティとストーン空間」. Mathematica Slovaca . 68 : 57–70 . arXiv : 1409.1370 . doi :10.1515/ms-2017-0080.
7. ディ・リベルティ 2019.
8. ディ・リベルティ 2019、§2。

さらに読む

• n カテゴリ カフェの Codensity モナド。