共通ネット
複数の主要形状を持つエッジ結合多角形
八面体と三四面体の両方に共通のネット。

幾何学において、共通ネットとは、複数の多面体に折り畳むことができるネットのことです。有効な共通ネットであるためには、重なり合わない辺が存在せず、結果として得られる多面体は面で接続されていなければなりません。こうした特定のネットの研究例は20世紀末にまで遡りますが、それにもかかわらず、多くの例は見つかっていません。しかし、正多面体と直方体という2つのクラスについては深く研究されてきました。共通ネットの探索は、通常、広範囲にわたる探索、または平面を敷き詰めるネットの重なりによって行われます。

Demaineら（2013）は、あらゆる凸多面体は展開して別の凸多面体に折り畳むことができることを証明した。[1]

共通ネットには、厳密な辺展開と自由展開の2種類があります。厳密な辺展開とは、折り畳める様々な多面体が同じ折り目を使用する共通ネットを指します。つまり、ある多面体を別の多面体のネットから折り畳む場合、新たな折り目を作成する必要はありません。自由展開とは、その逆の場合で、異なる多面体を折り畳むために必要な数の折り目を作成できる場合を指します。

共通ネットの多重度は、同じ多面体セットの共通ネットの数を指します。

正多面体

Rourke と Demaine による幾何学的折り畳みアルゴリズムの未解決問題 25.31 は次のようになります。

任意のプラトン立体を切り開いて多角形に展開し、それを別のプラトン立体に折り畳むことは可能でしょうか？例えば、立方体を四面体に分割することは可能でしょうか？[2]

この問題は、四面体と立方体に折り畳まれると推測されるフラクタル ネットを使用して、白川らによって部分的に解決されました。

多重性 多面体1 多面体2 参照
四面体 キューブ [3]
87 四面体 回転伸長四角錐（J 17） [4]
37 四面体 吻状二蝶形骨（J 84） [4]
キューブ テトラモノヘドロン [5]
キューブ 1x1x7と1x3x3の直方体 [6]
キューブ 非正八面体 [3]
八面体 テトラモノヘドロン [7]
八面体 テトラモノヘドロン [5]
八面体 三面体 [8]
二十面体 テトラモノヘドロン [5]

非正多面体

直方体

1x1x5と1x2x3の直方体の共通ネット

直方体の共通ネットは、主に上原らによって深く研究されてきました。現在までに、最大3つの直方体からなる共通ネットが見つかっています。しかし、複数の多面体に折り畳めるネットの例は無数に存在することが証明されています。[9]

エリア 多重性 直方体1 直方体2 直方体3 参照
22 6495 1x1x5 1x2x3 [10]
22 3 1x1x5 1x2x3 0x1x11 [11]
28 1x2x4 √2x√2x3√2 [11]
30 30 1x1x7 1x3x3 √5x√5x√5 [12]
30 1080 1x1x7 1x3x3 [12]
34 11291 1x1x8 1x2x5 [10]
38 2334 1x1x9 1x3x4 [10]
46 568 1x1x11 1x3x5 [10]
46 92 1x2x7 1x3x5 [10]
54 1735 1x1x13 3x3x3 [10]
54 1806 1x1x13 1x3x6 [10]
54 387 1x3x6 3x3x3 [10]
58 37 1x1x14 1x4x5 [10]
62 5 1x3x7 2x3x5 [10]
64 50 2x2x7 1x2x10 [10]
64 6 2x2x7 2x4x4 [10]
70 3 1x1x17 1x5x5 [10]
70 11 1x2x11 1x3x8 [10]
88 218 2x2x10 1x4x8 [10]
88 86 2x2x10 2x4x6 [10]
160 4x4x8 √10x2√10x2√10 [11]
532 7x8x14 2x4x43 2x13x16 [13]
1792 7x8x56 7x14x38 2x13x58 [13]

*非直交折り畳み

ポリキューブ

ポリキューブの共通ネットの最初の例は、ジョージ・ミラーの研究で発見され、後にドナルド・クヌースも貢献し、キュービガミパズルへと発展しました。[14]これは、7つの木のようなテトラキューブすべてに折り畳めるネットで構成されています。ペンタキューブまでのすべての共通ネットが発見されました。すべてのネットは、自由展開であるにもかかわらず、厳密に直交する折り畳みに従います。

エリア 多重性 多面体 参照
14 29026 すべてのトリキューブ [15]
14 すべてのトリキューブ [10]
18 68 すべての木のようなテトラキューブ[14] [16]
22 23個のペンタキューブ [17]
22 3 22個の木のようなペンタキューブ [17]
22 1 非平面ペンタキューブ [17]

デルタ面体

3D単体多面体

エリア 多重性 多面体 参照
8 1 両方とも8面デルタ面体 [8]
10 4 7頂点デルタ面体 [18]

参考文献

  1. ^ Demaine, Erik D.; Demaine, Martin L.; I​​toh, Jin-ichi; Lubiw, Anna; Nara, Chie; OʼRourke, Joseph (2013-10-01). 「凸多面体の折り返し剛性」 .計算幾何学. 46 (8): 979– 989. doi :10.1016/j.comgeo.2013.05.002. hdl : 1721.1/99989 . ISSN  0925-7721.
  2. ^ Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph (2007).幾何学的折り畳みアルゴリズム：リンク、折り紙、多面体. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-85757-4。
  3. ^ ab 白川俊宏、堀山隆、上原龍平 (2011年3月28日～30日). 「正四面体と立方体の共通展開の構築」(PDF) .第27回ヨーロッパ計算幾何学ワークショップ (EuroCG 2011) . モルシャッハ、スイス. pp.  47～ 50.
  4. ^ ab 荒木雄三; 堀山毅; 上原亮 (2015). 「正四面体とジョンソン・ザルガラー立体の共通展開」 Rahman, MS; Tomita, E. (編). WALCOM: アルゴリズムと計算. WALCOM 2015. Lecture Notes in Computer Science, vol 8973. Vol. 8973. Springer. pp.  294– 305. doi :10.1007/978-3-319-15612-5_26. ISBN 978-3-319-15611-8。
  5. ^ abc "上原龍平 - 正四面体とその他のプラトン立体の共通辺展開の非存在 - 論文 - researchmap". researchmap.jp . 2024年8月1日閲覧。
  6. ^ Xu, D.; Horiyama, T.; Shirakawa, T.; Uehara, R. (2017). 「面積30の3つの不同な箱の共通展開」.計算幾何学. 64 (7): 1– 12. doi : 10.1016/j.comgeo.2017.03.001 .
  7. ^ Demaine, Erik; O'Rourke (2007年7月). 『幾何学的折り畳みアルゴリズム：リンク、折り紙、多面体』 ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-85757-4。
  8. ^ ab ワイスタイン、エリック。「ネット」。
  9. ^ 白川俊弘、上原龍平（2013年2月）「三つの不一致な直交ボックスの共通展開」国際計算幾何学・応用誌23 (1): 65– 71. doi :10.1142/S0218195913500040. ISSN  0218-1959.
  10. ^ abcdefghijklmnopq 三谷 純、上原 龍平 (2008). 「多角形の折り畳みによる複数の不一致な直交ボックス」(PDF) .カナダ計算幾何学会議.
  11. ^ abc Abel, Zachary; Demaine, Erik; Demaine, Martin; Matsui, Hiroaki; Rote, Günter; Uehara, Ryuhei. 「複数の異なる直交ボックスの共通展開」.第23回カナダ計算幾何学会議: 77–82 . hdl :10119/10308.
  12. ^ ab Xu, Dawei; Horiyama, Takashi; Shirakawa, Toshihiro; Uehara, Ryuhei (2017年8月). 「面積30の3つの不同な箱の共通展開図」.計算幾何学. 64 : 1–12 . doi : 10.1016/j.comgeo.2017.03.001 . ISSN  0925-7721.
  13. ^ ab 白川俊弘; 上原龍平 (2013年2月). 「三つの不一致な直交ボックスの共通展開」 .国際計算幾何学・応用誌. 23 (1): 65– 71. doi :10.1142/S0218195913500040. ISSN  0218-1959.
  14. ^ ab ミラー、ジョージ; クヌース、ドナルド. 「キュービガミ」.
  15. ^ リック・マブリー「ポリキューブの曖昧な展開」
  16. ^ ミラー、ジョージ。「キュービガミ」。
  17. ^ abc Aloupis, Greg; Bose, Prosenjit K.; Collette, Sébastien; Demaine, Erik D.; Demaine, Martin L.; Douïeb, Karim; Dujmović, Vida; Iacono, John; Langerman, Stefan; Morin, Pat (2011). 「ポリオミノとポリキューブの共通展開」. Akiyama, Jin; Bo, Jiang; Kano, Mikio; Tan, Xuehou (編).計算幾何学、グラフ、および応用. コンピュータサイエンス講義ノート. 第7033巻. ベルリン、ハイデルベルク：シュプリンガー. pp.  44– 54. doi :10.1007/978-3-642-24983-9_5. ISBN 978-3-642-24983-9。
  18. ^ リック・マブリー「5つの7頂点デルタ面体の4つの共通ネット」
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