共通の空間パターン
CSP がデータを分離する方法を説明するために使用される、重複する 2 セットのデータ。
2 つの軸に沿った分散の比率を最大化するために CSP で回転した後の 2 セットのデータ。

共通空間パターン（CSP ）は、信号処理において多変量信号を2つのウィンドウ間の分散の差が最大となる加法的なサブコンポーネントに分離するために使用される数学的手順である。[1]

詳細

サイズとサイズ を多変量信号の 2 つのウィンドウとします。ここでは信号の数、と はそれぞれのサンプル数です。 X 1 {\displaystyle \mathbf {X} _{1}} （ n 、 t 1 ） {\displaystyle (n,t_{1})} X 2 {\displaystyle \mathbf {X} _{2}} （ n 、 t 2 ） {\displaystyle (n,t_{2})} n {\displaystyle n} t 1 {\displaystyle t_{1}} t 2 {\displaystyle t_{2}}

CSPアルゴリズムは、2つのウィンドウ間の 分散比（または2次モーメント）が最大化されるようにコンポーネントを決定します。 わ T {\displaystyle \mathbf {w} ^{\text{T}}}

わ ＝ 引数 ⁡ 最大 わ ‖ わ X 1 ‖ 2 ‖ わ X 2 ‖ 2 {\displaystyle \mathbf {w} ={\arg \max }_{\mathbf {w} }{\frac {\left\|\mathbf {wX} _{1}\right\|^{2}}{\left\|\mathbf {wX} _{2}\right\|^{2}}}}

解は2つの共分散行列を計算することによって得られる。

R 1 ＝ X 1 X 1 T t 1 {\displaystyle \mathbf {R} _{1}={\frac {\mathbf {X} _{1}\mathbf {X} _{1}^{\text{T}}}{t_{1}}}}
R 2 ＝ X 2 X 2 T t 2 {\displaystyle \mathbf {R} _{2}={\frac {\mathbf {X} _{2}\mathbf {X} _{2}^{\text{T}}}{t_{2}}}}

次に、これら2つの行列の同時対角化（一般化固有値分解とも呼ばれる）を実現します。固有ベクトルの行列と固有値の対角行列を降順で並べると、次のようになります。 P ＝ [ p 1 ⋯ p n ] {\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {p} _{1}&\cdots &\mathbf {p} _{n}\end{bmatrix}}} D {\displaystyle \mathbf {D} } { λ 1 、 ⋯ 、 λ n } {\displaystyle \{\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\}}

P T R 1 P ＝ D {\displaystyle \mathbf {P} ^{\mathrm {T} }\mathbf {R} _{1}\mathbf {P} =\mathbf {D} }

そして

P T R 2 P ＝ 私 n {\displaystyle \mathbf {P} ^{\mathrm {T} }\mathbf {R} _{2}\mathbf {P} =\mathbf {I} _{n}}

単位行列とします。 私 n {\displaystyle \mathbf {I} _{n}}

これはの固有分解と同等です。 R 2 − 1 R 1 {\displaystyle \mathbf {R} _{2}^{-1}\mathbf {R} _{1}}

R 2 − 1 R 1 ＝ P D P − 1 {\displaystyle \mathbf {R} _{2}^{-1}\mathbf {R} _{1}=\mathbf {PDP} ^{-1}}
わ T {\displaystyle \mathbf {w} ^{\text{T}}} の最初の列に対応します: P {\displaystyle \mathbf {P} }
わ ＝ p 1 T {\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {p} _{1}^{\text{T}}}


議論

分散比と固有値の関係

構成する固有ベクトルは、2つのウィンドウ間の分散比が対応する固有値に等しい成分です。 P {\displaystyle \mathbf {P} }

λ 私 ＝ ‖ p 私 T X 1 ‖ 2 ‖ p 私 T X 2 ‖ 2 {\displaystyle \mathbf {\lambda } _{i}={\frac {\left\|\mathbf {p} _{i}^{\text{T}}\mathbf {X} _{1}\right\|^{2}}{\left\|\mathbf {p} _{i}^{\text{T}}\mathbf {X} _{2}\right\|^{2}}}}

その他のコンポーネント

最初の固有ベクトルによって生成されるベクトル部分空間は 、それに属するすべての成分の分散比を最大化する部分空間になります。 E 私 {\displaystyle E_{i}} 私 {\displaystyle i} [ p 1 ⋯ p 私 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {p} _{1}&\cdots &\mathbf {p} _{i}\end{bmatrix}}}

E 私 ＝ 引数 ⁡ 最大 E （ 分 p ∈ E ‖ p T X 1 ‖ 2 ‖ p T X 2 ‖ 2 ） {\displaystyle E_{i}={\arg \max }_{E}{\begin{pmatrix}\min _{p\in E}{\frac {\left\|\mathbf {p^{\text{T}}X} _{1}\right\|^{2}}{\left\|\mathbf {p^{\text{T}}X} _{2}\right\|^{2}}}\end{pmatrix}}}

同様に、最後の固有ベクトルによって生成されるベクトル部分空間は、それに属するすべての成分の分散比を最小化する部分空間になります。 F j {\displaystyle F_{j}} j {\displaystyle j} [ p n − j + 1 ⋯ p n ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {p} _{n-j+1}&\cdots &\mathbf {p} _{n}\end{bmatrix}}}

F j ＝ 引数 ⁡ 分 F （ 最大 p ∈ F ‖ p T X 1 ‖ 2 ‖ p T X 2 ‖ 2 ） {\displaystyle F_{j}={\arg \min }_{F}{\begin{pmatrix}\max _{p\in F}{\frac {\left\|\mathbf {p^{\text{T}}X} _{1}\right\|^{2}}{\left\|\mathbf {p^{\text{T}}X} _{2}\right\|^{2}}}\end{pmatrix}}}

分散または2次モーメント

CSPは、信号の平均減算（いわゆる「平均中心化」）後に適用することで、分散比の最適化を実現します。それ以外の場合は、CSPは2次モーメント比を最適化します。

ウィンドウズXの選択1およびX2

  • 標準的な使用法は、ソースのアクティブ化が異なる 2 つの期間 (たとえば、休憩中と特定のタスク中) に対応するウィンドウを選択することです。
  • 特定の周波数パターンを持つ成分を見つけるために、2つの異なる周波数帯域に対応する2つのウィンドウを選択することも可能です。[2]これらの周波数帯域は、時間ベースまたは周波数ベースで指定できます。行列は共分散行列のみに依存するため、信号のフーリエ変換に処理を適用しても同じ結果が得られます。 P {\displaystyle \mathbf {P} }
  • Y. Wang [3]は、特定の周期を持つ成分を抽出するために最初のウィンドウに特別な選択を提案した 。検査された信号の異なる周期の平均であった。 X 1 {\displaystyle \mathbf {X} _{1}} X 1 {\displaystyle \mathbf {X} _{1}}
  • ウィンドウが 1 つしかない場合は、単位行列と見なすことができ、CSP は主成分分析に対応します。 R 2 {\displaystyle \mathbf {R} _{2}}

LDAとCSPの関係

線形判別分析（LDA）とCSPは、異なる状況で適用されます。LDAは、2つのデータセットの中心間の（正規化された）距離を最大化する回転を求めることで、平均値の異なるデータを分離します。一方、CSPは平均値を無視します。そのため、例えば事象関連電位（ ERP）実験において、信号とノイズを分離する場合、CSPは有効です。なぜなら、どちらの分布も平均がゼロであり、LDAが分離すべき区別がないからです。したがって、CSPは平均ERPの成分の分散を可能な限り大きくする投影を求め、信号がノイズよりも際立つようにします。

アプリケーション

CSP法は一般に多変量信号に適用可能であり、特に脳波（EEG）信号への応用が顕著です。特に、この手法は脳コンピュータインターフェースにおいて、特定のタスク（例えば手の動き）における脳活動を最もよく伝達する成分信号を抽出するためによく用いられます。[4]また、EEG信号からアーティファクトを分離するためにも用いられます。[2]

CSPは事象関連電位の解析に適応することができる。[5]

参照

参考文献

  1. ^ Zoltan J. Koles、Michael S. Lazaret、Steven Z. Zhou、「背景脳波における集団差の背後にある空間パターン」、Brain Topography、第2巻（4）pp. 275-284、1990年
  2. ^ ab S. Boudet、「患者のてんかんの多成分を分析するアーチファクトのろ過」、PhD.論文: リール大学 1、2008 年 7 月
  3. ^ Y. Wang, 「脳磁図における心臓アーティファクトの低減」第12回生体磁気国際会議論文集、2000年
  4. ^ G. Pfurtscheller、C. Guger、H. Ramoser「被験者固有の空間フィルタを用いたEEGベースの脳コンピュータインターフェース」、生物に着想を得た人工ニューラルネットワークの工学的応用、Lecture Notes in Computer Science、1999年、第1607巻/1999号、pp. 248-254
  5. ^ M. Congedo、L. Korczowski、A. Delorme、F. Lopes da Silva、「時空間共通パターン：時間領域におけるERP分析のためのコンパニオンメソッド」、Journal of Neuroscience Methods、Vol. 267、pp. 74-88、2016年
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